Theorem absf 15291

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15190	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15192	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15232	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7113	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115   · cmul 11121  ∗ccj 15050  √csqrt 15187  abscabs 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190

This theorem is referenced by:  lo1o1  15483  lo1o12  15484  abscn2  15550  climabs  15555  rlimabs  15560  cnfldds  21158  cnfldfun  21160  cnfldfunALT  21161  cnfldfunALTOLD  21162  absabv  21206  cnmet  24521  cnbl0  24523  cnblcld  24524  cnfldms  24525  cnfldnm  24528  abscncf  24654  cnfldcusp  25118  ovolfsf  25233  ovolctb  25252  iblabslem  25590  iblabs  25591  bddmulibl  25601  dvlip2  25761  c1liplem1  25762  pserulm  26184  psercn2  26185  psercn2OLD  26186  psercnlem2  26187  psercnlem1  26188  psercn  26189  pserdvlem1  26190  pserdvlem2  26191  pserdv  26192  pserdv2  26193  abelth  26204  efif1olem3  26304  efif1olem4  26305  efifo  26307  eff1olem  26308  logcn  26406  efopnlem1  26415  logtayl  26419  cnnv  30212  cnnvg  30213  cnnvs  30215  cnnvnm  30216  cncph  30354  gg-cnfldds  35494  gg-cnfldfun  35496  gg-cnfldfunALT  35497  mblfinlem2  36842  ftc1anclem1  36877  ftc1anclem2  36878  ftc1anclem3  36879  ftc1anclem4  36880  ftc1anclem5  36881  ftc1anclem6  36882  ftc1anclem7  36883  ftc1anclem8  36884  ftc1anc  36885  extoimad  43231  imo72b2lem0  43232  imo72b2lem2  43234  imo72b2lem1  43236  imo72b2  43239  sblpnf  43384  binomcxplemdvbinom  43427  binomcxplemcvg  43428  binomcxplemdvsum  43429  binomcxplemnotnn0  43430  absfun  44371  cncficcgt0  44915  fourierdlem42  45176  hoicvr  45575  ovolval2lem  45670  ovolval3  45674