Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siii 28634
 Description: Inference from sii 28635. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
siii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴𝑋
siii.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))

Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 7148 . . . . 5 (𝐵 = (0vec𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec𝑈)))
2 siii.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
32phnvi 28597 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 eqid 2822 . . . . . . 7 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
85, 6, 7dip0r 28498 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃(0vec𝑈)) = 0)
93, 4, 8mp2an 691 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vec𝑈)) = 0
101, 9syl6eq 2873 . . . 4 (𝐵 = (0vec𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
1110abs00bd 14642 . . 3 (𝐵 = (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
135, 12nvge0 28454 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
143, 4, 13mp2an 691 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐴)
15 siii.b . . . . 5 𝐵𝑋
165, 12nvge0 28454 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
173, 15, 16mp2an 691 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐵)
185, 12, 3, 4nvcli 28443 . . . . 5 (𝑁𝐴) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 28443 . . . . 5 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 11176 . . . 4 ((0 ≤ (𝑁𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
2114, 17, 20mp2an 691 . . 3 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
2211, 21eqbrtrdi 5081 . 2 (𝐵 = (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
2319recni 10644 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
2423sqeq0i 13541 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁𝐵) = 0)
255, 6, 12nvz 28450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((𝑁𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec𝑈)))
263, 15, 25mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec𝑈))
2724, 26bitri 278 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec𝑈))
2827necon3bii 3063 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec𝑈))
295, 7dipcl 28493 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
303, 15, 4, 29mp3an 1458 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
3119resqcli 13545 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ
3231recni 10644 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
3330, 32divcan1zi 11365 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
3428, 33sylbir 238 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
355, 7dipcj 28495 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
363, 4, 15, 35mp3an 1458 . . . . . . 7 (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
3734, 36eqtr4di 2875 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
3837oveq2d 7156 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
3938fveq2d 6656 . . . 4 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
405, 7dipcl 28493 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
413, 4, 15, 40mp3an 1458 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
42 absval 14588 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
4341, 42ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
4439, 43syl6reqr 2876 . . 3 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))))
4534eqcomd 2828 . . . 4 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))
4630, 32divclzi 11364 . . . . . 6 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
4728, 46sylbir 238 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
485, 7ipipcj 28496 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
493, 4, 15, 48mp3an 1458 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
5041, 30, 49mulcomli 10639 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
5150oveq1i 7150 . . . . . . 7 (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2))
52 div23 11306 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5330, 41, 52mp3an12 1448 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5432, 53mpan 689 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5528, 54sylbir 238 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5651, 55syl5reqr 2872 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
5741abscli 14746 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
5857resqcli 13545 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
5958, 31redivclzi 11395 . . . . . . 7 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
6028, 59sylbir 238 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2914 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
6226necon3bii 3063 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec𝑈))
6319sqgt0i 13546 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁𝐵)↑2))
6462, 63sylbir 238 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → 0 < ((𝑁𝐵)↑2))
6557sqge0i 13547 . . . . . . . 8 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66 divge0 11498 . . . . . . . 8 (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 701 . . . . . . 7 ((((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
6831, 64, 67sylancr 590 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
6968, 56breqtrrd 5070 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70 eqid 2822 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
71 eqid 2822 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 28633 . . . . 5 ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1368 . . . 4 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
7544, 74eqbrtrd 5064 . 2 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
7622, 75pm2.61ine 3094 1 (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  ↑cexp 13425  ∗ccj 14446  √csqrt 14583  abscabs 14584  NrmCVeccnv 28365  BaseSetcba 28367   ·𝑠OLD cns 28368  0veccn0v 28369   −𝑣 cnsb 28370  normCVcnmcv 28371  ·𝑖OLDcdip 28481  CPreHilOLDccphlo 28593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-t1 21917  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-gdiv 28277  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-vs 28380  df-nmcv 28381  df-ims 28382  df-dip 28482  df-ph 28594 This theorem is referenced by:  sii  28635  bcsiHIL  28961
 Copyright terms: Public domain W3C validator