MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rennim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rennim 15188
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
rennim (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)

Proof of Theorem rennim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11166 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
2 recn 11197 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 mulcl 11191 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 rpre 12983 . . . . . . 7 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
6 rereb 15069 . . . . . . 7 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด)))
75, 6imbitrid 243 . . . . . 6 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด)))
84, 7syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด)))
94addlidd 11414 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 + (i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด))
109fveq2d 6886 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(0 + (i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)))
11 0re 11215 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
12 crre 15063 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(0 + (i ยท ๐ด))) = 0)
1311, 12mpan 687 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(0 + (i ยท ๐ด))) = 0)
1410, 13eqtr3d 2766 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = 0)
1514eqeq1d 2726 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด) โ†” 0 = (i ยท ๐ด)))
168, 15sylibd 238 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 = (i ยท ๐ด)))
17 rpne0 12991 . . . . . 6 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  0)
1817necon2bi 2963 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) = 0 โ†’ ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
1918eqcoms 2732 . . . 4 (0 = (i ยท ๐ด) โ†’ ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2016, 19syl6 35 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+))
2120pm2.01d 189 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
22 df-nel 3039 . 2 ((i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2321, 22sylibr 233 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3038  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„+crp 12975  โ„œcre 15046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12976  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  sqrt0  15190  resqreu  15201  resqrtcl  15202
  Copyright terms: Public domain W3C validator