MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siii 29624
Description: Inference from sii 29625. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))

Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 7359 . . . . 5 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)))
2 siii.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
32phnvi 29587 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dip0r 29488 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
93, 4, 8mp2an 690 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0
101, 9eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
1110abs00bd 15136 . . 3 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
135, 12nvge0 29444 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
143, 4, 13mp2an 690 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΄)
15 siii.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
165, 12nvge0 29444 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
173, 15, 16mp2an 690 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΅)
185, 12, 3, 4nvcli 29433 . . . . 5 (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 29433 . . . . 5 (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 11660 . . . 4 ((0 ≀ (π‘β€˜π΄) ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΅)) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2114, 17, 20mp2an 690 . . 3 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
2211, 21eqbrtrdi 5142 . 2 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
235, 7dipcl 29483 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
243, 4, 15, 23mp3an 1461 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
25 absval 15083 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
2719recni 11127 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚
2827sqeq0i 14040 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ (π‘β€˜π΅) = 0)
295, 6, 12nvz 29440 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
303, 15, 29mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3128, 30bitri 274 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3231necon3bii 2994 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
335, 7dipcl 29483 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
343, 15, 4, 33mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
3519resqcli 14044 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ
3635recni 11127 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
3734, 36divcan1zi 11849 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
3832, 37sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
395, 7dipcj 29485 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
403, 4, 15, 39mp3an 1461 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴)
4138, 40eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))
4241oveq2d 7367 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
4342fveq2d 6843 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
4426, 43eqtr4id 2796 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
4538eqcomd 2743 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
4634, 36divclzi 11848 . . . . . 6 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
4732, 46sylbir 234 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
48 div23 11790 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0)) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4934, 24, 48mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5036, 49mpan 688 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5132, 50sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
525, 7ipipcj 29486 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2))
533, 4, 15, 52mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5424, 34, 53mulcomli 11122 . . . . . . . 8 ((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5554oveq1i 7361 . . . . . . 7 (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2))
5651, 55eqtr3di 2792 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
5724abscli 15240 . . . . . . . . 9 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
5857resqcli 14044 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ
5958, 35redivclzi 11879 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6032, 59sylbir 234 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ)
6230necon3bii 2994 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
6319sqgt0i 14045 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6462, 63sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6557sqge0i 14046 . . . . . . . 8 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
66 divge0 11982 . . . . . . . 8 (((((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)) ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 700 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6835, 64, 67sylancr 587 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6968, 56breqtrrd 5131 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
70 eqid 2737 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
71 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 29623 . . . . 5 ((((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚ ∧ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1371 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7544, 74eqbrtrd 5125 . 2 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7622, 75pm2.61ine 3026 1 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351  β„‚cc 11007  β„cr 11008  0cc0 11009   Β· cmul 11014   < clt 11147   ≀ cle 11148   / cdiv 11770  2c2 12166  β†‘cexp 13921  βˆ—ccj 14941  βˆšcsqrt 15078  abscabs 15079  NrmCVeccnv 29355  BaseSetcba 29357   ·𝑠OLD cns 29358  0veccn0v 29359   βˆ’π‘£ cnsb 29360  normCVcnmcv 29361  Β·π‘–OLDcdip 29471  CPreHilOLDccphlo 29583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-t1 22617  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-grpo 29264  df-gid 29265  df-ginv 29266  df-gdiv 29267  df-ablo 29316  df-vc 29330  df-nv 29363  df-va 29366  df-ba 29367  df-sm 29368  df-0v 29369  df-vs 29370  df-nmcv 29371  df-ims 29372  df-dip 29472  df-ph 29584
This theorem is referenced by:  sii  29625  bcsiHIL  29951
  Copyright terms: Public domain W3C validator