Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii-i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-iii-i 28547
 Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-iii.1 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm-iii-i (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i
StepHypRef Expression
1 norm-iii.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 norm-iii.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
31, 1, 2, 2his35i 28497 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
43fveq2i 6440 . . 3 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
51cjmulrcli 14301 . . . 4 (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6 hiidrcl 28503 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
72, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
81cjmulge0i 14303 . . . 4 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9 hiidge0 28506 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
102, 9ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
115, 7, 8, 10sqrtmulii 14510 . . 3 (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
124, 11eqtri 2849 . 2 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
131, 2hvmulcli 28422 . . 3 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
14 normval 28532 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))))
1513, 14ax-mp 5 . 2 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)))
16 absval 14362 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
171, 16ax-mp 5 . . 3 (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18 normval 28532 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
192, 18ax-mp 5 . . 3 (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
2017, 19oveq12i 6922 . 2 ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
2112, 15, 203eqtr4i 2859 1 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259   · cmul 10264   ≤ cle 10399  ∗ccj 14220  √csqrt 14357  abscabs 14358   ℋchba 28327   ·ℎ csm 28329   ·ih csp 28330  normℎcno 28331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-hv0cl 28411  ax-hfvmul 28413  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his3 28492  ax-his4 28493 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-hnorm 28376 This theorem is referenced by:  norm-iii  28548  normsubi  28549  normpar2i  28564
 Copyright terms: Public domain W3C validator