Theorem siii 30882

Description: Inference from sii 30883. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
siii	⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)))
2		siii.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
3	2	phnvi 30845	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		siii.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
5		siii.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7		siii.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dip0r 30746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0
10	1, 9	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
11	10	abs00bd 15327	. . 3 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12		siii.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	5, 12	nvge0 30702	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
14	3, 4, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
15		siii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
16	5, 12	nvge0 30702	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
17	3, 15, 16	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
18	5, 12, 3, 4	nvcli 30691	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
19	5, 12, 3, 15	nvcli 30691	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
20	18, 19	mulge0i 11808	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	14, 17, 20	mp2an 692	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
22	11, 21	eqbrtrdi 5187	. 2 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
23	5, 7	dipcl 30741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	3, 4, 15, 23	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
25		absval 15274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
27	19	recni 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
28	27	sqeq0i 14218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁‘𝐵) = 0)
29	5, 6, 12	nvz 30698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈)))
30	3, 15, 29	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
31	28, 30	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
32	31	necon3bii 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
33	5, 7	dipcl 30741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
34	3, 15, 4, 33	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
35	19	resqcli 14222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
36	35	recni 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
37	34, 36	divcan1zi 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
38	32, 37	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
39	5, 7	dipcj 30743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
40	3, 4, 15, 39	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
41	38, 40	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
42	41	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
43	42	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
44	26, 43	eqtr4id 2794	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
45	38	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
46	34, 36	divclzi 12000	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
48		div23 11939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
49	34, 24, 48	mp3an12 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
50	36, 49	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
51	32, 50	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
52	5, 7	ipipcj 30744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
53	3, 4, 15, 52	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
54	24, 34, 53	mulcomli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
55	54	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2))
56	51, 55	eqtr3di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
57	24	abscli 15431	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
58	57	resqcli 14222	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
59	58, 35	redivclzi 12031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
60	32, 59	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
61	56, 60	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
62	30	necon3bii 2991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
63	19	sqgt0i 14223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
64	62, 63	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
65	57	sqge0i 14224	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66		divge0 12135	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
67	58, 65, 66	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
68	35, 64, 67	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
69	68, 56	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
71		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
72	5, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71	siilem2 30881	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
73	47, 61, 69, 72	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
74	45, 73	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
75	44, 74	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
76	22, 75	pm2.61ine 3023	1 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  ↑cexp 14099  ∗ccj 15132  √csqrt 15269  abscabs 15270  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615   ·_𝑠OLD cns 30616  0_veccn0v 30617   −_𝑣 cnsb 30618  norm_CVcnmcv 30619  ·_𝑖OLDcdip 30729  CPreHil_OLDccphlo 30841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-t1 23338  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ph 30842

This theorem is referenced by:  sii  30883  bcsiHIL  31209