Theorem absf 15365

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15263	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15265	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15305	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7093	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2142  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072   · cmul 11078  ∗ccj 15123  √csqrt 15260  abscabs 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263

This theorem is referenced by:  lo1o1  15559  lo1o12  15560  abscn2  15626  climabs  15631  rlimabs  15636  cnfldds  21436  cnfldfun  21438  cnfldfunALT  21439  absabv  21476  cnmet  24831  cnbl0  24833  cnblcld  24834  cnfldms  24835  cnfldnm  24838  abscncf  24963  cnfldcusp  25419  ovolfsf  25533  ovolctb  25552  iblabslem  25890  iblabs  25891  bddmulibl  25901  dvlip2  26057  c1liplem1  26058  pserulm  26485  psercn2  26486  psercnlem2  26487  psercnlem1  26488  psercn  26489  pserdvlem1  26490  pserdvlem2  26491  pserdv  26492  pserdv2  26493  abelth  26504  efif1olem3  26609  efif1olem4  26610  efifo  26612  eff1olem  26613  logcn  26712  efopnlem1  26721  logtayl  26725  cnnv  30880  cnnvg  30881  cnnvs  30883  cnnvnm  30884  cncph  31022  mblfinlem2  38157  ftc1anclem1  38192  ftc1anclem2  38193  ftc1anclem3  38194  ftc1anclem4  38195  ftc1anclem5  38196  ftc1anclem6  38197  ftc1anclem7  38198  ftc1anclem8  38199  ftc1anc  38200  absex  42864  extoimad  44740  imo72b2lem0  44741  imo72b2lem2  44743  imo72b2lem1  44745  imo72b2  44748  sblpnf  44886  binomcxplemdvbinom  44929  binomcxplemcvg  44930  binomcxplemdvsum  44931  binomcxplemnotnn0  44932  absfun  45926  cncficcgt0  46462  fourierdlem42  46723  hoicvr  47122  ovolval2lem  47217  ovolval3  47221