Theorem absf 15389

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15287	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15289	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15329	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7108	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099   · cmul 11105  ∗ccj 15147  √csqrt 15284  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  lo1o1  15583  lo1o12  15584  abscn2  15650  climabs  15655  rlimabs  15660  cnfldds  21503  cnfldfun  21505  cnfldfunALT  21506  absabv  21543  cnmet  24897  cnbl0  24899  cnblcld  24900  cnfldms  24901  cnfldnm  24904  abscncf  25029  cnfldcusp  25485  ovolfsf  25599  ovolctb  25618  iblabslem  25956  iblabs  25957  bddmulibl  25967  dvlip2  26123  c1liplem1  26124  pserulm  26551  psercn2  26552  psercnlem2  26553  psercnlem1  26554  psercn  26555  pserdvlem1  26556  pserdvlem2  26557  pserdv  26558  pserdv2  26559  abelth  26570  efif1olem3  26675  efif1olem4  26676  efifo  26678  eff1olem  26679  logcn  26778  efopnlem1  26787  logtayl  26791  cnnv  30970  cnnvg  30971  cnnvs  30973  cnnvnm  30974  cncph  31112  mblfinlem2  38197  ftc1anclem1  38232  ftc1anclem2  38233  ftc1anclem3  38234  ftc1anclem4  38235  ftc1anclem5  38236  ftc1anclem6  38237  ftc1anclem7  38238  ftc1anclem8  38239  ftc1anc  38240  absex  42906  extoimad  44782  imo72b2lem0  44783  imo72b2lem2  44785  imo72b2lem1  44787  imo72b2  44790  sblpnf  44912  binomcxplemdvbinom  44955  binomcxplemcvg  44956  binomcxplemdvsum  44957  binomcxplemnotnn0  44958  absfun  45958  cncficcgt0  46494  fourierdlem42  46755  hoicvr  47154  ovolval2lem  47249  ovolval3  47253