fmtnofac2lem - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtnofac2lem 46536

Description: Lemma for fmtnofac2 46537 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnofac2lem	⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))

Distinct variable group: 𝑘,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12837	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12837	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
5		eluzge2nn0 12876	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
6		fmtnonn 46499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
9		muldvds2 16230	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
10	2, 4, 8, 9	syl2an3an 1421	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
11		muldvds1 16229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	2, 4, 8, 11	syl2an3an 1421	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
13		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	ad2ant2lr 745	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
16	15	ad2ant2l 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))))
18	17	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
19	18	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	19	cbvrexvw 3234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))
22	21	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
23	22	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	cbvrexvw 3234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
27		2nn0 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
29	5, 28	nn0addcld 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ₀)
30	28, 29	nn0expcld 14214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ₀)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ₀)
32	26, 31	nn0mulcld 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℕ₀)
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
35	32, 34	nn0mulcld 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℕ₀)
36		nn0addcl 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ₀)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ₀)
38	35, 37	nn0addcld 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) ∈ ℕ₀)
39		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
40	39	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
41	40	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛))) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44	38, 42, 43	rspcedvd 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45		nn0cn 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
48	30	nn0cnd 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
51	33	nn0cnd 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℂ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	52, 49	mulcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
54	50, 53	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
56		muladd11r 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
58	25	nn0cnd 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℂ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
60	59, 52, 49	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
62		adddir 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
64	63	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
65	64	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
66	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
67	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑛 ∈ ℂ)
68	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	mulassd 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
70	69	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
71	70	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))))
72	50, 52	mulcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ)
73	36	nn0cnd 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
75	72, 74, 49	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
77		adddir 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
79	65, 71, 78	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
80	79	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
81	57, 80	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
82	81	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
83	82	rexbidva 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
84	44, 83	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
85	84	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86		oveq12 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
87	86	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
88	87	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
89	88	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
90	85, 89	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
91	90	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
92	91	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
93	92	rexlimdva 3154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∃𝑛 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
94	24, 93	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
96	95	rexlimdva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
97	20, 96	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
98	97	impd 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
99	98	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
100	14, 16, 99	syl2and 607	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101	100	exp32 420	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
102	12, 101	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
103	10, 102	mpdd 43	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104	103	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105	104	com23 86	1 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ∃wrex 3069 class class class wbr 5149 ‘cfv 6544 (class class class)co 7412 ℂcc 11111 1c1 11114 + caddc 11116 · cmul 11118 2c2 12272 ℕ₀cn0 12477 ℤcz 12563 ℤ_≥cuz 12827 ↑cexp 14032 ∥ cdvds 16202 FermatNocfmtno 46495

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7728 ax-cnex 11169 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7859 df-2nd 7979 df-frecs 8269 df-wrecs 8300 df-recs 8374 df-rdg 8413 df-er 8706 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-nn 12218 df-2 12280 df-3 12281 df-n0 12478 df-z 12564 df-uz 12828 df-rp 12980 df-seq 13972 df-exp 14033 df-dvds 16203 df-fmtno 46496

This theorem is referenced by: fmtnofac2 46537

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