Theorem absf 15282

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15181	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15183	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15223	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2826	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7104	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106   · cmul 11112  ∗ccj 15041  √csqrt 15178  abscabs 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181

This theorem is referenced by:  lo1o1  15474  lo1o12  15475  abscn2  15541  climabs  15546  rlimabs  15551  cnfldds  21240  cnfldfun  21242  cnfldfunALT  21243  cnfldfunALTOLD  21244  absabv  21288  cnmet  24612  cnbl0  24614  cnblcld  24615  cnfldms  24616  cnfldnm  24619  abscncf  24745  cnfldcusp  25209  ovolfsf  25324  ovolctb  25343  iblabslem  25681  iblabs  25682  bddmulibl  25692  dvlip2  25852  c1liplem1  25853  pserulm  26277  psercn2  26278  psercn2OLD  26279  psercnlem2  26280  psercnlem1  26281  psercn  26282  pserdvlem1  26283  pserdvlem2  26284  pserdv  26285  pserdv2  26286  abelth  26297  efif1olem3  26397  efif1olem4  26398  efifo  26400  eff1olem  26401  logcn  26500  efopnlem1  26509  logtayl  26513  cnnv  30402  cnnvg  30403  cnnvs  30405  cnnvnm  30406  cncph  30544  gg-cnfldds  35669  gg-cnfldfun  35671  gg-cnfldfunALT  35672  mblfinlem2  37020  ftc1anclem1  37055  ftc1anclem2  37056  ftc1anclem3  37057  ftc1anclem4  37058  ftc1anclem5  37059  ftc1anclem6  37060  ftc1anclem7  37061  ftc1anclem8  37062  ftc1anc  37063  extoimad  43430  imo72b2lem0  43431  imo72b2lem2  43433  imo72b2lem1  43435  imo72b2  43438  sblpnf  43583  binomcxplemdvbinom  43626  binomcxplemcvg  43627  binomcxplemdvsum  43628  binomcxplemnotnn0  43629  absfun  44570  cncficcgt0  45114  fourierdlem42  45375  hoicvr  45774  ovolval2lem  45869  ovolval3  45873