MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absf 15223
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf abs:β„‚βŸΆβ„

Proof of Theorem absf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 15122 . 2 abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘₯))))
2 absval 15124 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘₯))))
3 abscl 15164 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2839 . 2 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 7061 1 abs:β„‚βŸΆβ„
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051   Β· cmul 11057  βˆ—ccj 14982  βˆšcsqrt 15119  abscabs 15120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122
This theorem is referenced by:  lo1o1  15415  lo1o12  15416  abscn2  15482  climabs  15487  rlimabs  15492  cnfldds  20809  cnfldfun  20811  cnfldfunALT  20812  cnfldfunALTOLD  20813  absabv  20857  cnmet  24138  cnbl0  24140  cnblcld  24141  cnfldms  24142  cnfldnm  24145  abscncf  24267  cnfldcusp  24724  ovolfsf  24838  ovolctb  24857  iblabslem  25195  iblabs  25196  bddmulibl  25206  dvlip2  25362  c1liplem1  25363  pserulm  25784  psercn2  25785  psercnlem2  25786  psercnlem1  25787  psercn  25788  pserdvlem1  25789  pserdvlem2  25790  pserdv  25791  pserdv2  25792  abelth  25803  efif1olem3  25903  efif1olem4  25904  efifo  25906  eff1olem  25907  logcn  26005  efopnlem1  26014  logtayl  26018  cnnv  29622  cnnvg  29623  cnnvs  29625  cnnvnm  29626  cncph  29764  mblfinlem2  36119  ftc1anclem1  36154  ftc1anclem2  36155  ftc1anclem3  36156  ftc1anclem4  36157  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161  ftc1anc  36162  extoimad  42444  imo72b2lem0  42445  imo72b2lem2  42447  imo72b2lem1  42449  imo72b2  42452  sblpnf  42597  binomcxplemdvbinom  42640  binomcxplemcvg  42641  binomcxplemdvsum  42642  binomcxplemnotnn0  42643  absfun  43591  cncficcgt0  44136  fourierdlem42  44397  hoicvr  44796  ovolval2lem  44891  ovolval3  44895
  Copyright terms: Public domain W3C validator