![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cnegex2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cnegex2 | โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ + ๐ด) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-icn 11117 | . . . 4 โข i โ โ | |
2 | 1, 1 | mulcli 11169 | . . 3 โข (i ยท i) โ โ |
3 | mulcl 11142 | . . 3 โข (((i ยท i) โ โ โง ๐ด โ โ) โ ((i ยท i) ยท ๐ด) โ โ) | |
4 | 2, 3 | mpan 689 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท i) ยท ๐ด) โ โ) |
5 | mulid2 11161 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) | |
6 | 5 | oveq2d 7378 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด)) |
7 | ax-i2m1 11126 | . . . . 5 โข ((i ยท i) + 1) = 0 | |
8 | 7 | oveq1i 7372 | . . . 4 โข (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด) |
9 | ax-1cn 11116 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
10 | adddir 11153 | . . . . 5 โข (((i ยท i) โ โ โง 1 โ โ โง ๐ด โ โ) โ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด))) | |
11 | 2, 9, 10 | mp3an12 1452 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด))) |
12 | mul02 11340 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (0 ยท ๐ด) = 0) | |
13 | 8, 11, 12 | 3eqtr3a 2801 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = 0) |
14 | 6, 13 | eqtr3d 2779 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0) |
15 | oveq1 7369 | . . . 4 โข (๐ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ (๐ฅ + ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด)) | |
16 | 15 | eqeq1d 2739 | . . 3 โข (๐ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ ((๐ฅ + ๐ด) = 0 โ (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0)) |
17 | 16 | rspcev 3584 | . 2 โข ((((i ยท i) ยท ๐ด) โ โ โง (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0) โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ + ๐ด) = 0) |
18 | 4, 14, 17 | syl2anc 585 | 1 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ฅ + ๐ด) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 (class class class)co 7362 โcc 11056 0cc0 11058 1c1 11059 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-po 5550 df-so 5551 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 |
This theorem is referenced by: addcan 11346 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |