Theorem absf 15245

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15143	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 15145	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 15185	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7046	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008   · cmul 11014  ∗ccj 15003  √csqrt 15140  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  lo1o1  15439  lo1o12  15440  abscn2  15506  climabs  15511  rlimabs  15516  cnfldds  21273  cnfldfun  21275  cnfldfunALT  21276  cnflddsOLD  21286  cnfldfunOLD  21288  cnfldfunALTOLD  21289  absabv  21331  cnmet  24657  cnbl0  24659  cnblcld  24660  cnfldms  24661  cnfldnm  24664  abscncf  24792  cnfldcusp  25255  ovolfsf  25370  ovolctb  25389  iblabslem  25727  iblabs  25728  bddmulibl  25738  dvlip2  25898  c1liplem1  25899  pserulm  26329  psercn2  26330  psercn2OLD  26331  psercnlem2  26332  psercnlem1  26333  psercn  26334  pserdvlem1  26335  pserdvlem2  26336  pserdv  26337  pserdv2  26338  abelth  26349  efif1olem3  26451  efif1olem4  26452  efifo  26454  eff1olem  26455  logcn  26554  efopnlem1  26563  logtayl  26567  cnnv  30621  cnnvg  30622  cnnvs  30624  cnnvnm  30625  cncph  30763  mblfinlem2  37642  ftc1anclem1  37677  ftc1anclem2  37678  ftc1anclem3  37679  ftc1anclem4  37680  ftc1anclem5  37681  ftc1anclem6  37682  ftc1anclem7  37683  ftc1anclem8  37684  ftc1anc  37685  absex  42225  extoimad  44141  imo72b2lem0  44142  imo72b2lem2  44144  imo72b2lem1  44146  imo72b2  44149  sblpnf  44287  binomcxplemdvbinom  44330  binomcxplemcvg  44331  binomcxplemdvsum  44332  binomcxplemnotnn0  44333  absfun  45334  cncficcgt0  45873  fourierdlem42  46134  hoicvr  46533  ovolval2lem  46628  ovolval3  46632