Theorem absf 15273

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15171	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15173	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15213	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7066	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   · cmul 11043  ∗ccj 15031  √csqrt 15168  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  lo1o1  15467  lo1o12  15468  abscn2  15534  climabs  15539  rlimabs  15544  cnfldds  21333  cnfldfun  21335  cnfldfunALT  21336  cnflddsOLD  21346  cnfldfunOLD  21348  cnfldfunALTOLD  21349  absabv  21391  cnmet  24727  cnbl0  24729  cnblcld  24730  cnfldms  24731  cnfldnm  24734  abscncf  24862  cnfldcusp  25325  ovolfsf  25440  ovolctb  25459  iblabslem  25797  iblabs  25798  bddmulibl  25808  dvlip2  25968  c1liplem1  25969  pserulm  26399  psercn2  26400  psercn2OLD  26401  psercnlem2  26402  psercnlem1  26403  psercn  26404  pserdvlem1  26405  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  pserdv2  26408  abelth  26419  efif1olem3  26521  efif1olem4  26522  efifo  26524  eff1olem  26525  logcn  26624  efopnlem1  26633  logtayl  26637  cnnv  30765  cnnvg  30766  cnnvs  30768  cnnvnm  30769  cncph  30907  mblfinlem2  37909  ftc1anclem1  37944  ftc1anclem2  37945  ftc1anclem3  37946  ftc1anclem4  37947  ftc1anclem5  37948  ftc1anclem6  37949  ftc1anclem7  37950  ftc1anclem8  37951  ftc1anc  37952  absex  42618  extoimad  44520  imo72b2lem0  44521  imo72b2lem2  44523  imo72b2lem1  44525  imo72b2  44528  sblpnf  44666  binomcxplemdvbinom  44709  binomcxplemcvg  44710  binomcxplemdvsum  44711  binomcxplemnotnn0  44712  absfun  45709  cncficcgt0  46246  fourierdlem42  46507  hoicvr  46906  ovolval2lem  47001  ovolval3  47005