Theorem siii 31342

Description: Inference from sii 31343. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
siii	⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

Proof of Theorem siii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)))
2		siii.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
3	2	phnvi 31305	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		siii.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
5		siii.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7		siii.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	5, 6, 7	dip0r 31206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0)
9	3, 4, 8	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃(0vec‘𝑈)) = 0
10	1, 9	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
11	10	abs00bd 15382	. . 3 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12		siii.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
13	5, 12	nvge0 31162	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
14	3, 4, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
15		siii.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
16	5, 12	nvge0 31162	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
17	3, 15, 16	mp2an 705	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
18	5, 12, 3, 4	nvcli 31151	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
19	5, 12, 3, 15	nvcli 31151	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
20	18, 19	mulge0i 11789	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
21	14, 17, 20	mp2an 705	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
22	11, 21	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ (𝐵 = (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
23	5, 7	dipcl 31201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	3, 4, 15, 23	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
25		absval 15329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
27	19	recni 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
28	27	sqeq0i 14250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁‘𝐵) = 0)
29	5, 6, 12	nvz 31158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈)))
30	3, 15, 29	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
31	28, 30	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec‘𝑈))
32	31	necon3bii 3009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
33	5, 7	dipcl 31201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
34	3, 15, 4, 33	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
35	19	resqcli 14254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
36	35	recni 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
37	34, 36	divcan1zi 11979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
38	32, 37	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
39	5, 7	dipcj 31203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
40	3, 4, 15, 39	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
41	38, 40	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
42	41	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
43	42	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
44	26, 43	eqtr4id 2816	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
45	38	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
46	34, 36	divclzi 11978	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
48		div23 11919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
49	34, 24, 48	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
50	36, 49	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
51	32, 50	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
52	5, 7	ipipcj 31204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
53	3, 4, 15, 52	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
54	24, 34, 53	mulcomli 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
55	54	oveq1i 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2))
56	51, 55	eqtr3di 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
57	24	abscli 15487	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
58	57	resqcli 14254	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
59	58, 35	redivclzi 12009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
60	32, 59	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
61	56, 60	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
62	30	necon3bii 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec‘𝑈))
63	19	sqgt0i 14255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
64	62, 63	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))
65	57	sqge0i 14256	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66		divge0 12112	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
67	58, 65, 66	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
68	35, 64, 67	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁‘𝐵)↑2)))
69	68, 56	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
71		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
72	5, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71	siilem2 31341	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
73	47, 61, 69, 72	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))))
74	45, 73	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁‘𝐵)↑2)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
75	44, 74	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ (0vec‘𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
76	22, 75	pm2.61ine 3040	1 ⊢ (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   / cdiv 11899  2c2 12323  ↑cexp 14129  ∗ccj 15187  √csqrt 15324  abscabs 15325  NrmCVeccnv 31073  BaseSetcba 31075   ·_𝑠OLD cns 31076  0_veccn0v 31077   −_𝑣 cnsb 31078  norm_CVcnmcv 31079  ·_𝑖OLDcdip 31189  CPreHil_OLDccphlo 31301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-t1 23545  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-gdiv 30985  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-vs 31088  df-nmcv 31089  df-ims 31090  df-dip 31190  df-ph 31302

This theorem is used by:  sii  31343  bcsiHIL  31669