Theorem siii 31320

Description: Inference from sii 31321. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
siii	⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)))
2		siii.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
3	2	phnvi 31283	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		siii.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
5		siii.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7		siii.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dip0r 31184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0
10	1, 9	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
11	10	abs00bd 15380	. . 3 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12		siii.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	5, 12	nvge0 31140	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
14	3, 4, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
15		siii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
16	5, 12	nvge0 31140	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
17	3, 15, 16	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
18	5, 12, 3, 4	nvcli 31129	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
19	5, 12, 3, 15	nvcli 31129	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
20	18, 19	mulge0i 11788	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	14, 17, 20	mp2an 705	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
22	11, 21	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
23	5, 7	dipcl 31179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	3, 4, 15, 23	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
25		absval 15327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
27	19	recni 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
28	27	sqeq0i 14248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁‘𝐵) = 0)
29	5, 6, 12	nvz 31136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈)))
30	3, 15, 29	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
31	28, 30	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
32	31	necon3bii 3009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
33	5, 7	dipcl 31179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
34	3, 15, 4, 33	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
35	19	resqcli 14252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
36	35	recni 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
37	34, 36	divcan1zi 11978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
38	32, 37	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
39	5, 7	dipcj 31181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
40	3, 4, 15, 39	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
41	38, 40	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
42	41	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
43	42	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
44	26, 43	eqtr4id 2816	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
45	38	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
46	34, 36	divclzi 11977	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
48		div23 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
49	34, 24, 48	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
50	36, 49	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
51	32, 50	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
52	5, 7	ipipcj 31182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
53	3, 4, 15, 52	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
54	24, 34, 53	mulcomli 11245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
55	54	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2))
56	51, 55	eqtr3di 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
57	24	abscli 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
58	57	resqcli 14252	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
59	58, 35	redivclzi 12008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
60	32, 59	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
61	56, 60	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
62	30	necon3bii 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
63	19	sqgt0i 14253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
64	62, 63	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
65	57	sqge0i 14254	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66		divge0 12111	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
67	58, 65, 66	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
68	35, 64, 67	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
69	68, 56	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
71		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
72	5, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71	siilem2 31319	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
73	47, 61, 69, 72	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
74	45, 73	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
75	44, 74	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
76	22, 75	pm2.61ine 3040	1 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  2c2 12322  ↑cexp 14127  ∗ccj 15185  √csqrt 15322  abscabs 15323  NrmCVeccnv 31051  BaseSetcba 31053   ·_𝑠OLD cns 31054  0_veccn0v 31055   −_𝑣 cnsb 31056  norm_CVcnmcv 31057  ·_𝑖OLDcdip 31167  CPreHil_OLDccphlo 31279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-t1 23540  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ginv 30962  df-gdiv 30963  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-vs 31066  df-nmcv 31067  df-ims 31068  df-dip 31168  df-ph 31280

This theorem is used by:  sii  31321  bcsiHIL  31647