Theorem absf 15294

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15192	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15194	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7059	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031   · cmul 11037  ∗ccj 15052  √csqrt 15189  abscabs 15190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192

This theorem is referenced by:  lo1o1  15488  lo1o12  15489  abscn2  15555  climabs  15560  rlimabs  15565  cnfldds  21359  cnfldfun  21361  cnfldfunALT  21362  cnflddsOLD  21372  cnfldfunOLD  21374  cnfldfunALTOLD  21375  absabv  21417  cnmet  24749  cnbl0  24751  cnblcld  24752  cnfldms  24753  cnfldnm  24756  abscncf  24881  cnfldcusp  25337  ovolfsf  25451  ovolctb  25470  iblabslem  25808  iblabs  25809  bddmulibl  25819  dvlip2  25975  c1liplem1  25976  pserulm  26403  psercn2  26404  psercnlem2  26405  psercnlem1  26406  psercn  26407  pserdvlem1  26408  pserdvlem2  26409  pserdv  26410  pserdv2  26411  abelth  26422  efif1olem3  26524  efif1olem4  26525  efifo  26527  eff1olem  26528  logcn  26627  efopnlem1  26636  logtayl  26640  cnnv  30766  cnnvg  30767  cnnvs  30769  cnnvnm  30770  cncph  30908  mblfinlem2  37996  ftc1anclem1  38031  ftc1anclem2  38032  ftc1anclem3  38033  ftc1anclem4  38034  ftc1anclem5  38035  ftc1anclem6  38036  ftc1anclem7  38037  ftc1anclem8  38038  ftc1anc  38039  absex  42704  extoimad  44612  imo72b2lem0  44613  imo72b2lem2  44615  imo72b2lem1  44617  imo72b2  44620  sblpnf  44758  binomcxplemdvbinom  44801  binomcxplemcvg  44802  binomcxplemdvsum  44803  binomcxplemnotnn0  44804  absfun  45801  cncficcgt0  46337  fourierdlem42  46598  hoicvr  46997  ovolval2lem  47092  ovolval3  47096