fmtnofac2lem - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fmtnofac2lem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fmtnofac2lem 46222

Description: Lemma for fmtnofac2 46223 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnofac2lem	⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))

Distinct variable group: 𝑘,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12828	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12828	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
5		eluzge2nn0 12867	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		fmtnonn 46185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12581	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
9		muldvds2 16221	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
10	2, 4, 8, 9	syl2an3an 1422	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
11		muldvds1 16220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	2, 4, 8, 11	syl2an3an 1422	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
13		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	ad2ant2lr 746	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
16	15	ad2ant2l 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))))
18	17	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
19	18	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	19	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))
22	21	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
23	22	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
27		2nn0 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
29	5, 28	nn0addcld 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ₀)
30	28, 29	nn0expcld 14205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ₀)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ₀)
32	26, 31	nn0mulcld 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℕ₀)
33		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
35	32, 34	nn0mulcld 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℕ₀)
36		nn0addcl 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ₀)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ₀)
38	35, 37	nn0addcld 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) ∈ ℕ₀)
39		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
40	39	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
41	40	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛))) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44	38, 42, 43	rspcedvd 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45		nn0cn 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℂ)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
48	30	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
51	33	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℂ)
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	52, 49	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
54	50, 53	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
56		muladd11r 11423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
58	25	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
60	59, 52, 49	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
62		adddir 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
64	63	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
65	64	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
66	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
67	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℂ)
68	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
70	69	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
71	70	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))))
72	50, 52	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ)
73	36	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
75	72, 74, 49	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
77		adddir 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
79	65, 71, 78	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
80	79	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
81	57, 80	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
82	81	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
83	82	rexbidva 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
84	44, 83	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
85	84	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86		oveq12 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
87	86	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
88	87	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
89	88	rexbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
90	85, 89	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
91	90	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
92	91	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
93	92	rexlimdva 3155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∃𝑛 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
94	24, 93	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
96	95	rexlimdva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
97	20, 96	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
98	97	impd 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
99	98	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
100	14, 16, 99	syl2and 608	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101	100	exp32 421	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
102	12, 101	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
103	10, 102	mpdd 43	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104	103	expimpd 454	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105	104	com23 86	1 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3070 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ↑cexp 14023 ∥ cdvds 16193 FermatNocfmtno 46181

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-seq 13963 df-exp 14024 df-dvds 16194 df-fmtno 46182

This theorem is referenced by: fmtnofac2 46223

W3C validator