MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladd 11645
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 11191 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 adddi 11198 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)))
323expb 1120 . . 3 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)))
41, 3sylan 580 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)))
5 adddir 11204 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
653expa 1118 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
76adantrr 715 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
8 adddir 11204 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)))
983expa 1118 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)))
109adantrl 714 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)))
117, 10oveq12d 7426 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
12 mulcl 11193 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1312ad2ant2r 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
14 mulcl 11193 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1514ad2ant2lr 746 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
16 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
18 addcl 11191 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
1916, 17, 18syl2an 596 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2019anandirs 677 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2120adantrl 714 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2213, 15, 21add32d 11440 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ต ยท ๐ถ)))
23 mulcom 11195 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ต))
2423ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ต))
2524oveq2d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ต ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ท ยท ๐ต)))
2616ad2ant2rl 747 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2717ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2813, 26, 27addassd 11235 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
29 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3029ancoms 459 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3130ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3213, 26, 31add32d 11440 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ท ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)))
3325, 28, 323eqtr3d 2780 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)))
34 mulcom 11195 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
3534ad2ant2lr 746 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
3633, 35oveq12d 7426 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ต ยท ๐ถ)) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ถ ยท ๐ต)))
37 addcl 11191 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3812, 30, 37syl2an 596 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3938an4s 658 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
40 mulcl 11193 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4140ancoms 459 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4241ad2ant2lr 746 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4339, 26, 42addassd 11235 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
4422, 36, 433eqtrd 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
454, 11, 443eqtrd 2776 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252
This theorem is referenced by:  mulsub  11656  muladdi  11664  muladdd  11671  sqabsadd  15228  demoivreALT  16143
  Copyright terms: Public domain W3C validator