![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cnegex2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cnegex2 | โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ + ๐ด) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-icn 11205 | . . . 4 โข i โ โ | |
2 | 1, 1 | mulcli 11259 | . . 3 โข (i ยท i) โ โ |
3 | mulcl 11230 | . . 3 โข (((i ยท i) โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((i ยท i) ยท ๐ด) โ โ) | |
4 | 2, 3 | mpan 688 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท i) ยท ๐ด) โ โ) |
5 | mullid 11251 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) | |
6 | 5 | oveq2d 7442 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด)) |
7 | ax-i2m1 11214 | . . . . 5 โข ((i ยท i) + 1) = 0 | |
8 | 7 | oveq1i 7436 | . . . 4 โข (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด) |
9 | ax-1cn 11204 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
10 | adddir 11243 | . . . . 5 โข (((i ยท i) โ โ โง 1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด))) | |
11 | 2, 9, 10 | mp3an12 1447 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด))) |
12 | mul02 11430 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (0 ยท ๐ด) = 0) | |
13 | 8, 11, 12 | 3eqtr3a 2792 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = 0) |
14 | 6, 13 | eqtr3d 2770 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0) |
15 | oveq1 7433 | . . . 4 โข (๐ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ (๐ฅ + ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด)) | |
16 | 15 | eqeq1d 2730 | . . 3 โข (๐ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ ((๐ฅ + ๐ด) = 0 โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0)) |
17 | 16 | rspcev 3611 | . 2 โข ((((i ยท i) ยท ๐ด) โ โ โง (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0) โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ + ๐ด) = 0) |
18 | 4, 14, 17 | syl2anc 582 | 1 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ + ๐ด) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3067 (class class class)co 7426 โcc 11144 0cc0 11146 1c1 11147 ici 11148 + caddc 11149 ยท cmul 11151 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-ov 7429 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-ltxr 11291 |
This theorem is referenced by: addcan 11436 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |