Theorem absf 15548

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15446	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15448	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15488	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7144	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238   · cmul 11244  ∗ccj 15306  √csqrt 15443  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by:  absex  15549  lo1o1  15743  lo1o12  15744  abscn2  15810  climabs  15815  rlimabs  15820  cnfldds  21741  cnfldfunALT  21745  absabv  21784  cnmet  25145  cnbl0  25147  cnblcld  25148  cnfldms  25149  cnfldnm  25152  abscncf  25277  cnfldcusp  25733  ovolfsf  25847  ovolctb  25866  iblabslem  26203  iblabs  26204  bddmulibl  26214  dvlip2  26370  c1liplem1  26371  pserulm  26806  psercn2  26807  psercnlem2  26808  psercnlem1  26809  psercn  26810  pserdvlem1  26811  pserdvlem2  26812  pserdv  26813  pserdv2  26814  abelth  26825  efif1olem3  26929  efif1olem4  26930  efifo  26932  eff1olem  26933  logcn  27032  efopnlem1  27041  logtayl  27045  cnnv  31336  cnnvg  31337  cnnvs  31339  cnnvnm  31340  cncph  31478  zzedom  33958  mblfinlem2  38844  ftc1anclem1  38879  ftc1anclem2  38880  ftc1anclem3  38881  ftc1anclem4  38882  ftc1anclem5  38883  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem7  38885  ftc1anclem8  38886  ftc1anc  38887  extoimad  45425  imo72b2lem0  45426  imo72b2lem2  45428  imo72b2lem1  45430  imo72b2  45433  sblpnf  45555  binomcxplemdvbinom  45598  binomcxplemcvg  45599  binomcxplemdvsum  45600  binomcxplemnotnn0  45601  absfun  46635  cncficcgt0  47171  fourierdlem42  47432  hoicvr  47831  ovolval2lem  47926  ovolval3  47930