Theorem siii 30924

Description: Inference from sii 30925. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
siii	⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)))
2		siii.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
3	2	phnvi 30887	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		siii.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
5		siii.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7		siii.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dip0r 30788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0
10	1, 9	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
11	10	abs00bd 15253	. . 3 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12		siii.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	5, 12	nvge0 30744	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
14	3, 4, 13	mp2an 693	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
15		siii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
16	5, 12	nvge0 30744	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
17	3, 15, 16	mp2an 693	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
18	5, 12, 3, 4	nvcli 30733	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
19	5, 12, 3, 15	nvcli 30733	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
20	18, 19	mulge0i 11697	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	14, 17, 20	mp2an 693	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
22	11, 21	eqbrtrdi 5124	. 2 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
23	5, 7	dipcl 30783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	3, 4, 15, 23	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
25		absval 15200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
27	19	recni 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
28	27	sqeq0i 14144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁‘𝐵) = 0)
29	5, 6, 12	nvz 30740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈)))
30	3, 15, 29	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
31	28, 30	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
32	31	necon3bii 2984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
33	5, 7	dipcl 30783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
34	3, 15, 4, 33	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
35	19	resqcli 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
36	35	recni 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
37	34, 36	divcan1zi 11891	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
38	32, 37	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
39	5, 7	dipcj 30785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
40	3, 4, 15, 39	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
41	38, 40	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
42	41	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
43	42	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
44	26, 43	eqtr4id 2790	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
45	38	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
46	34, 36	divclzi 11890	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
48		div23 11828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
49	34, 24, 48	mp3an12 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
50	36, 49	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
51	32, 50	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
52	5, 7	ipipcj 30786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
53	3, 4, 15, 52	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
54	24, 34, 53	mulcomli 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
55	54	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2))
56	51, 55	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
57	24	abscli 15358	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
58	57	resqcli 14148	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
59	58, 35	redivclzi 11921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
60	32, 59	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
61	56, 60	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
62	30	necon3bii 2984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
63	19	sqgt0i 14149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
64	62, 63	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
65	57	sqge0i 14150	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66		divge0 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
67	58, 65, 66	mpanl12 703	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
68	35, 64, 67	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
69	68, 56	breqtrrd 5113	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
71		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
72	5, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71	siilem2 30923	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
73	47, 61, 69, 72	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
74	45, 73	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
75	44, 74	eqbrtrd 5107	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
76	22, 75	pm2.61ine 3015	1 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  2c2 12236  ↑cexp 14023  ∗ccj 15058  √csqrt 15195  abscabs 15196  NrmCVeccnv 30655  BaseSetcba 30657   ·_𝑠OLD cns 30658  0_veccn0v 30659   −_𝑣 cnsb 30660  norm_CVcnmcv 30661  ·_𝑖OLDcdip 30771  CPreHil_OLDccphlo 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-t1 23279  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ph 30884

This theorem is referenced by:  sii  30925  bcsiHIL  31251