Theorem absf 15280

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15178	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15180	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7066	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043   · cmul 11049  ∗ccj 15038  √csqrt 15175  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  lo1o1  15474  lo1o12  15475  abscn2  15541  climabs  15546  rlimabs  15551  cnfldds  21308  cnfldfun  21310  cnfldfunALT  21311  cnflddsOLD  21321  cnfldfunOLD  21323  cnfldfunALTOLD  21324  absabv  21366  cnmet  24692  cnbl0  24694  cnblcld  24695  cnfldms  24696  cnfldnm  24699  abscncf  24827  cnfldcusp  25290  ovolfsf  25405  ovolctb  25424  iblabslem  25762  iblabs  25763  bddmulibl  25773  dvlip2  25933  c1liplem1  25934  pserulm  26364  psercn2  26365  psercn2OLD  26366  psercnlem2  26367  psercnlem1  26368  psercn  26369  pserdvlem1  26370  pserdvlem2  26371  pserdv  26372  pserdv2  26373  abelth  26384  efif1olem3  26486  efif1olem4  26487  efifo  26489  eff1olem  26490  logcn  26589  efopnlem1  26598  logtayl  26602  cnnv  30656  cnnvg  30657  cnnvs  30659  cnnvnm  30660  cncph  30798  mblfinlem2  37645  ftc1anclem1  37680  ftc1anclem2  37681  ftc1anclem3  37682  ftc1anclem4  37683  ftc1anclem5  37684  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem7  37686  ftc1anclem8  37687  ftc1anc  37688  absex  42229  extoimad  44146  imo72b2lem0  44147  imo72b2lem2  44149  imo72b2lem1  44151  imo72b2  44154  sblpnf  44292  binomcxplemdvbinom  44335  binomcxplemcvg  44336  binomcxplemdvsum  44337  binomcxplemnotnn0  44338  absfun  45339  cncficcgt0  45879  fourierdlem42  46140  hoicvr  46539  ovolval2lem  46634  ovolval3  46638