Theorem norm-iii-i 31748

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm-iii-i	⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		norm-iii.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 1, 2, 2	his35i 31698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
4	3	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
5	1	cjmulrcli 15351	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6		hiidrcl 31704	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
8	1	cjmulge0i 15353	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9		hiidge0 31707	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
11	5, 7, 8, 10	sqrtmulii 15561	. . 3 ⊢ (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
12	4, 11	eqtri 2783	. 2 ⊢ (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
13	1, 2	hvmulcli 31623	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
14		normval 31733	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵))))
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = (√‘((𝐴 ·ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 ·ℎ 𝐵)))
16		absval 15412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
17	1, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18		normval 31733	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (normℎ‘𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
20	17, 19	oveq12i 7434	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
21	12, 15, 20	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 ·ℎ 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (normℎ‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205   · cmul 11210   ≤ cle 11349  ∗ccj 15270  √csqrt 15407  abscabs 15408   ℋchba 31528   ·_ℎ csm 31530   ·_ih csp 31531  norm_ℎcno 31532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-hv0cl 31612  ax-hfvmul 31614  ax-hvmul0 31619  ax-hfi 31688  ax-his1 31691  ax-his3 31693  ax-his4 31694

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-hnorm 31577

This theorem is used by:  norm-iii  31749  normsubi  31750  normpar2i  31765