Theorem absf 15280

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15179	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15181	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7108	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105   · cmul 11111  ∗ccj 15039  √csqrt 15176  abscabs 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179

This theorem is referenced by:  lo1o1  15472  lo1o12  15473  abscn2  15539  climabs  15544  rlimabs  15549  cnfldds  20946  cnfldfun  20948  cnfldfunALT  20949  cnfldfunALTOLD  20950  absabv  20994  cnmet  24279  cnbl0  24281  cnblcld  24282  cnfldms  24283  cnfldnm  24286  abscncf  24408  cnfldcusp  24865  ovolfsf  24979  ovolctb  24998  iblabslem  25336  iblabs  25337  bddmulibl  25347  dvlip2  25503  c1liplem1  25504  pserulm  25925  psercn2  25926  psercnlem2  25927  psercnlem1  25928  psercn  25929  pserdvlem1  25930  pserdvlem2  25931  pserdv  25932  pserdv2  25933  abelth  25944  efif1olem3  26044  efif1olem4  26045  efifo  26047  eff1olem  26048  logcn  26146  efopnlem1  26155  logtayl  26159  cnnv  29917  cnnvg  29918  cnnvs  29920  cnnvnm  29921  cncph  30059  gg-psercn2  35166  mblfinlem2  36514  ftc1anclem1  36549  ftc1anclem2  36550  ftc1anclem3  36551  ftc1anclem4  36552  ftc1anclem5  36553  ftc1anclem6  36554  ftc1anclem7  36555  ftc1anclem8  36556  ftc1anc  36557  extoimad  42901  imo72b2lem0  42902  imo72b2lem2  42904  imo72b2lem1  42906  imo72b2  42909  sblpnf  43054  binomcxplemdvbinom  43097  binomcxplemcvg  43098  binomcxplemdvsum  43099  binomcxplemnotnn0  43100  absfun  44046  cncficcgt0  44590  fourierdlem42  44851  hoicvr  45250  ovolval2lem  45345  ovolval3  45349