Theorem muladd 10909

Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
muladd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 10454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2		adddi 10461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
3	2	3expb 1111	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
4	1, 3	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
5		adddir 10467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3expa 1109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
7	6	adantrr 713	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
8		adddir 10467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
9	8	3expa 1109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
10	9	adantrl 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
11	7, 10	oveq12d 7025	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
12		mulcl 10456	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	ad2ant2r 743	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14		mulcl 10456	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	ad2ant2lr 744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16		mulcl 10456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
17		mulcl 10456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
18		addcl 10454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
20	19	anandirs 675	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
21	20	adantrl 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
22	13, 15, 21	add32d 10703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐵 · 𝐶)))
23		mulcom 10458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐵))
24	23	ad2ant2l 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐵))
25	24	oveq2d 7023	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐷 · 𝐵)))
26	16	ad2ant2rl 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
27	17	ad2ant2l 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
28	13, 26, 27	addassd 10498	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
29		mulcl 10456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
31	30	ad2ant2l 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
32	13, 26, 31	add32d 10703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐷 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)))
33	25, 28, 32	3eqtr3d 2837	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)))
34		mulcom 10458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
35	34	ad2ant2lr 744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
36	33, 35	oveq12d 7025	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐵 · 𝐶)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐶 · 𝐵)))
37		addcl 10454	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
38	12, 30, 37	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	an4s 656	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
40		mulcl 10456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
41	40	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
42	41	ad2ant2lr 744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
43	39, 26, 42	addassd 10498	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
44	22, 36, 43	3eqtrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
45	4, 11, 44	3eqtrd 2833	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  (class class class)co 7007  ℂcc 10370   + caddc 10375   · cmul 10377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-ltxr 10515

This theorem is referenced by:  mulsub  10920  muladdi  10928  muladdd  10935  sqabsadd  14464  demoivreALT  15375