MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem siii 30106
Description: Inference from sii 30107. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . 5 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)))
2 siii.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
32phnvi 30069 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dip0r 29970 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
93, 4, 8mp2an 691 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0
101, 9eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
1110abs00bd 15238 . . 3 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
135, 12nvge0 29926 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
143, 4, 13mp2an 691 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΄)
15 siii.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
165, 12nvge0 29926 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
173, 15, 16mp2an 691 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΅)
185, 12, 3, 4nvcli 29915 . . . . 5 (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 29915 . . . . 5 (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 11761 . . . 4 ((0 ≀ (π‘β€˜π΄) ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΅)) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2114, 17, 20mp2an 691 . . 3 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
2211, 21eqbrtrdi 5188 . 2 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
235, 7dipcl 29965 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
243, 4, 15, 23mp3an 1462 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
25 absval 15185 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
2719recni 11228 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚
2827sqeq0i 14146 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ (π‘β€˜π΅) = 0)
295, 6, 12nvz 29922 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
303, 15, 29mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3128, 30bitri 275 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3231necon3bii 2994 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
335, 7dipcl 29965 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
343, 15, 4, 33mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
3519resqcli 14150 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ
3635recni 11228 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
3734, 36divcan1zi 11950 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
3832, 37sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
395, 7dipcj 29967 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
403, 4, 15, 39mp3an 1462 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴)
4138, 40eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))
4241oveq2d 7425 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
4342fveq2d 6896 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
4426, 43eqtr4id 2792 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
4538eqcomd 2739 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
4634, 36divclzi 11949 . . . . . 6 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
4732, 46sylbir 234 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
48 div23 11891 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0)) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4934, 24, 48mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5036, 49mpan 689 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5132, 50sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
525, 7ipipcj 29968 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2))
533, 4, 15, 52mp3an 1462 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5424, 34, 53mulcomli 11223 . . . . . . . 8 ((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5554oveq1i 7419 . . . . . . 7 (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2))
5651, 55eqtr3di 2788 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
5724abscli 15342 . . . . . . . . 9 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
5857resqcli 14150 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ
5958, 35redivclzi 11980 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6032, 59sylbir 234 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2834 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ)
6230necon3bii 2994 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
6319sqgt0i 14151 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6462, 63sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6557sqge0i 14152 . . . . . . . 8 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
66 divge0 12083 . . . . . . . 8 (((((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)) ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 701 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6835, 64, 67sylancr 588 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6968, 56breqtrrd 5177 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
70 eqid 2733 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
71 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 30105 . . . . 5 ((((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚ ∧ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1372 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7544, 74eqbrtrd 5171 . 2 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7622, 75pm2.61ine 3026 1 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β†‘cexp 14027  βˆ—ccj 15043  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  Β·π‘–OLDcdip 29953  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ph 30066
This theorem is referenced by:  sii  30107  bcsiHIL  30433
  Copyright terms: Public domain W3C validator