Theorem absf 14454

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 14353	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 14355	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 14395	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2907	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 6631	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251   · cmul 10257  ∗ccj 14213  √csqrt 14350  abscabs 14351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353

This theorem is referenced by:  lo1o1  14640  lo1o12  14641  abscn2  14706  climabs  14711  rlimabs  14716  cnfldds  20116  cnfldfun  20118  cnfldfunALT  20119  absabv  20163  cnmet  22945  cnbl0  22947  cnblcld  22948  cnfldms  22949  cnfldnm  22952  abscncf  23074  cnfldcusp  23525  ovolfsf  23637  ovolctb  23656  iblabslem  23993  iblabs  23994  bddmulibl  24004  dvlip2  24157  c1liplem1  24158  pserulm  24575  psercn2  24576  psercnlem2  24577  psercnlem1  24578  psercn  24579  pserdvlem1  24580  pserdvlem2  24581  pserdv  24582  pserdv2  24583  abelth  24594  efif1olem3  24690  efif1olem4  24691  efifo  24693  eff1olem  24694  logcn  24792  efopnlem1  24801  logtayl  24805  cnnv  28076  cnnvg  28077  cnnvs  28079  cnnvnm  28080  cncph  28218  mblfinlem2  33984  ftc1anclem1  34021  ftc1anclem2  34022  ftc1anclem3  34023  ftc1anclem4  34024  ftc1anclem5  34025  ftc1anclem6  34026  ftc1anclem7  34027  ftc1anclem8  34028  ftc1anc  34029  extoimad  39297  imo72b2lem0  39298  imo72b2lem2  39300  imo72b2lem1  39304  imo72b2  39308  sblpnf  39342  binomcxplemdvbinom  39385  binomcxplemcvg  39386  binomcxplemdvsum  39387  binomcxplemnotnn0  39388  absfun  40356  cncficcgt0  40889  fourierdlem42  41153  hoicvr  41549  ovolval2lem  41644  ovolval3  41648