MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxplem 14398
Description: Lemma for hashxp 14399. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1 ๐ต โˆˆ Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5691 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (โˆ… ร— ๐ต))
21fveq2d 6896 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)))
3 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
43oveq1d 7427 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
52, 4eqeq12d 2747 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
6 xpeq1 5691 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐‘ฆ ร— ๐ต))
76fveq2d 6896 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)))
8 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
98oveq1d 7427 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
107, 9eqeq12d 2747 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
11 xpeq1 5691 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต))
1211fveq2d 6896 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)))
13 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1413oveq1d 7427 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
1512, 14eqeq12d 2747 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
16 xpeq1 5691 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐ด ร— ๐ต))
1716fveq2d 6896 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)))
18 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1918oveq1d 7427 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2017, 19eqeq12d 2747 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
21 hashxplem.1 . . . 4 ๐ต โˆˆ Fin
22 hashcl 14321 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2322nn0cnd 12539 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2423mul02d 11417 . . . 4 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
2521, 24ax-mp 5 . . 3 (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0
26 hash0 14332 . . . 4 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2726oveq1i 7422 . . 3 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
28 0xp 5775 . . . . 5 (โˆ… ร— ๐ต) = โˆ…
2928fveq2i 6895 . . . 4 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…)
3029, 26eqtri 2759 . . 3 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = 0
3125, 27, 303eqtr4ri 2770 . 2 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
32 oveq1 7419 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
3332adantl 481 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
34 xpundir 5746 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))
3534fveq2i 6895 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต)))
36 xpfi 9320 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
3721, 36mpan2 688 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
38 inxp 5833 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต))
39 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
4039biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
4140xpeq1d 5706 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)))
42 0xp 5775 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…
4341, 42eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…)
4438, 43eqtrid 2783 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…)
45 snfi 9047 . . . . . . . . . 10 {๐‘ง} โˆˆ Fin
46 xpfi 9320 . . . . . . . . . 10 (({๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
4745, 21, 46mp2an 689 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin
48 hashun 14347 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
4947, 48mp3an2 1448 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
5037, 44, 49syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
51 snex 5432 . . . . . . . . . . 11 {๐‘ง} โˆˆ V
5221elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
5351, 52xpcomen 9066 . . . . . . . . . 10 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ (๐ต ร— {๐‘ง})
54 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ง โˆˆ V
5552, 54xpsnen 9058 . . . . . . . . . 10 (๐ต ร— {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ต
5653, 55entri 9007 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต
57 hashen 14312 . . . . . . . . . 10 ((({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต))
5847, 21, 57mp2an 689 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต)
5956, 58mpbir 230 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต)
6059oveq2i 7423 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต))
6150, 60eqtrdi 2787 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6235, 61eqtrid 2783 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6362adantr 480 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
64 hashunsng 14357 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6665oveq1d 7427 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
67 hashcl 14321 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 12539 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
69 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
70 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚
72 adddir 11210 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7369, 71, 72mp3an23 1452 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7571mullidi 11224 . . . . . . . . 9 (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต)
7675oveq2i 7423 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต))
7774, 76eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7877adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7966, 78eqtrd 2771 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8079adantr 480 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8133, 63, 803eqtr4d 2781 . . 3 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8281ex 412 . 2 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 9168 1 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948  โˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   โ‰ˆ cen 8939  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118  โ„•0cn0 12477  โ™ฏchash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  hashxp  14399
  Copyright terms: Public domain W3C validator