Theorem absf 15386

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15285	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15287	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15327	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7146	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   · cmul 11189  ∗ccj 15145  √csqrt 15282  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  lo1o1  15578  lo1o12  15579  abscn2  15645  climabs  15650  rlimabs  15655  cnfldds  21399  cnfldfun  21401  cnfldfunALT  21402  cnflddsOLD  21412  cnfldfunOLD  21414  cnfldfunALTOLD  21415  cnfldfunALTOLDOLD  21416  absabv  21465  cnmet  24813  cnbl0  24815  cnblcld  24816  cnfldms  24817  cnfldnm  24820  abscncf  24946  cnfldcusp  25410  ovolfsf  25525  ovolctb  25544  iblabslem  25883  iblabs  25884  bddmulibl  25894  dvlip2  26054  c1liplem1  26055  pserulm  26483  psercn2  26484  psercn2OLD  26485  psercnlem2  26486  psercnlem1  26487  psercn  26488  pserdvlem1  26489  pserdvlem2  26490  pserdv  26491  pserdv2  26492  abelth  26503  efif1olem3  26604  efif1olem4  26605  efifo  26607  eff1olem  26608  logcn  26707  efopnlem1  26716  logtayl  26720  cnnv  30709  cnnvg  30710  cnnvs  30712  cnnvnm  30713  cncph  30851  mblfinlem2  37618  ftc1anclem1  37653  ftc1anclem2  37654  ftc1anclem3  37655  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  ftc1anc  37661  absex  42243  extoimad  44126  imo72b2lem0  44127  imo72b2lem2  44129  imo72b2lem1  44131  imo72b2  44134  sblpnf  44279  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemcvg  44323  binomcxplemdvsum  44324  binomcxplemnotnn0  44325  absfun  45265  cncficcgt0  45809  fourierdlem42  46070  hoicvr  46469  ovolval2lem  46564  ovolval3  46568