Theorem absfico 45647

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absfico	⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem absfico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15198	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		0xr 11192	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11199	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → +∞ ∈ ℝ*)
6		absval 15200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
7		abscl 15240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ*)
10		cjmulrcl 15106	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 15108	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
12		sqrtge0 15219	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥))) → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
14	8	ltpnfd 13072	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) < +∞)
15	3, 5, 9, 13, 14	elicod 13348	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ (0[,)+∞))
16	1, 15	fmpti 7064	1 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  [,)cico 13300  ∗ccj 15058  √csqrt 15195  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  ovolval2  47072