Theorem absf 15517

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15415	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15417	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15457	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7120	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209   · cmul 11215  ∗ccj 15275  √csqrt 15412  abscabs 15413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415

This theorem is used by:  lo1o1  15711  lo1o12  15712  abscn2  15778  climabs  15783  rlimabs  15788  cnfldds  21702  cnfldfun  21704  cnfldfunALT  21705  absabv  21742  cnmet  25102  cnbl0  25104  cnblcld  25105  cnfldms  25106  cnfldnm  25109  abscncf  25234  cnfldcusp  25690  ovolfsf  25804  ovolctb  25823  iblabslem  26160  iblabs  26161  bddmulibl  26171  dvlip2  26327  c1liplem1  26328  pserulm  26761  psercn2  26762  psercnlem2  26763  psercnlem1  26764  psercn  26765  pserdvlem1  26766  pserdvlem2  26767  pserdv  26768  pserdv2  26769  abelth  26780  efif1olem3  26884  efif1olem4  26885  efifo  26887  eff1olem  26888  logcn  26987  efopnlem1  26996  logtayl  27000  cnnv  31291  cnnvg  31292  cnnvs  31294  cnnvnm  31295  cncph  31433  mblfinlem2  38716  ftc1anclem1  38751  ftc1anclem2  38752  ftc1anclem3  38753  ftc1anclem4  38754  ftc1anclem5  38755  ftc1anclem6  38756  ftc1anclem7  38757  ftc1anclem8  38758  ftc1anc  38759  absex  43439  extoimad  45304  imo72b2lem0  45305  imo72b2lem2  45307  imo72b2lem1  45309  imo72b2  45312  sblpnf  45434  binomcxplemdvbinom  45477  binomcxplemcvg  45478  binomcxplemdvsum  45479  binomcxplemnotnn0  45480  absfun  46501  cncficcgt0  47037  fourierdlem42  47298  hoicvr  47697  ovolval2lem  47792  ovolval3  47796