MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscl 14637
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 14596 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
2 cjmulrcl 14502 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
3 cjmulge0 14504 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
4 resqrtcl 14612 . . 3 (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 586 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
61, 5eqeltrd 2913 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536   · cmul 10541  cle 10675  ccj 14454  csqrt 14591  abscabs 14592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594
This theorem is referenced by:  absreim  14652  absdiv  14654  leabs  14658  absexp  14663  absexpz  14664  sqabs  14666  absimle  14668  abslt  14673  absle  14674  abssubne0  14675  lenegsq  14679  releabs  14680  recval  14681  absidm  14682  absgt0  14683  abstri  14689  abs2dif  14691  abs2difabs  14693  abs1m  14694  absf  14696  abs3lem  14697  abslem2  14698  absrdbnd  14700  caubnd2  14716  caubnd  14717  sqreulem  14718  sqreu  14719  abscli  14754  abscld  14795  mulcn2  14951  seqabs  15168  cvgcmpce  15172  divrcnv  15206  geomulcvg  15231  efcllem  15430  cnbl0  23381  cnblcld  23382  cncmet  23924  iblmulc2  24430  bddmulibl  24438  dveflem  24575  abelth  25028  efiarg  25189  argregt0  25192  argimgt0  25194  tanarg  25201  logtayllem  25241  bndatandm  25506  atantayl  25514  efrlim  25546  ftalem2  25650  lgslem3  25874  smcnlem  28473  cncph  28595  nmophmi  29807  bdophmi  29808  zrhnm  31210  absfico  41479
  Copyright terms: Public domain W3C validator