Theorem absf 15376

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15275	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15277	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15317	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7132	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   · cmul 11160  ∗ccj 15135  √csqrt 15272  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  lo1o1  15568  lo1o12  15569  abscn2  15635  climabs  15640  rlimabs  15645  cnfldds  21376  cnfldfun  21378  cnfldfunALT  21379  cnflddsOLD  21389  cnfldfunOLD  21391  cnfldfunALTOLD  21392  cnfldfunALTOLDOLD  21393  absabv  21442  cnmet  24792  cnbl0  24794  cnblcld  24795  cnfldms  24796  cnfldnm  24799  abscncf  24927  cnfldcusp  25391  ovolfsf  25506  ovolctb  25525  iblabslem  25863  iblabs  25864  bddmulibl  25874  dvlip2  26034  c1liplem1  26035  pserulm  26465  psercn2  26466  psercn2OLD  26467  psercnlem2  26468  psercnlem1  26469  psercn  26470  pserdvlem1  26471  pserdvlem2  26472  pserdv  26473  pserdv2  26474  abelth  26485  efif1olem3  26586  efif1olem4  26587  efifo  26589  eff1olem  26590  logcn  26689  efopnlem1  26698  logtayl  26702  cnnv  30696  cnnvg  30697  cnnvs  30699  cnnvnm  30700  cncph  30838  mblfinlem2  37665  ftc1anclem1  37700  ftc1anclem2  37701  ftc1anclem3  37702  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anclem8  37707  ftc1anc  37708  absex  42289  extoimad  44177  imo72b2lem0  44178  imo72b2lem2  44180  imo72b2lem1  44182  imo72b2  44185  sblpnf  44329  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemcvg  44373  binomcxplemdvsum  44374  binomcxplemnotnn0  44375  absfun  45361  cncficcgt0  45903  fourierdlem42  46164  hoicvr  46563  ovolval2lem  46658  ovolval3  46662