MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxplem 13788
Description: Lemma for hashxp 13789. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1 𝐵 ∈ Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5550 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
21fveq2d 6655 . . 3 (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(∅ × 𝐵)))
3 fveq2 6651 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
43oveq1d 7153 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)))
52, 4eqeq12d 2840 . 2 (𝑥 = ∅ → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(∅ × 𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵))))
6 xpeq1 5550 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
76fveq2d 6655 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(𝑦 × 𝐵)))
8 fveq2 6651 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
98oveq1d 7153 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)))
107, 9eqeq12d 2840 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))))
11 xpeq1 5550 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 × 𝐵) = ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵))
1211fveq2d 6655 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)))
13 fveq2 6651 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1413oveq1d 7153 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)))
1512, 14eqeq12d 2840 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵))))
16 xpeq1 5550 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵))
1716fveq2d 6655 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(𝐴 × 𝐵)))
18 fveq2 6651 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
1918oveq1d 7153 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
2017, 19eqeq12d 2840 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵))))
21 hashxplem.1 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
22 hashcl 13711 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11943 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
2423mul02d 10823 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (0 · (♯‘𝐵)) = 0)
2521, 24ax-mp 5 . . 3 (0 · (♯‘𝐵)) = 0
26 hash0 13722 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2726oveq1i 7148 . . 3 ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)) = (0 · (♯‘𝐵))
28 0xp 5630 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
2928fveq2i 6654 . . . 4 (♯‘(∅ × 𝐵)) = (♯‘∅)
3029, 26eqtri 2847 . . 3 (♯‘(∅ × 𝐵)) = 0
3125, 27, 303eqtr4ri 2858 . 2 (♯‘(∅ × 𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵))
32 oveq1 7145 . . . . 5 ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
3332adantl 485 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
34 xpundir 5602 . . . . . . 7 ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵) = ((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))
3534fveq2i 6654 . . . . . 6 (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵)))
36 xpfi 8773 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
3721, 36mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
38 inxp 5684 . . . . . . . . 9 ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵))
39 disjsn 4628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4039biimpri 231 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
4140xpeq1d 5565 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = (∅ × (𝐵𝐵)))
42 0xp 5630 . . . . . . . . . 10 (∅ × (𝐵𝐵)) = ∅
4341, 42syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = ∅)
4438, 43syl5eq 2871 . . . . . . . 8 𝑧𝑦 → ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅)
45 snfi 8577 . . . . . . . . . 10 {𝑧} ∈ Fin
46 xpfi 8773 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin)
4745, 21, 46mp2an 691 . . . . . . . . 9 ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin
48 hashun 13737 . . . . . . . . 9 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
4947, 48mp3an2 1446 . . . . . . . 8 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
5037, 44, 49syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
51 snex 5313 . . . . . . . . . . 11 {𝑧} ∈ V
5221elexi 3498 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
5351, 52xpcomen 8591 . . . . . . . . . 10 ({𝑧} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝑧})
54 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
5552, 54xpsnen 8584 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {𝑧}) ≈ 𝐵
5653, 55entri 8546 . . . . . . . . 9 ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵
57 hashen 13701 . . . . . . . . . 10 ((({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵))
5847, 21, 57mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵)
5956, 58mpbir 234 . . . . . . . 8 (♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵)
6059oveq2i 7149 . . . . . . 7 ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵))
6150, 60syl6eq 2875 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
6235, 61syl5eq 2871 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
6362adantr 484 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
64 hashunsng 13747 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
6665oveq1d 7153 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)))
67 hashcl 13711 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
6867nn0cnd 11943 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
69 ax-1cn 10580 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
70 nn0cn 11893 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐵) ∈ ℂ
72 adddir 10617 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))))
7369, 71, 72mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑦) ∈ ℂ → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))))
7571mulid2i 10631 . . . . . . . . 9 (1 · (♯‘𝐵)) = (♯‘𝐵)
7675oveq2i 7149 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵))
7774, 76syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7877adantr 484 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7966, 78eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8079adantr 484 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8133, 63, 803eqtr4d 2869 . . 3 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)))
8281ex 416 . 2 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵))))
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 8743 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cun 3916  cin 3917  c0 4274  {csn 4548   class class class wbr 5047   × cxp 5534  cfv 6336  (class class class)co 7138  cen 8489  Fincfn 8492  cc 10520  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527  0cn0 11883  chash 13684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-hash 13685
This theorem is referenced by:  hashxp  13789
  Copyright terms: Public domain W3C validator