Theorem absf 15245

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15143	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15145	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15185	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7045	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005   · cmul 11011  ∗ccj 15003  √csqrt 15140  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  lo1o1  15439  lo1o12  15440  abscn2  15506  climabs  15511  rlimabs  15516  cnfldds  21303  cnfldfun  21305  cnfldfunALT  21306  cnflddsOLD  21316  cnfldfunOLD  21318  cnfldfunALTOLD  21319  absabv  21361  cnmet  24686  cnbl0  24688  cnblcld  24689  cnfldms  24690  cnfldnm  24693  abscncf  24821  cnfldcusp  25284  ovolfsf  25399  ovolctb  25418  iblabslem  25756  iblabs  25757  bddmulibl  25767  dvlip2  25927  c1liplem1  25928  pserulm  26358  psercn2  26359  psercn2OLD  26360  psercnlem2  26361  psercnlem1  26362  psercn  26363  pserdvlem1  26364  pserdvlem2  26365  pserdv  26366  pserdv2  26367  abelth  26378  efif1olem3  26480  efif1olem4  26481  efifo  26483  eff1olem  26484  logcn  26583  efopnlem1  26592  logtayl  26596  cnnv  30657  cnnvg  30658  cnnvs  30660  cnnvnm  30661  cncph  30799  mblfinlem2  37708  ftc1anclem1  37743  ftc1anclem2  37744  ftc1anclem3  37745  ftc1anclem4  37746  ftc1anclem5  37747  ftc1anclem6  37748  ftc1anclem7  37749  ftc1anclem8  37750  ftc1anc  37751  absex  42351  extoimad  44267  imo72b2lem0  44268  imo72b2lem2  44270  imo72b2lem1  44272  imo72b2  44275  sblpnf  44413  binomcxplemdvbinom  44456  binomcxplemcvg  44457  binomcxplemdvsum  44458  binomcxplemnotnn0  44459  absfun  45459  cncficcgt0  45996  fourierdlem42  46257  hoicvr  46656  ovolval2lem  46751  ovolval3  46755