MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscl 14359
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 14319 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
2 cjmulrcl 14225 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
3 cjmulge0 14227 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
4 resqrtcl 14335 . . 3 (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 580 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
61, 5eqeltrd 2878 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   · cmul 10229  cle 10364  ccj 14177  csqrt 14314  abscabs 14315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317
This theorem is referenced by:  absreim  14374  absdiv  14376  leabs  14380  absexp  14385  absexpz  14386  sqabs  14388  absimle  14390  abslt  14395  absle  14396  abssubne0  14397  lenegsq  14401  releabs  14402  recval  14403  absidm  14404  absgt0  14405  abstri  14411  abs2dif  14413  abs2difabs  14415  abs1m  14416  absf  14418  abs3lem  14419  abslem2  14420  absrdbnd  14422  caubnd2  14438  caubnd  14439  sqreulem  14440  sqreu  14441  abscli  14475  abscld  14516  mulcn2  14667  seqabs  14884  cvgcmpce  14888  divrcnv  14922  geomulcvg  14945  efcllem  15144  cnbl0  22905  cnblcld  22906  cncmet  23448  iblmulc2  23938  bddmulibl  23946  dveflem  24083  abelth  24536  efiarg  24694  argregt0  24697  argimgt0  24699  tanarg  24706  logtayllem  24746  bndatandm  25008  atantayl  25016  efrlim  25048  ftalem2  25152  lgslem3  25376  smcnlem  28077  cncph  28199  nmophmi  29415  bdophmi  29416  zrhnm  30529  absfico  40158
  Copyright terms: Public domain W3C validator