Theorem absfico 40335

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absfico	⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem absfico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 14383	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		0xr 10423	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10430	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → +∞ ∈ ℝ*)
6		absval 14385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
7		abscl 14425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10426	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ*)
10		cjmulrcl 14291	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 14293	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
12		sqrtge0 14405	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥))) → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
13	10, 11, 12	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
14	8	ltpnfd 12266	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) < +∞)
15	3, 5, 9, 13, 14	elicod 12536	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ (0[,)+∞))
16	1, 15	fmpti 6646	1 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272   · cmul 10277  +∞cpnf 10408  ℝ^*cxr 10410   ≤ cle 10412  [,)cico 12489  ∗ccj 14243  √csqrt 14380  abscabs 14381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383

This theorem is referenced by:  ovolval2  41789