MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absf 14689
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 14587 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2 absval 14589 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3 abscl 14630 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2912 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6869 1 abs:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528   · cmul 10534  ccj 14447  csqrt 14584  abscabs 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  lo1o1  14881  lo1o12  14882  abscn2  14947  climabs  14952  rlimabs  14957  cnfldds  20547  cnfldfun  20549  cnfldfunALT  20550  absabv  20594  cnmet  23372  cnbl0  23374  cnblcld  23375  cnfldms  23376  cnfldnm  23379  abscncf  23501  cnfldcusp  23952  ovolfsf  24064  ovolctb  24083  iblabslem  24420  iblabs  24421  bddmulibl  24431  dvlip2  24584  c1liplem1  24585  pserulm  25002  psercn2  25003  psercnlem2  25004  psercnlem1  25005  psercn  25006  pserdvlem1  25007  pserdvlem2  25008  pserdv  25009  pserdv2  25010  abelth  25021  efif1olem3  25120  efif1olem4  25121  efifo  25123  eff1olem  25124  logcn  25222  efopnlem1  25231  logtayl  25235  cnnv  28446  cnnvg  28447  cnnvs  28449  cnnvnm  28450  cncph  28588  mblfinlem2  34917  ftc1anclem1  34954  ftc1anclem2  34955  ftc1anclem3  34956  ftc1anclem4  34957  ftc1anclem5  34958  ftc1anclem6  34959  ftc1anclem7  34960  ftc1anclem8  34961  ftc1anc  34962  extoimad  40500  imo72b2lem0  40501  imo72b2lem2  40503  imo72b2lem1  40506  imo72b2  40510  sblpnf  40627  binomcxplemdvbinom  40670  binomcxplemcvg  40671  binomcxplemdvsum  40672  binomcxplemnotnn0  40673  absfun  41602  cncficcgt0  42155  fourierdlem42  42419  hoicvr  42815  ovolval2lem  42910  ovolval3  42914
  Copyright terms: Public domain W3C validator