MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rennim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rennim 14802
Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
rennim (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10788 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 10819 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10813 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpre 12594 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6 rereb 14683 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
75, 6syl5ib 247 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
94addid2d 11033 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
109fveq2d 6721 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11 0re 10835 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
12 crre 14677 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1311, 12mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
1410, 13eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
1514eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
168, 15sylibd 242 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17 rpne0 12602 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
1817necon2bi 2971 . . . . 5 ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
1918eqcoms 2745 . . . 4 (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2016, 19syl6 35 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
2120pm2.01d 193 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22 df-nel 3047 . 2 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2321, 22sylibr 237 1 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wnel 3046  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  ici 10731   + caddc 10732   · cmul 10734  +crp 12586  cre 14660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-rp 12587  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664
This theorem is referenced by:  sqr0lem  14804  resqreu  14816  resqrtcl  14817
  Copyright terms: Public domain W3C validator