MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex2 11434
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnegex2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ + ๐ด) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cnegex2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11205 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
21, 1mulcli 11259 . . 3 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
3 mulcl 11230 . . 3 (((i ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
42, 3mpan 688 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 mullid 11251 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
65oveq2d 7442 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด))
7 ax-i2m1 11214 . . . . 5 ((i ยท i) + 1) = 0
87oveq1i 7436 . . . 4 (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด)
9 ax-1cn 11204 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
10 adddir 11243 . . . . 5 (((i ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
112, 9, 10mp3an12 1447 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
12 mul02 11430 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
138, 11, 123eqtr3a 2792 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = 0)
146, 13eqtr3d 2770 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0)
15 oveq1 7433 . . . 4 (๐‘ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ + ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด))
1615eqeq1d 2730 . . 3 (๐‘ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐ด) = 0 โ†” (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0))
1716rspcev 3611 . 2 ((((i ยท i) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ + ๐ด) = 0)
184, 14, 17syl2anc 582 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ + ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   ยท cmul 11151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291
This theorem is referenced by:  addcan  11436
  Copyright terms: Public domain W3C validator