Theorem absf 15415

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15313	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15315	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15355	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7111	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116   · cmul 11122  ∗ccj 15173  √csqrt 15310  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  lo1o1  15609  lo1o12  15610  abscn2  15676  climabs  15681  rlimabs  15686  cnfldds  21586  cnfldfun  21588  cnfldfunALT  21589  absabv  21626  cnmet  24981  cnbl0  24983  cnblcld  24984  cnfldms  24985  cnfldnm  24988  abscncf  25113  cnfldcusp  25569  ovolfsf  25683  ovolctb  25702  iblabslem  26040  iblabs  26041  bddmulibl  26051  dvlip2  26207  c1liplem1  26208  pserulm  26638  psercn2  26639  psercnlem2  26640  psercnlem1  26641  psercn  26642  pserdvlem1  26643  pserdvlem2  26644  pserdv  26645  pserdv2  26646  abelth  26657  efif1olem3  26762  efif1olem4  26763  efifo  26765  eff1olem  26766  logcn  26865  efopnlem1  26874  logtayl  26878  cnnv  31102  cnnvg  31103  cnnvs  31105  cnnvnm  31106  cncph  31244  mblfinlem2  38368  ftc1anclem1  38403  ftc1anclem2  38404  ftc1anclem3  38405  ftc1anclem4  38406  ftc1anclem5  38407  ftc1anclem6  38408  ftc1anclem7  38409  ftc1anclem8  38410  ftc1anc  38411  absex  43076  extoimad  44950  imo72b2lem0  44951  imo72b2lem2  44953  imo72b2lem1  44955  imo72b2  44958  sblpnf  45080  binomcxplemdvbinom  45123  binomcxplemcvg  45124  binomcxplemdvsum  45125  binomcxplemnotnn0  45126  absfun  46126  cncficcgt0  46662  fourierdlem42  46923  hoicvr  47322  ovolval2lem  47417  ovolval3  47421