MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absf 15310
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf abs:β„‚βŸΆβ„

Proof of Theorem absf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 15209 . 2 abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘₯))))
2 absval 15211 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘₯))))
3 abscl 15251 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2830 . 2 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 7116 1 abs:β„‚βŸΆβ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∈ wcel 2099  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  β„cr 11131   Β· cmul 11137  βˆ—ccj 15069  βˆšcsqrt 15206  abscabs 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209
This theorem is referenced by:  lo1o1  15502  lo1o12  15503  abscn2  15569  climabs  15574  rlimabs  15579  cnfldds  21284  cnfldfun  21286  cnfldfunALT  21287  cnflddsOLD  21297  cnfldfunOLD  21299  cnfldfunALTOLD  21300  cnfldfunALTOLDOLD  21301  absabv  21350  cnmet  24681  cnbl0  24683  cnblcld  24684  cnfldms  24685  cnfldnm  24688  abscncf  24814  cnfldcusp  25278  ovolfsf  25393  ovolctb  25412  iblabslem  25750  iblabs  25751  bddmulibl  25761  dvlip2  25921  c1liplem1  25922  pserulm  26351  psercn2  26352  psercn2OLD  26353  psercnlem2  26354  psercnlem1  26355  psercn  26356  pserdvlem1  26357  pserdvlem2  26358  pserdv  26359  pserdv2  26360  abelth  26371  efif1olem3  26471  efif1olem4  26472  efifo  26474  eff1olem  26475  logcn  26574  efopnlem1  26583  logtayl  26587  cnnv  30480  cnnvg  30481  cnnvs  30483  cnnvnm  30484  cncph  30622  mblfinlem2  37125  ftc1anclem1  37160  ftc1anclem2  37161  ftc1anclem3  37162  ftc1anclem4  37163  ftc1anclem5  37164  ftc1anclem6  37165  ftc1anclem7  37166  ftc1anclem8  37167  ftc1anc  37168  extoimad  43588  imo72b2lem0  43589  imo72b2lem2  43591  imo72b2lem1  43593  imo72b2  43596  sblpnf  43741  binomcxplemdvbinom  43784  binomcxplemcvg  43785  binomcxplemdvsum  43786  binomcxplemnotnn0  43787  absfun  44726  cncficcgt0  45270  fourierdlem42  45531  hoicvr  45930  ovolval2lem  46025  ovolval3  46029
  Copyright terms: Public domain W3C validator