MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rennim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rennim 14458
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
rennim (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10393 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 10424 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10418 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 579 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpre 12211 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6 rereb 14339 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
75, 6syl5ib 236 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
94addid2d 10640 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
109fveq2d 6501 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11 0re 10440 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
12 crre 14333 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1311, 12mpan 678 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1410, 13eqtr3d 2811 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
1514eqeq1d 2775 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
168, 15sylibd 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17 rpne0 12221 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
1817necon2bi 2992 . . . . 5 ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
1918eqcoms 2781 . . . 4 (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2016, 19syl6 35 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
2120pm2.01d 182 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22 df-nel 3069 . 2 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2321, 22sylibr 226 1 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  wnel 3068  cfv 6186  (class class class)co 6975  cc 10332  cr 10333  0cc0 10334  ici 10336   + caddc 10337   · cmul 10339  +crp 12203  cre 14316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-2 11502  df-rp 12204  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320
This theorem is referenced by:  sqr0lem  14460  resqreu  14472  resqrtcl  14473
  Copyright terms: Public domain W3C validator