Theorem cnegex2 10824

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10598	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulcli 10650	. . 3 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
3		mulcl 10623	. . 3 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
5		mulid2 10642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq2d 7174	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
7		ax-i2m1 10607	. . . . 5 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
8	7	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ (((i · i) + 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
9		ax-1cn 10597	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		adddir 10634	. . . . 5 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
11	2, 9, 10	mp3an12 1447	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
12		mul02 10820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
13	8, 11, 12	3eqtr3a 2882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = 0)
14	6, 13	eqtr3d 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0)
15		oveq1 7165	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → (𝑥 + 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
16	15	eqeq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → ((𝑥 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0))
17	16	rspcev 3625	. 2 ⊢ ((((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
18	4, 14, 17	syl2anc 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682

This theorem is referenced by:  addcan  10826