HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii-i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-iii-i 28918
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-iii.1 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm-iii-i (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i
StepHypRef Expression
1 norm-iii.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 norm-iii.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
31, 1, 2, 2his35i 28868 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
43fveq2i 6675 . . 3 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
51cjmulrcli 14538 . . . 4 (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6 hiidrcl 28874 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
72, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
81cjmulge0i 14540 . . . 4 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9 hiidge0 28877 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
102, 9ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
115, 7, 8, 10sqrtmulii 14748 . . 3 (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
124, 11eqtri 2846 . 2 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
131, 2hvmulcli 28793 . . 3 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
14 normval 28903 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))))
1513, 14ax-mp 5 . 2 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)))
16 absval 14599 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
171, 16ax-mp 5 . . 3 (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18 normval 28903 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
192, 18ax-mp 5 . . 3 (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
2017, 19oveq12i 7170 . 2 ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
2112, 15, 203eqtr4i 2856 1 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5068  cfv 6357  (class class class)co 7158  cc 10537  cr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544  cle 10678  ccj 14457  csqrt 14594  abscabs 14595  chba 28698   · csm 28700   ·ih csp 28701  normcno 28702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-hv0cl 28782  ax-hfvmul 28784  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his1 28861  ax-his3 28863  ax-his4 28864
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-hnorm 28747
This theorem is referenced by:  norm-iii  28919  normsubi  28920  normpar2i  28935
  Copyright terms: Public domain W3C validator