Theorem cnegex2 11396

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11169	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulcli 11221	. . 3 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
3		mulcl 11194	. . 3 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
5		mullid 11213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
7		ax-i2m1 11178	. . . . 5 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
8	7	oveq1i 7419	. . . 4 ⊢ (((i · i) + 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
9		ax-1cn 11168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		adddir 11205	. . . . 5 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
11	2, 9, 10	mp3an12 1452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
12		mul02 11392	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
13	8, 11, 12	3eqtr3a 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = 0)
14	6, 13	eqtr3d 2775	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0)
15		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → (𝑥 + 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
16	15	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → ((𝑥 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0))
17	16	rspcev 3613	. 2 ⊢ ((((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
18	4, 14, 17	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   · cmul 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  addcan  11398