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Theorem fmtnofac2lem 46534
Description: Lemma for fmtnofac2 46535 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2lem ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Distinct variable group:   π‘˜,𝑁,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmtnofac2lem
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12836 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
3 eluzelz 12836 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
43adantl 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
5 eluzge2nn0 12875 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 fmtnonn 46497 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„•)
76nnzd 12589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€)
9 muldvds2 16229 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€ ∧ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
102, 4, 8, 9syl2an3an 1420 . . . 4 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
11 muldvds1 16228 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€ ∧ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
122, 4, 8, 11syl2an3an 1420 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
13 pm2.27 42 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413ad2ant2lr 744 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15 pm2.27 42 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1615ad2ant2l 742 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
17 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) = (π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))))
1817oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
1918eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2019cbvrexvw 3233 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
21 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))
2221oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
2322eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423cbvrexvw 3233 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
25 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
27 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ β„•0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
295, 28nn0addcld 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
3028, 29nn0expcld 14213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•0)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•0)
3226, 31nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„•0)
33 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
3532, 34nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) ∈ β„•0)
36 nn0addcl 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘š + 𝑛) ∈ β„•0)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (π‘š + 𝑛) ∈ β„•0)
3835, 37nn0addcld 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) ∈ β„•0)
39 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))))
4039oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4140eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) β†’ ((((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛))) β†’ ((((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4438, 42, 43rspcedvd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
45 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
4830nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
5047, 49mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚)
5133nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
5251adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
5352, 49mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚)
5450, 53jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚))
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚))
56 muladd11r 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))) + 1))
5825nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
6059, 52, 493jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚))
62 adddir 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š + 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
6463eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) = ((π‘š + 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))))
6564oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + ((π‘š + 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
6650adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) ∈ β„‚)
6752adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
6849adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
6966, 67, 68mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
7069eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))))
7170oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))))
7250, 52mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) ∈ β„‚)
7336nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘š + 𝑛) ∈ β„‚)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (π‘š + 𝑛) ∈ β„‚)
7572, 74, 493jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) ∈ β„‚ ∧ (π‘š + 𝑛) ∈ β„‚ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚))
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) ∈ β„‚ ∧ (π‘š + 𝑛) ∈ β„‚ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚))
77 adddir 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) ∈ β„‚ ∧ (π‘š + 𝑛) ∈ β„‚ ∧ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚) β†’ ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + ((π‘š + 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + ((π‘š + 𝑛) Β· (2↑(𝑁 + 2)))))
7965, 71, 783eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))) = ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))))
8079oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2)))) + ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))))) + 1) = (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8157, 80eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8281eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8382rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (((((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) Β· 𝑛) + (π‘š + 𝑛)) Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8444, 83mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
8584adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
86 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8786ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) = (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8887eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
8988rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) Β· ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9085, 89syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9190expd 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘š ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9291anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9392rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑧 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9424, 93biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9594com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9695rexlimdva 3153 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘š Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9720, 96biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
9897impd 409 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9998adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10014, 16, 99syl2and 606 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
101100exp32 419 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ (𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10212, 101syld 47 . . . 4 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ (𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))))
10310, 102mpdd 43 . . 3 (((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
104103expimpd 452 . 2 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
105104com23 86 1 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β†‘cexp 14031   βˆ₯ cdvds 16201  FermatNocfmtno 46493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dvds 16202  df-fmtno 46494
This theorem is referenced by:  fmtnofac2  46535
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