Theorem absfico 45404

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absfico	⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem absfico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15157	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		0xr 11177	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11184	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → +∞ ∈ ℝ*)
6		absval 15159	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
7		abscl 15199	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11180	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ*)
10		cjmulrcl 15065	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 15067	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
12		sqrtge0 15178	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥))) → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
14	8	ltpnfd 13033	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) < +∞)
15	3, 5, 9, 13, 14	elicod 13309	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ (0[,)+∞))
16	1, 15	fmpti 7055	1 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024   · cmul 11029  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  [,)cico 13261  ∗ccj 15017  √csqrt 15154  abscabs 15155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ico 13265  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157

This theorem is referenced by:  ovolval2  46830