Theorem norm-iii-i 29637

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm-iii-i	⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		norm-iii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 1, 2, 2	his35i 29587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
4	3	fveq2i 6815	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
5	1	cjmulrcli 14967	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6		hiidrcl 29593	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
8	1	cjmulge0i 14969	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9		hiidge0 29596	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
11	5, 7, 8, 10	sqrtmulii 15177	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
12	4, 11	eqtri 2765	. 2 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
13	1, 2	hvmulcli 29512	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
14		normval 29622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
16		absval 15028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
17	1, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18		normval 29622	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
20	17, 19	oveq12i 7329	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
21	12, 15, 20	3eqtr4i 2775	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  ℂcc 10949  ℝcr 10950  0cc0 10951   · cmul 10956   ≤ cle 11090  ∗ccj 14886  √csqrt 15023  abscabs 15024   ℋchba 29417   ·_ℎ csm 29419   ·_ih csp 29420  norm_ℎcno 29421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-hv0cl 29501  ax-hfvmul 29503  ax-hvmul0 29508  ax-hfi 29577  ax-his1 29580  ax-his3 29582  ax-his4 29583

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-sup 9278  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-rp 12811  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-hnorm 29466

This theorem is referenced by:  norm-iii  29638  normsubi  29639  normpar2i  29654