Theorem norm-iii-i 31158

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm-iii-i	⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		norm-iii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 1, 2, 2	his35i 31108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
4	3	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
5	1	cjmulrcli 15216	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6		hiidrcl 31114	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
8	1	cjmulge0i 15218	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9		hiidge0 31117	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
11	5, 7, 8, 10	sqrtmulii 15425	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
12	4, 11	eqtri 2765	. 2 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
13	1, 2	hvmulcli 31033	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
14		normval 31143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
16		absval 15277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
17	1, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18		normval 31143	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
20	17, 19	oveq12i 7443	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
21	12, 15, 20	3eqtr4i 2775	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   ≤ cle 11296  ∗ccj 15135  √csqrt 15272  abscabs 15273   ℋchba 30938   ·_ℎ csm 30940   ·_ih csp 30941  norm_ℎcno 30942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-hnorm 30987

This theorem is referenced by:  norm-iii  31159  normsubi  31160  normpar2i  31175