Theorem norm-iii-i 31734

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm-iii-i	⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		norm-iii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 1, 2, 2	his35i 31684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
4	3	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
5	1	cjmulrcli 15337	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6		hiidrcl 31690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
8	1	cjmulge0i 15339	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9		hiidge0 31693	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
11	5, 7, 8, 10	sqrtmulii 15547	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
12	4, 11	eqtri 2784	. 2 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
13	1, 2	hvmulcli 31609	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
14		normval 31719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
16		absval 15398	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
17	1, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18		normval 31719	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
20	17, 19	oveq12i 7430	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
21	12, 15, 20	3eqtr4i 2794	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193   · cmul 11198   ≤ cle 11337  ∗ccj 15256  √csqrt 15393  abscabs 15394   ℋchba 31514   ·_ℎ csm 31516   ·_ih csp 31517  norm_ℎcno 31518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-hv0cl 31598  ax-hfvmul 31600  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his3 31679  ax-his4 31680

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-hnorm 31563

This theorem is used by:  norm-iii  31735  normsubi  31736  normpar2i  31751