Theorem absf 14977

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 14875	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 14877	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 14918	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 6968	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   · cmul 10807  ∗ccj 14735  √csqrt 14872  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  lo1o1  15169  lo1o12  15170  abscn2  15236  climabs  15241  rlimabs  15246  cnfldds  20520  cnfldfun  20522  cnfldfunALT  20523  absabv  20567  cnmet  23841  cnbl0  23843  cnblcld  23844  cnfldms  23845  cnfldnm  23848  abscncf  23970  cnfldcusp  24426  ovolfsf  24540  ovolctb  24559  iblabslem  24897  iblabs  24898  bddmulibl  24908  dvlip2  25064  c1liplem1  25065  pserulm  25486  psercn2  25487  psercnlem2  25488  psercnlem1  25489  psercn  25490  pserdvlem1  25491  pserdvlem2  25492  pserdv  25493  pserdv2  25494  abelth  25505  efif1olem3  25605  efif1olem4  25606  efifo  25608  eff1olem  25609  logcn  25707  efopnlem1  25716  logtayl  25720  cnnv  28940  cnnvg  28941  cnnvs  28943  cnnvnm  28944  cncph  29082  mblfinlem2  35742  ftc1anclem1  35777  ftc1anclem2  35778  ftc1anclem3  35779  ftc1anclem4  35780  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem7  35783  ftc1anclem8  35784  ftc1anc  35785  extoimad  41664  imo72b2lem0  41665  imo72b2lem2  41667  imo72b2lem1  41669  imo72b2  41672  sblpnf  41817  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemcvg  41861  binomcxplemdvsum  41862  binomcxplemnotnn0  41863  absfun  42779  cncficcgt0  43319  fourierdlem42  43580  hoicvr  43976  ovolval2lem  44071  ovolval3  44075