MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem siii 30144
Description: Inference from sii 30145. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . 5 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)))
2 siii.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
32phnvi 30107 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dip0r 30008 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
93, 4, 8mp2an 690 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0
101, 9eqtrdi 2788 . . . 4 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = 0)
1110abs00bd 15240 . . 3 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
135, 12nvge0 29964 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
143, 4, 13mp2an 690 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΄)
15 siii.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
165, 12nvge0 29964 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
173, 15, 16mp2an 690 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΅)
185, 12, 3, 4nvcli 29953 . . . . 5 (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 29953 . . . . 5 (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 11763 . . . 4 ((0 ≀ (π‘β€˜π΄) ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΅)) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
2114, 17, 20mp2an 690 . . 3 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
2211, 21eqbrtrdi 5187 . 2 (𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
235, 7dipcl 30003 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
243, 4, 15, 23mp3an 1461 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
25 absval 15187 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
2719recni 11230 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚
2827sqeq0i 14148 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ (π‘β€˜π΅) = 0)
295, 6, 12nvz 29960 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
303, 15, 29mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3128, 30bitri 274 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜π΅)↑2) = 0 ↔ 𝐡 = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3231necon3bii 2993 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
335, 7dipcl 30003 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
343, 15, 4, 33mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
3519resqcli 14152 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ
3635recni 11230 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
3734, 36divcan1zi 11952 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
3832, 37sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (𝐡𝑃𝐴))
395, 7dipcj 30005 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
403, 4, 15, 39mp3an 1461 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴)
4138, 40eqtr4di 2790 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))
4241oveq2d 7427 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡))))
4342fveq2d 6895 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)))))
4426, 43eqtr4id 2791 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
4538eqcomd 2738 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
4634, 36divclzi 11951 . . . . . 6 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
4732, 46sylbir 234 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚)
48 div23 11893 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0)) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4934, 24, 48mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5036, 49mpan 688 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5132, 50sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
525, 7ipipcj 30006 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2))
533, 4, 15, 52mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5424, 34, 53mulcomli 11225 . . . . . . . 8 ((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
5554oveq1i 7421 . . . . . . 7 (((𝐡𝑃𝐴) Β· (𝐴𝑃𝐡)) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2))
5651, 55eqtr3di 2787 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
5724abscli 15344 . . . . . . . . 9 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
5857resqcli 14152 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ
5958, 35redivclzi 11982 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π΅)↑2) β‰  0 β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6032, 59sylbir 234 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2833 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ)
6230necon3bii 2993 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 ↔ 𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ))
6319sqgt0i 14153 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅) β‰  0 β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6462, 63sylbir 234 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))
6557sqge0i 14154 . . . . . . . 8 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)
66 divge0 12085 . . . . . . . 8 (((((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2)) ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2))) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 700 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6835, 64, 67sylancr 587 . . . . . 6 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴𝑃𝐡))↑2) / ((π‘β€˜π΅)↑2)))
6968, 56breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
70 eqid 2732 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
71 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 30143 . . . . 5 ((((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚ ∧ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1371 . . . 4 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝑃𝐴) = (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (((𝐡𝑃𝐴) / ((π‘β€˜π΅)↑2)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7544, 74eqbrtrd 5170 . 2 (𝐡 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
7622, 75pm2.61ine 3025 1 (absβ€˜(𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  2c2 12269  β†‘cexp 14029  βˆ—ccj 15045  βˆšcsqrt 15182  abscabs 15183  NrmCVeccnv 29875  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  0veccn0v 29879   βˆ’π‘£ cnsb 29880  normCVcnmcv 29881  Β·π‘–OLDcdip 29991  CPreHilOLDccphlo 30103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-t1 22825  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ph 30104
This theorem is referenced by:  sii  30145  bcsiHIL  30471
  Copyright terms: Public domain W3C validator