![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rennim | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
rennim | โข (๐ด โ โ โ (i ยท ๐ด) โ โ+) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-icn 11118 | . . . . . . 7 โข i โ โ | |
2 | recn 11149 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
3 | mulcl 11143 | . . . . . . 7 โข ((i โ โ โง ๐ด โ โ) โ (i ยท ๐ด) โ โ) | |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 588 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (i ยท ๐ด) โ โ) |
5 | rpre 12931 | . . . . . . 7 โข ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ (i ยท ๐ด) โ โ) | |
6 | rereb 15014 | . . . . . . 7 โข ((i ยท ๐ด) โ โ โ ((i ยท ๐ด) โ โ โ (โโ(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด))) | |
7 | 5, 6 | imbitrid 243 | . . . . . 6 โข ((i ยท ๐ด) โ โ โ ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ (โโ(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด))) |
8 | 4, 7 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ (โโ(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด))) |
9 | 4 | addid2d 11364 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ (0 + (i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด)) |
10 | 9 | fveq2d 6850 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ(0 + (i ยท ๐ด))) = (โโ(i ยท ๐ด))) |
11 | 0re 11165 | . . . . . . . 8 โข 0 โ โ | |
12 | crre 15008 | . . . . . . . 8 โข ((0 โ โ โง ๐ด โ โ) โ (โโ(0 + (i ยท ๐ด))) = 0) | |
13 | 11, 12 | mpan 689 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ(0 + (i ยท ๐ด))) = 0) |
14 | 10, 13 | eqtr3d 2775 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ(i ยท ๐ด)) = 0) |
15 | 14 | eqeq1d 2735 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(i ยท ๐ด)) = (i ยท ๐ด) โ 0 = (i ยท ๐ด))) |
16 | 8, 15 | sylibd 238 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ 0 = (i ยท ๐ด))) |
17 | rpne0 12939 | . . . . . 6 โข ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ (i ยท ๐ด) โ 0) | |
18 | 17 | necon2bi 2971 | . . . . 5 โข ((i ยท ๐ด) = 0 โ ยฌ (i ยท ๐ด) โ โ+) |
19 | 18 | eqcoms 2741 | . . . 4 โข (0 = (i ยท ๐ด) โ ยฌ (i ยท ๐ด) โ โ+) |
20 | 16, 19 | syl6 35 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ ยฌ (i ยท ๐ด) โ โ+)) |
21 | 20 | pm2.01d 189 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ยฌ (i ยท ๐ด) โ โ+) |
22 | df-nel 3047 | . 2 โข ((i ยท ๐ด) โ โ+ โ ยฌ (i ยท ๐ด) โ โ+) | |
23 | 21, 22 | sylibr 233 | 1 โข (๐ด โ โ โ (i ยท ๐ด) โ โ+) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wnel 3046 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcc 11057 โcr 11058 0cc0 11059 ici 11061 + caddc 11062 ยท cmul 11064 โ+crp 12923 โcre 14991 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-2 12224 df-rp 12924 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 |
This theorem is referenced by: sqrt0 15135 resqreu 15146 resqrtcl 15147 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |