Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac2lem 45750
Description: Lemma for fmtnofac2 45751 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2lem ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12773 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12773 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
5 eluzge2nn0 12812 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fmtnonn 45713 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 12526 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
9 muldvds2 16164 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
102, 4, 8, 9syl2an3an 1422 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
11 muldvds1 16163 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
122, 4, 8, 11syl2an3an 1422 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
13 pm2.27 42 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413ad2ant2lr 746 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15 pm2.27 42 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1615ad2ant2l 744 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))))
1817oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
1918eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2019cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))
2221oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
2322eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
295, 28nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
3028, 29nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
3226, 31nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℕ0)
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3532, 34nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℕ0)
36 nn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3835, 37nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) ∈ ℕ0)
39 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
4039oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4140eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛))) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4438, 42, 43rspcedvd 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4830nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
5133nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5352, 49mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
5450, 53jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
56 muladd11r 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5825nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
6059, 52, 493jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
62 adddir 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
6463eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
6564oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
6650adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
6752adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
6849adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
7069eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
7170oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))))
7250, 52mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ)
7336nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
7572, 74, 493jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
77 adddir 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
7965, 71, 783eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
8079oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8157, 80eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8281eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8382rexbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8444, 83mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8584adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8786ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8887eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8988rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9085, 89syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9190expd 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9291anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9392rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9424, 93biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9594com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9695rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9720, 96biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9897impd 411 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9998adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10014, 16, 99syl2and 608 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101100exp32 421 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10212, 101syld 47 . . . 4 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10310, 102mpdd 43 . . 3 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104103expimpd 454 . 2 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105104com23 86 1 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cexp 13967  cdvds 16136  FermatNocfmtno 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-dvds 16137  df-fmtno 45710
This theorem is referenced by:  fmtnofac2  45751
  Copyright terms: Public domain W3C validator