Theorem absf 15426

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15324	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15326	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15366	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7106	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124   · cmul 11130  ∗ccj 15184  √csqrt 15321  abscabs 15322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324

This theorem is used by:  lo1o1  15620  lo1o12  15621  abscn2  15687  climabs  15692  rlimabs  15697  cnfldds  21598  cnfldfun  21600  cnfldfunALT  21601  absabv  21638  cnmet  24998  cnbl0  25000  cnblcld  25001  cnfldms  25002  cnfldnm  25005  abscncf  25130  cnfldcusp  25586  ovolfsf  25700  ovolctb  25719  iblabslem  26056  iblabs  26057  bddmulibl  26067  dvlip2  26223  c1liplem1  26224  pserulm  26659  psercn2  26660  psercnlem2  26661  psercnlem1  26662  psercn  26663  pserdvlem1  26664  pserdvlem2  26665  pserdv  26666  pserdv2  26667  abelth  26678  efif1olem3  26782  efif1olem4  26783  efifo  26785  eff1olem  26786  logcn  26885  efopnlem1  26894  logtayl  26898  cnnv  31159  cnnvg  31160  cnnvs  31162  cnnvnm  31163  cncph  31301  mblfinlem2  38408  ftc1anclem1  38443  ftc1anclem2  38444  ftc1anclem3  38445  ftc1anclem4  38446  ftc1anclem5  38447  ftc1anclem6  38448  ftc1anclem7  38449  ftc1anclem8  38450  ftc1anc  38451  absex  43116  extoimad  45005  imo72b2lem0  45006  imo72b2lem2  45008  imo72b2lem1  45010  imo72b2  45013  sblpnf  45135  binomcxplemdvbinom  45178  binomcxplemcvg  45179  binomcxplemdvsum  45180  binomcxplemnotnn0  45181  absfun  46181  cncficcgt0  46717  fourierdlem42  46978  hoicvr  47377  ovolval2lem  47472  ovolval3  47476