MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acnen2 10084
Description: The class of sets with choice sequences of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen2 (𝑋𝑌 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))

Proof of Theorem acnen2
StepHypRef Expression
1 ensym 9028 . . 3 (𝑋𝑌𝑌𝑋)
2 endom 9004 . . 3 (𝑌𝑋𝑌𝑋)
3 acndom2 10083 . . 3 (𝑌𝑋 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))
5 endom 9004 . . 3 (𝑋𝑌𝑋𝑌)
6 acndom2 10083 . . 3 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
75, 6syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
84, 7impbid 211 1 (𝑋𝑌 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098   class class class wbr 5150  cen 8965  cdom 8966  AC wacn 9967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-acn 9971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator