Theorem absfico 43542

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
absfico	⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Proof of Theorem absfico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 15134	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		0xr 11212	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11219	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → +∞ ∈ ℝ*)
6		absval 15136	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
7		abscl 15176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11215	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ*)
10		cjmulrcl 15042	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 15044	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥)))
12		sqrtge0 15155	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (∗‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 · (∗‘𝑥))) → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
14	8	ltpnfd 13052	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) < +∞)
15	3, 5, 9, 13, 14	elicod 13325	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ (0[,)+∞))
16	1, 15	fmpti 7066	1 ⊢ abs:ℂ⟶(0[,)+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5111  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7363  ℂcc 11059  ℝcr 11060  0cc0 11061   · cmul 11066  +∞cpnf 11196  ℝ^*cxr 11198   ≤ cle 11200  [,)cico 13277  ∗ccj 14994  √csqrt 15131  abscabs 15132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-sup 9388  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-rp 12926  df-ico 13281  df-seq 13918  df-exp 13979  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134

This theorem is referenced by:  ovolval2  44987