Theorem absf 15385

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15283	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15285	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15325	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7107	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094   · cmul 11100  ∗ccj 15143  √csqrt 15280  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283

This theorem is referenced by:  lo1o1  15579  lo1o12  15580  abscn2  15646  climabs  15651  rlimabs  15656  cnfldds  21534  cnfldfun  21536  cnfldfunALT  21537  absabv  21574  cnmet  24928  cnbl0  24930  cnblcld  24931  cnfldms  24932  cnfldnm  24935  abscncf  25060  cnfldcusp  25516  ovolfsf  25630  ovolctb  25649  iblabslem  25987  iblabs  25988  bddmulibl  25998  dvlip2  26154  c1liplem1  26155  pserulm  26585  psercn2  26586  psercnlem2  26587  psercnlem1  26588  psercn  26589  pserdvlem1  26590  pserdvlem2  26591  pserdv  26592  pserdv2  26593  abelth  26604  efif1olem3  26709  efif1olem4  26710  efifo  26712  eff1olem  26713  logcn  26812  efopnlem1  26821  logtayl  26825  cnnv  31029  cnnvg  31030  cnnvs  31032  cnnvnm  31033  cncph  31171  mblfinlem2  38329  ftc1anclem1  38364  ftc1anclem2  38365  ftc1anclem3  38366  ftc1anclem4  38367  ftc1anclem5  38368  ftc1anclem6  38369  ftc1anclem7  38370  ftc1anclem8  38371  ftc1anc  38372  absex  43036  extoimad  44910  imo72b2lem0  44911  imo72b2lem2  44913  imo72b2lem1  44915  imo72b2  44918  sblpnf  45040  binomcxplemdvbinom  45083  binomcxplemcvg  45084  binomcxplemdvsum  45085  binomcxplemnotnn0  45086  absfun  46086  cncficcgt0  46622  fourierdlem42  46883  hoicvr  47282  ovolval2lem  47377  ovolval3  47381