MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxplem 14395
Description: Lemma for hashxp 14396. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1 ๐ต โˆˆ Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5690 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (โˆ… ร— ๐ต))
21fveq2d 6895 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)))
3 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
43oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
52, 4eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
6 xpeq1 5690 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐‘ฆ ร— ๐ต))
76fveq2d 6895 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)))
8 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
98oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
107, 9eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
11 xpeq1 5690 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต))
1211fveq2d 6895 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)))
13 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1413oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
1512, 14eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
16 xpeq1 5690 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐ด ร— ๐ต))
1716fveq2d 6895 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)))
18 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1918oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2017, 19eqeq12d 2748 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
21 hashxplem.1 . . . 4 ๐ต โˆˆ Fin
22 hashcl 14318 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2322nn0cnd 12536 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2423mul02d 11414 . . . 4 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
2521, 24ax-mp 5 . . 3 (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0
26 hash0 14329 . . . 4 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2726oveq1i 7421 . . 3 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
28 0xp 5774 . . . . 5 (โˆ… ร— ๐ต) = โˆ…
2928fveq2i 6894 . . . 4 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…)
3029, 26eqtri 2760 . . 3 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = 0
3125, 27, 303eqtr4ri 2771 . 2 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
32 oveq1 7418 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
3332adantl 482 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
34 xpundir 5745 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))
3534fveq2i 6894 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต)))
36 xpfi 9319 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
3721, 36mpan2 689 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
38 inxp 5832 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต))
39 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
4039biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
4140xpeq1d 5705 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)))
42 0xp 5774 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…
4341, 42eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…)
4438, 43eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…)
45 snfi 9046 . . . . . . . . . 10 {๐‘ง} โˆˆ Fin
46 xpfi 9319 . . . . . . . . . 10 (({๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
4745, 21, 46mp2an 690 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin
48 hashun 14344 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
4947, 48mp3an2 1449 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
5037, 44, 49syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
51 snex 5431 . . . . . . . . . . 11 {๐‘ง} โˆˆ V
5221elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 ๐ต โˆˆ V
5351, 52xpcomen 9065 . . . . . . . . . 10 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ (๐ต ร— {๐‘ง})
54 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ง โˆˆ V
5552, 54xpsnen 9057 . . . . . . . . . 10 (๐ต ร— {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ต
5653, 55entri 9006 . . . . . . . . 9 ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต
57 hashen 14309 . . . . . . . . . 10 ((({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต))
5847, 21, 57mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต)
5956, 58mpbir 230 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต)
6059oveq2i 7422 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต))
6150, 60eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6235, 61eqtrid 2784 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
6362adantr 481 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
64 hashunsng 14354 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6665oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
67 hashcl 14318 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 12536 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
69 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
70 nn0cn 12484 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚
72 adddir 11207 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7369, 71, 72mp3an23 1453 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
7571mullidi 11221 . . . . . . . . 9 (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต)
7675oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (1 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต))
7774, 76eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7877adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7966, 78eqtrd 2772 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8079adantr 481 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8133, 63, 803eqtr4d 2782 . . 3 (((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8281ex 413 . 2 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 9167 1 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947  โˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•0cn0 12474  โ™ฏchash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  hashxp  14396
  Copyright terms: Public domain W3C validator