Theorem acnen2 9984

Description: The class of sets with choice sequences of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnen2	⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ AC 𝐴))

Proof of Theorem acnen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8951	. . 3 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → 𝑌 ≈ 𝑋)
2		endom 8927	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ 𝑋 → 𝑌 ≼ 𝑋)
3		acndom2 9983	. . 3 ⊢ (𝑌 ≼ 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝑌 ∈ AC 𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝑌 ∈ AC 𝐴))
5		endom 8927	. . 3 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌)
6		acndom2 9983	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑌 ∈ AC 𝐴 → 𝑋 ∈ AC 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑌 ∈ AC 𝐴 → 𝑋 ∈ AC 𝐴))
8	4, 7	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ AC 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  AC wacn 9867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-acn 9871

This theorem is referenced by: (None)