MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladd 11643
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 11188 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 adddi 11195 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)))
323expb 1117 . . 3 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)))
41, 3sylan 579 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)))
5 adddir 11202 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
653expa 1115 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
76adantrr 714 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)))
8 adddir 11202 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)))
983expa 1115 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)))
109adantrl 713 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)))
117, 10oveq12d 7419 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท ๐ถ) + ((๐ด + ๐ต) ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
12 mulcl 11190 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1312ad2ant2r 744 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
14 mulcl 11190 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1514ad2ant2lr 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
16 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
18 addcl 11188 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2019anandirs 676 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2120adantrl 713 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
2213, 15, 21add32d 11438 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ต ยท ๐ถ)))
23 mulcom 11192 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ต))
2423ad2ant2l 743 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ต))
2524oveq2d 7417 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ต ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ท ยท ๐ต)))
2616ad2ant2rl 746 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2717ad2ant2l 743 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2813, 26, 27addassd 11233 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))))
29 mulcl 11190 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3029ancoms 458 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3130ad2ant2l 743 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3213, 26, 31add32d 11438 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ท ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)))
3325, 28, 323eqtr3d 2772 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)))
34 mulcom 11192 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
3534ad2ant2lr 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
3633, 35oveq12d 7419 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ต ยท ๐ถ)) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ถ ยท ๐ต)))
37 addcl 11188 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3812, 30, 37syl2an 595 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3938an4s 657 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
40 mulcl 11190 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4140ancoms 458 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4241ad2ant2lr 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4339, 26, 42addassd 11233 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + (๐ด ยท ๐ท)) + (๐ถ ยท ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
4422, 36, 433eqtrd 2768 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ถ)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
454, 11, 443eqtrd 2768 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104   + caddc 11109   ยท cmul 11111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250
This theorem is referenced by:  mulsub  11654  muladdi  11662  muladdd  11669  sqabsadd  15226  demoivreALT  16141
  Copyright terms: Public domain W3C validator