Theorem acnen2 10124

Description: The class of sets with choice sequences of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnen2	⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ AC 𝐴))

Proof of Theorem acnen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9063	. . 3 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → 𝑌 ≈ 𝑋)
2		endom 9039	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ 𝑋 → 𝑌 ≼ 𝑋)
3		acndom2 10123	. . 3 ⊢ (𝑌 ≼ 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝑌 ∈ AC 𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝑌 ∈ AC 𝐴))
5		endom 9039	. . 3 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌)
6		acndom2 10123	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑌 ∈ AC 𝐴 → 𝑋 ∈ AC 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑌 ∈ AC 𝐴 → 𝑋 ∈ AC 𝐴))
8	4, 7	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ AC 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001  AC wacn 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-acn 10011

This theorem is referenced by: (None)