MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex2 11344
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnegex2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ + ๐ด) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cnegex2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11117 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
21, 1mulcli 11169 . . 3 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
3 mulcl 11142 . . 3 (((i ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
42, 3mpan 689 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 mulid2 11161 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
65oveq2d 7378 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด))
7 ax-i2m1 11126 . . . . 5 ((i ยท i) + 1) = 0
87oveq1i 7372 . . . 4 (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด)
9 ax-1cn 11116 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
10 adddir 11153 . . . . 5 (((i ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
112, 9, 10mp3an12 1452 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) + 1) ยท ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
12 mul02 11340 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
138, 11, 123eqtr3a 2801 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = 0)
146, 13eqtr3d 2779 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0)
15 oveq1 7369 . . . 4 (๐‘ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ + ๐ด) = (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด))
1615eqeq1d 2739 . . 3 (๐‘ฅ = ((i ยท i) ยท ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐ด) = 0 โ†” (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0))
1716rspcev 3584 . 2 ((((i ยท i) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (((i ยท i) ยท ๐ด) + ๐ด) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ + ๐ด) = 0)
184, 14, 17syl2anc 585 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ + ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  addcan  11346
  Copyright terms: Public domain W3C validator