Theorem rennim 15219

Description: A real number does not lie on the negative imaginary axis. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rennim	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Proof of Theorem rennim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11198	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11223	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpre 13015	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
6		rereb 15100	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
7	5, 6	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴)))
9	4	addlidd 11446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (i · 𝐴)) = (i · 𝐴))
10	9	fveq2d 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘(i · 𝐴)))
11		0re 11247	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		crre 15094	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
13	11, 12	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(0 + (i · 𝐴))) = 0)
14	10, 13	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = 0)
15	14	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘(i · 𝐴)) = (i · 𝐴) ↔ 0 = (i · 𝐴)))
16	8, 15	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → 0 = (i · 𝐴)))
17		rpne0 13023	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ≠ 0)
18	17	necon2bi 2968	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
19	18	eqcoms 2736	. . . 4 ⊢ (0 = (i · 𝐴) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 19	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
21	20	pm2.01d 189	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
22		df-nel 3044	. 2 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
23	21, 22	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3043  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  ici 11141   + caddc 11142   · cmul 11144  ℝ⁺crp 13007  ℜcre 15077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-rp 13008  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081

This theorem is referenced by:  sqrt0  15221  resqreu  15232  resqrtcl  15233