Theorem abscl 15329

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval 15289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
2		cjmulrcl 15195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
3		cjmulge0 15197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
4		resqrtcl 15304	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   · cmul 11105   ≤ cle 11244  ∗ccj 15147  √csqrt 15284  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  absreim  15344  absdiv  15346  leabs  15350  absexp  15355  absexpz  15356  sqabs  15358  absimle  15360  abslt  15366  absle  15367  abssubne0  15368  lenegsq  15372  releabs  15373  recval  15374  absidm  15375  absgt0  15376  abstri  15382  abs2dif  15384  abs2difabs  15386  abs1m  15387  absf  15389  abs3lem  15390  abslem2  15391  absrdbnd  15393  caubnd2  15409  caubnd  15410  sqreulem  15411  sqreu  15412  abscli  15447  abscld  15490  mulcn2  15647  seqabs  15866  cvgcmpce  15870  divrcnv  15906  geomulcvg  15930  efcllem  16131  cnbl0  24899  cnblcld  24900  cncmet  25450  iblmulc2  25959  bddmulibl  25967  dveflem  26107  abelth  26570  efiarg  26738  argregt0  26741  argimgt0  26743  tanarg  26750  logtayllem  26790  bndatandm  27060  atantayl  27068  efrlim  27100  ftalem2  27204  lgslem3  27429  smcnlem  30990  cncph  31112  nmophmi  32324  bdophmi  32325  zrhnm  34302  sqrtcvallem2  44289  sqrtcvallem3  44290  sqrtcvallem4  44291  sqrtcvallem5  44292  sqrtcval  44293  absfico  45860