Theorem norm-iii-i 31228

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm-iii-i	⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		norm-iii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 1, 2, 2	his35i 31178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
4	3	fveq2i 6830	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
5	1	cjmulrcli 15130	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6		hiidrcl 31184	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
8	1	cjmulge0i 15132	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9		hiidge0 31187	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
11	5, 7, 8, 10	sqrtmulii 15340	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
12	4, 11	eqtri 2762	. 2 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
13	1, 2	hvmulcli 31103	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
14		normval 31213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
16		absval 15191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
17	1, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18		normval 31213	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
20	17, 19	oveq12i 7368	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
21	12, 15, 20	3eqtr4i 2772	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   ≤ cle 11171  ∗ccj 15049  √csqrt 15186  abscabs 15187   ℋchba 31008   ·_ℎ csm 31010   ·_ih csp 31011  norm_ℎcno 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-hv0cl 31092  ax-hfvmul 31094  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-hnorm 31057

This theorem is referenced by:  norm-iii  31229  normsubi  31230  normpar2i  31245