MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem siii 30094
Description: Inference from sii 30095. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 7414 . . . . 5 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)))
2 siii.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
32phnvi 30057 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dip0r 29958 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
93, 4, 8mp2an 691 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0
101, 9eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
1110abs00bd 15235 . . 3 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
135, 12nvge0 29914 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
143, 4, 13mp2an 691 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΄)
15 siii.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
165, 12nvge0 29914 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
173, 15, 16mp2an 691 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΅)
185, 12, 3, 4nvcli 29903 . . . . 5 (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 29903 . . . . 5 (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 11758 . . . 4 ((0 ≀ (π‘β€˜π΄) ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΅)) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2114, 17, 20mp2an 691 . . 3 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
2211, 21eqbrtrdi 5187 . 2 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
235, 7dipcl 29953 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
243, 4, 15, 23mp3an 1462 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
25 absval 15182 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
2719recni 11225 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚
2827sqeq0i 14143 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ (π‘β€˜π΅) = 0)
295, 6, 12nvz 29910 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
303, 15, 29mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3128, 30bitri 275 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3231necon3bii 2994 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
335, 7dipcl 29953 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
343, 15, 4, 33mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
3519resqcli 14147 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ
3635recni 11225 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
3734, 36divcan1zi 11947 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
3832, 37sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
395, 7dipcj 29955 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
403, 4, 15, 39mp3an 1462 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴)
4138, 40eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))
4241oveq2d 7422 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
4342fveq2d 6893 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
4426, 43eqtr4id 2792 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
4538eqcomd 2739 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
4634, 36divclzi 11946 . . . . . 6 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
4732, 46sylbir 234 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
48 div23 11888 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0)) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4934, 24, 48mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5036, 49mpan 689 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5132, 50sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
525, 7ipipcj 29956 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2))
533, 4, 15, 52mp3an 1462 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5424, 34, 53mulcomli 11220 . . . . . . . 8 ((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5554oveq1i 7416 . . . . . . 7 (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2))
5651, 55eqtr3di 2788 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
5724abscli 15339 . . . . . . . . 9 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
5857resqcli 14147 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ
5958, 35redivclzi 11977 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6032, 59sylbir 234 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2834 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ)
6230necon3bii 2994 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
6319sqgt0i 14148 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6462, 63sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6557sqge0i 14149 . . . . . . . 8 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
66 divge0 12080 . . . . . . . 8 (((((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)) ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 701 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6835, 64, 67sylancr 588 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6968, 56breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
70 eqid 2733 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
71 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 30093 . . . . 5 ((((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚ ∧ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1372 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7544, 74eqbrtrd 5170 . 2 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7622, 75pm2.61ine 3026 1 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   Β· cmul 11112   < clt 11245   ≀ cle 11246   / cdiv 11868  2c2 12264  β†‘cexp 14024  βˆ—ccj 15040  βˆšcsqrt 15177  abscabs 15178  NrmCVeccnv 29825  BaseSetcba 29827   ·𝑠OLD cns 29828  0veccn0v 29829   βˆ’π‘£ cnsb 29830  normCVcnmcv 29831  Β·π‘–OLDcdip 29941  CPreHilOLDccphlo 30053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-t1 22810  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-ph 30054
This theorem is referenced by:  sii  30095  bcsiHIL  30421
  Copyright terms: Public domain W3C validator