Theorem absf 15261

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15159	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15161	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15201	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7057	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   · cmul 11031  ∗ccj 15019  √csqrt 15156  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  lo1o1  15455  lo1o12  15456  abscn2  15522  climabs  15527  rlimabs  15532  cnfldds  21321  cnfldfun  21323  cnfldfunALT  21324  cnflddsOLD  21334  cnfldfunOLD  21336  cnfldfunALTOLD  21337  absabv  21379  cnmet  24715  cnbl0  24717  cnblcld  24718  cnfldms  24719  cnfldnm  24722  abscncf  24850  cnfldcusp  25313  ovolfsf  25428  ovolctb  25447  iblabslem  25785  iblabs  25786  bddmulibl  25796  dvlip2  25956  c1liplem1  25957  pserulm  26387  psercn2  26388  psercn2OLD  26389  psercnlem2  26390  psercnlem1  26391  psercn  26392  pserdvlem1  26393  pserdvlem2  26394  pserdv  26395  pserdv2  26396  abelth  26407  efif1olem3  26509  efif1olem4  26510  efifo  26512  eff1olem  26513  logcn  26612  efopnlem1  26621  logtayl  26625  cnnv  30752  cnnvg  30753  cnnvs  30755  cnnvnm  30756  cncph  30894  mblfinlem2  37859  ftc1anclem1  37894  ftc1anclem2  37895  ftc1anclem3  37896  ftc1anclem4  37897  ftc1anclem5  37898  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem7  37900  ftc1anclem8  37901  ftc1anc  37902  absex  42513  extoimad  44415  imo72b2lem0  44416  imo72b2lem2  44418  imo72b2lem1  44420  imo72b2  44423  sblpnf  44561  binomcxplemdvbinom  44604  binomcxplemcvg  44605  binomcxplemdvsum  44606  binomcxplemnotnn0  44607  absfun  45605  cncficcgt0  46142  fourierdlem42  46403  hoicvr  46802  ovolval2lem  46897  ovolval3  46901