MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxplem 14340
Description: Lemma for hashxp 14341. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1 ๐ต โˆˆ Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5652 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (โˆ… ร— ๐ต))
21fveq2d 6851 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)))
3 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
43oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
52, 4eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
6 xpeq1 5652 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐‘ฆ ร— ๐ต))
76fveq2d 6851 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)))
8 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
98oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
107, 9eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
11 xpeq1 5652 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต))
1211fveq2d 6851 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)))
13 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1413oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
1512, 14eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
16 xpeq1 5652 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐ด ร— ๐ต))
1716fveq2d 6851 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)))
18 fveq2 6847 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1918oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2017, 19eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
21 hashxplem.1 . . . 4 ๐ต โˆˆ Fin
22 hashcl 14263 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2322nn0cnd 12482 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2423mul02d 11360 . . . 4 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
2521, 24ax-mp 5 . . 3 (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0
26 hash0 14274 . . . 4 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2726oveq1i 7372 . . 3 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
28 0xp 5735 . . . . 5 (โˆ… ร— ๐ต) = โˆ…
2928fveq2i 6850 . . . 4 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…)
3029, 26eqtri 2765 . . 3 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = 0
3125, 27, 303eqtr4ri 2776 . 2 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
32 oveq1 7369 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
3332adantl 483 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
34 xpundir 5706 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))
3534fveq2i 6850 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต)))
36 xpfi 9268 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
3721, 36mpan2 690 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
38 inxp 5793 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต))
39 disjsn 4677 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
4039biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
4140xpeq1d 5667 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)))
42 0xp 5735 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…
4341, 42eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…)
4438, 43eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…)
45 snfi 8995 . . . . . . . . . 10 {๐‘ง} โˆˆ Fin
46 xpfi 9268 . . . . . . . . . 10 (({๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
4745, 21, 46mp2an 691 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin
48 hashun 14289 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
4947, 48mp3an2 1450 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
5037, 44, 49syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
51 snex 5393 . . . . . . . . . . 11 {๐‘ง} โˆˆ V
5221elexi 3467 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
5351, 52xpcomen 9014 . . . . . . . . . 10 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ (๐ต ร— {๐‘ง})
54 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ง โˆˆ V
5552, 54xpsnen 9006 . . . . . . . . . 10 (๐ต ร— {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ต
5653, 55entri 8955 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต
57 hashen 14254 . . . . . . . . . 10 ((({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต))
5847, 21, 57mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต)
5956, 58mpbir 230 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต)
6059oveq2i 7373 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต))
6150, 60eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6235, 61eqtrid 2789 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6362adantr 482 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
64 hashunsng 14299 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6665oveq1d 7377 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
67 hashcl 14263 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 12482 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
69 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
70 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚
72 adddir 11153 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7369, 71, 72mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7571mulid2i 11167 . . . . . . . . 9 (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต)
7675oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต))
7774, 76eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7877adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7966, 78eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8079adantr 482 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8133, 63, 803eqtr4d 2787 . . 3 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8281ex 414 . 2 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 9116 1 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448   โˆช cun 3913   โˆฉ cin 3914  โˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  โ™ฏchash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashxp  14341
  Copyright terms: Public domain W3C validator