Theorem absf 15356

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15255	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15257	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2835	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7102	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128   · cmul 11134  ∗ccj 15115  √csqrt 15252  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255

This theorem is referenced by:  lo1o1  15548  lo1o12  15549  abscn2  15615  climabs  15620  rlimabs  15625  cnfldds  21327  cnfldfun  21329  cnfldfunALT  21330  cnflddsOLD  21340  cnfldfunOLD  21342  cnfldfunALTOLD  21343  absabv  21392  cnmet  24710  cnbl0  24712  cnblcld  24713  cnfldms  24714  cnfldnm  24717  abscncf  24845  cnfldcusp  25309  ovolfsf  25424  ovolctb  25443  iblabslem  25781  iblabs  25782  bddmulibl  25792  dvlip2  25952  c1liplem1  25953  pserulm  26383  psercn2  26384  psercn2OLD  26385  psercnlem2  26386  psercnlem1  26387  psercn  26388  pserdvlem1  26389  pserdvlem2  26390  pserdv  26391  pserdv2  26392  abelth  26403  efif1olem3  26505  efif1olem4  26506  efifo  26508  eff1olem  26509  logcn  26608  efopnlem1  26617  logtayl  26621  cnnv  30658  cnnvg  30659  cnnvs  30661  cnnvnm  30662  cncph  30800  mblfinlem2  37682  ftc1anclem1  37717  ftc1anclem2  37718  ftc1anclem3  37719  ftc1anclem4  37720  ftc1anclem5  37721  ftc1anclem6  37722  ftc1anclem7  37723  ftc1anclem8  37724  ftc1anc  37725  absex  42299  extoimad  44188  imo72b2lem0  44189  imo72b2lem2  44191  imo72b2lem1  44193  imo72b2  44196  sblpnf  44334  binomcxplemdvbinom  44377  binomcxplemcvg  44378  binomcxplemdvsum  44379  binomcxplemnotnn0  44380  absfun  45377  cncficcgt0  45917  fourierdlem42  46178  hoicvr  46577  ovolval2lem  46672  ovolval3  46676