Theorem absf 14689

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 14587	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 14589	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 14630	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2891	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 6853	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   · cmul 10531  ∗ccj 14447  √csqrt 14584  abscabs 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  lo1o1  14881  lo1o12  14882  abscn2  14947  climabs  14952  rlimabs  14957  cnfldds  20101  cnfldfun  20103  cnfldfunALT  20104  absabv  20148  cnmet  23377  cnbl0  23379  cnblcld  23380  cnfldms  23381  cnfldnm  23384  abscncf  23506  cnfldcusp  23961  ovolfsf  24075  ovolctb  24094  iblabslem  24431  iblabs  24432  bddmulibl  24442  dvlip2  24598  c1liplem1  24599  pserulm  25017  psercn2  25018  psercnlem2  25019  psercnlem1  25020  psercn  25021  pserdvlem1  25022  pserdvlem2  25023  pserdv  25024  pserdv2  25025  abelth  25036  efif1olem3  25136  efif1olem4  25137  efifo  25139  eff1olem  25140  logcn  25238  efopnlem1  25247  logtayl  25251  cnnv  28460  cnnvg  28461  cnnvs  28463  cnnvnm  28464  cncph  28602  mblfinlem2  35095  ftc1anclem1  35130  ftc1anclem2  35131  ftc1anclem3  35132  ftc1anclem4  35133  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem7  35136  ftc1anclem8  35137  ftc1anc  35138  extoimad  40868  imo72b2lem0  40869  imo72b2lem2  40871  imo72b2lem1  40874  imo72b2  40878  sblpnf  41014  binomcxplemdvbinom  41057  binomcxplemcvg  41058  binomcxplemdvsum  41059  binomcxplemnotnn0  41060  absfun  41982  cncficcgt0  42530  fourierdlem42  42791  hoicvr  43187  ovolval2lem  43282  ovolval3  43286