Theorem siii 31488

Description: Inference from sii 31489. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
siii	⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7454	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)))
2		siii.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
3	2	phnvi 31451	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		siii.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
5		siii.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7		siii.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dip0r 31352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0
10	1, 9	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
11	10	abs00bd 15490	. . 3 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12		siii.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	5, 12	nvge0 31308	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
14	3, 4, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
15		siii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
16	5, 12	nvge0 31308	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
17	3, 15, 16	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
18	5, 12, 3, 4	nvcli 31297	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
19	5, 12, 3, 15	nvcli 31297	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
20	18, 19	mulge0i 11893	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	14, 17, 20	mp2an 705	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
22	11, 21	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
23	5, 7	dipcl 31347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	3, 4, 15, 23	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
25		absval 15437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
27	19	recni 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
28	27	sqeq0i 14355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁‘𝐵) = 0)
29	5, 6, 12	nvz 31304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈)))
30	3, 15, 29	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
31	28, 30	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
32	31	necon3bii 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
33	5, 7	dipcl 31347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
34	3, 15, 4, 33	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
35	19	resqcli 14359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
36	35	recni 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
37	34, 36	divcan1zi 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
38	32, 37	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
39	5, 7	dipcj 31349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
40	3, 4, 15, 39	mp3an 1491	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
41	38, 40	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
42	41	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
43	42	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
44	26, 43	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
45	38	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
46	34, 36	divclzi 12082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
48		div23 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
49	34, 24, 48	mp3an12 1481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
50	36, 49	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
51	32, 50	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
52	5, 7	ipipcj 31350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
53	3, 4, 15, 52	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
54	24, 34, 53	mulcomli 11348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
55	54	oveq1i 7456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2))
56	51, 55	eqtr3di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
57	24	abscli 15595	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
58	57	resqcli 14359	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
59	58, 35	redivclzi 12113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
60	32, 59	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
61	56, 60	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
62	30	necon3bii 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
63	19	sqgt0i 14360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
64	62, 63	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
65	57	sqge0i 14361	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66		divge0 12216	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
67	58, 65, 66	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
68	35, 64, 67	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
69	68, 56	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
71		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
72	5, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71	siilem2 31487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
73	47, 61, 69, 72	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
74	45, 73	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
75	44, 74	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
76	22, 75	pm2.61ine 3042	1 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374   / cdiv 12003  2c2 12427  ↑cexp 14234  ∗ccj 15295  √csqrt 15432  abscabs 15433  NrmCVeccnv 31219  BaseSetcba 31221   ·_𝑠OLD cns 31222  0_veccn0v 31223   −_𝑣 cnsb 31224  norm_CVcnmcv 31225  ·_𝑖OLDcdip 31335  CPreHil_OLDccphlo 31447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-t1 23665  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-grpo 31128  df-gid 31129  df-ginv 31130  df-gdiv 31131  df-ablo 31180  df-vc 31194  df-nv 31227  df-va 31230  df-ba 31231  df-sm 31232  df-0v 31233  df-vs 31234  df-nmcv 31235  df-ims 31236  df-dip 31336  df-ph 31448

This theorem is used by:  sii  31489  bcsiHIL  31815