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Theorem fmtnofac2lem 46223
Description: Lemma for fmtnofac2 46224 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2lem ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12829 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12829 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
43adantl 483 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
5 eluzge2nn0 12868 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fmtnonn 46186 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 12582 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
9 muldvds2 16222 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
102, 4, 8, 9syl2an3an 1423 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
11 muldvds1 16221 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
122, 4, 8, 11syl2an3an 1423 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
13 pm2.27 42 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413ad2ant2lr 747 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15 pm2.27 42 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1615ad2ant2l 745 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))))
1817oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2019cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))
2221oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
2322eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27 2nn0 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
295, 28nn0addcld 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
3028, 29nn0expcld 14206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3226, 31nn0mulcld 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℕ0)
33 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3532, 34nn0mulcld 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℕ0)
36 nn0addcl 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3835, 37nn0addcld 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) ∈ ℕ0)
39 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
4039oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4140eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛))) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4438, 42, 43rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45 nn0cn 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4830nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
5133nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5352, 49mulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
5450, 53jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
56 muladd11r 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5825nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
6059, 52, 493jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
62 adddir 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
6463eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
6564oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
6650adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
6752adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
6849adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68mulassd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
7069eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
7170oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))))
7250, 52mulcld 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ)
7336nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
7572, 74, 493jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
77 adddir 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
7965, 71, 783eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
8079oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8157, 80eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8281eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8382rexbidva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8444, 83mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8584adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86 oveq12 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8786ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8887eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8988rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9085, 89syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9190expd 417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9291anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9392rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9424, 93biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9594com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9695rexlimdva 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9720, 96biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9897impd 412 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9998adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10014, 16, 99syl2and 609 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101100exp32 422 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10212, 101syld 47 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10310, 102mpdd 43 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104103expimpd 455 . 2 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105104com23 86 1 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12264  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  cexp 14024  cdvds 16194  FermatNocfmtno 46182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-dvds 16195  df-fmtno 46183
This theorem is referenced by:  fmtnofac2  46224
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