Theorem abscl 15457

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval 15417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
2		cjmulrcl 15323	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
3		cjmulge0 15325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
4		resqrtcl 15432	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210   · cmul 11215   ≤ cle 11354  ∗ccj 15275  √csqrt 15412  abscabs 15413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415

This theorem is used by:  absreim  15472  absdiv  15474  leabs  15478  absexp  15483  absexpz  15484  sqabs  15486  absimle  15488  abslt  15494  absle  15495  abssubne0  15496  lenegsq  15500  releabs  15501  recval  15502  absidm  15503  absgt0  15504  abstri  15510  abs2dif  15512  abs2difabs  15514  abs1m  15515  absf  15517  abs3lem  15518  abslem2  15519  absrdbnd  15521  caubnd2  15537  caubnd  15538  sqreulem  15539  sqreu  15540  abscli  15575  abscld  15618  mulcn2  15775  seqabs  15993  cvgcmpce  15997  divrcnv  16033  geomulcvg  16057  efcllem  16255  cnbl0  25104  cnblcld  25105  cncmet  25655  iblmulc2  26163  bddmulibl  26171  dveflem  26311  abelth  26780  efiarg  26947  argregt0  26950  argimgt0  26952  tanarg  26959  logtayllem  26999  bndatandm  27269  atantayl  27277  efrlim  27309  ftalem2  27413  lgslem3  27638  smcnlem  31311  cncph  31433  nmophmi  32645  bdophmi  32646  zrhnm  34652  sqrtcvallem2  44777  sqrtcvallem3  44778  sqrtcvallem4  44779  sqrtcvallem5  44780  sqrtcval  44781  absfico  46370