Theorem fmtnofac2lem 44908

Description: Lemma for fmtnofac2 44909 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac2lem	⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12521	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
5		eluzge2nn0 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fmtnonn 44871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
9		muldvds2 15919	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
10	2, 4, 8, 9	syl2an3an 1420	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
11		muldvds1 15918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	2, 4, 8, 11	syl2an3an 1420	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
13		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	ad2ant2lr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
16	15	ad2ant2l 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))))
18	17	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
19	18	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	19	cbvrexvw 3373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))
22	21	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
23	22	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	cbvrexvw 3373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
29	5, 28	nn0addcld 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
30	28, 29	nn0expcld 13889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
32	26, 31	nn0mulcld 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℕ0)
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
35	32, 34	nn0mulcld 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℕ0)
36		nn0addcl 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
38	35, 37	nn0addcld 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) ∈ ℕ0)
39		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
40	39	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
41	40	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛))) → ((((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44	38, 42, 43	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
48	30	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
51	33	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	52, 49	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
54	50, 53	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ))
56		muladd11r 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ ∧ (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
58	25	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℂ)
60	59, 52, 49	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
62		adddir 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
64	63	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
65	64	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
66	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) ∈ ℂ)
67	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
68	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))))
70	69	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))))
71	70	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))))
72	50, 52	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ)
73	36	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
75	72, 74, 49	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ))
77		adddir 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2))) + ((𝑚 + 𝑛) · (2↑(𝑁 + 2)))))
79	65, 71, 78	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))))
80	79	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2)))) + ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
81	57, 80	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
82	81	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
83	82	rexbidva 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) · 𝑛) + (𝑚 + 𝑛)) · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
84	44, 83	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
85	84	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86		oveq12 7264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
87	86	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑦 · 𝑧) = (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
88	87	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
89	88	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) · ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
90	85, 89	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
91	90	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
92	91	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
93	92	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
94	24, 93	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
96	95	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑚 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
97	20, 96	syl5bi 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
98	97	impd 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
99	98	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
100	14, 16, 99	syl2and 607	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101	100	exp32 420	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
102	12, 101	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → (𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
103	10, 102	mpdd 43	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104	103	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105	104	com23 86	1 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dvds 15892  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtnofac2  44909