Theorem cnegex2 11394

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11166	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2	1, 1	mulcli 11219	. . 3 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
3		mulcl 11191	. . 3 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
5		mullid 11211	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq2d 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
7		ax-i2m1 11175	. . . . 5 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
8	7	oveq1i 7412	. . . 4 ⊢ (((i · i) + 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
9		ax-1cn 11165	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		adddir 11203	. . . . 5 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
11	2, 9, 10	mp3an12 1447	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
12		mul02 11390	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
13	8, 11, 12	3eqtr3a 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = 0)
14	6, 13	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0)
15		oveq1 7409	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → (𝑥 + 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
16	15	eqeq1d 2726	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → ((𝑥 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0))
17	16	rspcev 3604	. 2 ⊢ ((((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
18	4, 14, 17	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251

This theorem is referenced by:  addcan  11396