MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex2 10669
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnegex2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10442 . . . 4 i ∈ ℂ
21, 1mulcli 10494 . . 3 (i · i) ∈ ℂ
3 mulcl 10467 . . 3 (((i · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
5 mulid2 10486 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65oveq2d 7032 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
7 ax-i2m1 10451 . . . . 5 ((i · i) + 1) = 0
87oveq1i 7026 . . . 4 (((i · i) + 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
9 ax-1cn 10441 . . . . 5 1 ∈ ℂ
10 adddir 10478 . . . . 5 (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
112, 9, 10mp3an12 1443 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
12 mul02 10665 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
138, 11, 123eqtr3a 2855 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = 0)
146, 13eqtr3d 2833 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0)
15 oveq1 7023 . . . 4 (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → (𝑥 + 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
1615eqeq1d 2797 . . 3 (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → ((𝑥 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0))
1716rspcev 3559 . 2 ((((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
184, 14, 17syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  wrex 3106  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  1c1 10384  ici 10385   + caddc 10386   · cmul 10388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526
This theorem is referenced by:  addcan  10671
  Copyright terms: Public domain W3C validator