MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siii 29681
Description: Inference from sii 29682. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))

Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 7361 . . . . 5 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)))
2 siii.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
32phnvi 29644 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dip0r 29545 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
93, 4, 8mp2an 690 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0
101, 9eqtrdi 2792 . . . 4 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
1110abs00bd 15168 . . 3 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
135, 12nvge0 29501 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
143, 4, 13mp2an 690 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΄)
15 siii.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
165, 12nvge0 29501 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
173, 15, 16mp2an 690 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΅)
185, 12, 3, 4nvcli 29490 . . . . 5 (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 29490 . . . . 5 (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 11698 . . . 4 ((0 ≀ (π‘β€˜π΄) ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΅)) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2114, 17, 20mp2an 690 . . 3 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
2211, 21eqbrtrdi 5142 . 2 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
235, 7dipcl 29540 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
243, 4, 15, 23mp3an 1461 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
25 absval 15115 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
2719recni 11165 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚
2827sqeq0i 14078 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ (π‘β€˜π΅) = 0)
295, 6, 12nvz 29497 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
303, 15, 29mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3128, 30bitri 274 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3231necon3bii 2994 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
335, 7dipcl 29540 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
343, 15, 4, 33mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
3519resqcli 14082 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ
3635recni 11165 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
3734, 36divcan1zi 11887 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
3832, 37sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
395, 7dipcj 29542 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
403, 4, 15, 39mp3an 1461 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴)
4138, 40eqtr4di 2794 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))
4241oveq2d 7369 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
4342fveq2d 6843 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
4426, 43eqtr4id 2795 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
4538eqcomd 2742 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
4634, 36divclzi 11886 . . . . . 6 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
4732, 46sylbir 234 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
48 div23 11828 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0)) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4934, 24, 48mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5036, 49mpan 688 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5132, 50sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
525, 7ipipcj 29543 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2))
533, 4, 15, 52mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5424, 34, 53mulcomli 11160 . . . . . . . 8 ((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5554oveq1i 7363 . . . . . . 7 (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2))
5651, 55eqtr3di 2791 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
5724abscli 15272 . . . . . . . . 9 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
5857resqcli 14082 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ
5958, 35redivclzi 11917 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6032, 59sylbir 234 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ)
6230necon3bii 2994 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
6319sqgt0i 14083 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6462, 63sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6557sqge0i 14084 . . . . . . . 8 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
66 divge0 12020 . . . . . . . 8 (((((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)) ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 700 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6835, 64, 67sylancr 587 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6968, 56breqtrrd 5131 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
70 eqid 2736 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
71 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 29680 . . . . 5 ((((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚ ∧ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1371 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7544, 74eqbrtrd 5125 . 2 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7622, 75pm2.61ine 3026 1 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  β„‚cc 11045  β„cr 11046  0cc0 11047   Β· cmul 11052   < clt 11185   ≀ cle 11186   / cdiv 11808  2c2 12204  β†‘cexp 13959  βˆ—ccj 14973  βˆšcsqrt 15110  abscabs 15111  NrmCVeccnv 29412  BaseSetcba 29414   ·𝑠OLD cns 29415  0veccn0v 29416   βˆ’π‘£ cnsb 29417  normCVcnmcv 29418  Β·π‘–OLDcdip 29528  CPreHilOLDccphlo 29640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-t1 22649  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-grpo 29321  df-gid 29322  df-ginv 29323  df-gdiv 29324  df-ablo 29373  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-vs 29427  df-nmcv 29428  df-ims 29429  df-dip 29529  df-ph 29641
This theorem is referenced by:  sii  29682  bcsiHIL  30008
  Copyright terms: Public domain W3C validator