Theorem acnen2 9957

Description: The class of sets with choice sequences of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnen2	⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ AC 𝐴))

Proof of Theorem acnen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8936	. . 3 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → 𝑌 ≈ 𝑋)
2		endom 8912	. . 3 ⊢ (𝑌 ≈ 𝑋 → 𝑌 ≼ 𝑋)
3		acndom2 9956	. . 3 ⊢ (𝑌 ≼ 𝑋 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝑌 ∈ AC 𝐴))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝑌 ∈ AC 𝐴))
5		endom 8912	. . 3 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → 𝑋 ≼ 𝑌)
6		acndom2 9956	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑌 ∈ AC 𝐴 → 𝑋 ∈ AC 𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑌 ∈ AC 𝐴 → 𝑋 ∈ AC 𝐴))
8	4, 7	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑌 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ AC 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877  AC wacn 9842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-acn 9846

This theorem is referenced by: (None)