MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxplem 14472
Description: Lemma for hashxp 14473. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1 𝐵 ∈ Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5699 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
21fveq2d 6910 . . 3 (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(∅ × 𝐵)))
3 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
43oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)))
52, 4eqeq12d 2753 . 2 (𝑥 = ∅ → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(∅ × 𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵))))
6 xpeq1 5699 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
76fveq2d 6910 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(𝑦 × 𝐵)))
8 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
98oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)))
107, 9eqeq12d 2753 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))))
11 xpeq1 5699 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 × 𝐵) = ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵))
1211fveq2d 6910 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)))
13 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1413oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)))
1512, 14eqeq12d 2753 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵))))
16 xpeq1 5699 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵))
1716fveq2d 6910 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(𝐴 × 𝐵)))
18 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
1918oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
2017, 19eqeq12d 2753 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵))))
21 hashxplem.1 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
22 hashcl 14395 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
2423mul02d 11459 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (0 · (♯‘𝐵)) = 0)
2521, 24ax-mp 5 . . 3 (0 · (♯‘𝐵)) = 0
26 hash0 14406 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2726oveq1i 7441 . . 3 ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)) = (0 · (♯‘𝐵))
28 0xp 5784 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
2928fveq2i 6909 . . . 4 (♯‘(∅ × 𝐵)) = (♯‘∅)
3029, 26eqtri 2765 . . 3 (♯‘(∅ × 𝐵)) = 0
3125, 27, 303eqtr4ri 2776 . 2 (♯‘(∅ × 𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵))
32 oveq1 7438 . . . . 5 ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
3332adantl 481 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
34 xpundir 5755 . . . . . . 7 ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵) = ((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))
3534fveq2i 6909 . . . . . 6 (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵)))
36 xpfi 9358 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
3721, 36mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
38 inxp 5842 . . . . . . . . 9 ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵))
39 disjsn 4711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4039biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
4140xpeq1d 5714 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = (∅ × (𝐵𝐵)))
42 0xp 5784 . . . . . . . . . 10 (∅ × (𝐵𝐵)) = ∅
4341, 42eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = ∅)
4438, 43eqtrid 2789 . . . . . . . 8 𝑧𝑦 → ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅)
45 snfi 9083 . . . . . . . . . 10 {𝑧} ∈ Fin
46 xpfi 9358 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin)
4745, 21, 46mp2an 692 . . . . . . . . 9 ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin
48 hashun 14421 . . . . . . . . 9 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
4947, 48mp3an2 1451 . . . . . . . 8 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
5037, 44, 49syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
51 snex 5436 . . . . . . . . . . 11 {𝑧} ∈ V
5221elexi 3503 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
5351, 52xpcomen 9103 . . . . . . . . . 10 ({𝑧} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝑧})
54 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
5552, 54xpsnen 9095 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × {𝑧}) ≈ 𝐵
5653, 55entri 9048 . . . . . . . . 9 ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵
57 hashen 14386 . . . . . . . . . 10 ((({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵))
5847, 21, 57mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵)
5956, 58mpbir 231 . . . . . . . 8 (♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵)
6059oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵))
6150, 60eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
6235, 61eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
6362adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
64 hashunsng 14431 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
6665oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)))
67 hashcl 14395 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
6867nn0cnd 12589 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
69 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
70 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐵) ∈ ℂ
72 adddir 11252 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))))
7369, 71, 72mp3an23 1455 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑦) ∈ ℂ → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))))
7571mullidi 11266 . . . . . . . . 9 (1 · (♯‘𝐵)) = (♯‘𝐵)
7675oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (1 · (♯‘𝐵))) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵))
7774, 76eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7877adantr 480 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7966, 78eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8079adantr 480 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8133, 63, 803eqtr4d 2787 . . 3 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)))
8281ex 412 . 2 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵))))
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 9205 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cen 8982  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  hashxp  14473
  Copyright terms: Public domain W3C validator