Theorem 2zrngALT 48252

Description: The ring of integers restricted to the even integers is a non-unital ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 48239, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 48248) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 48251). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngALT	⊢ 𝑅 ∈ Rng

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngaabl 48248	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Abel
4		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 2, 4	2zrngmsgrp 48251	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ Smgrp
6		elrabi 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12569	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9		elrabi 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12569	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10, 1	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
12		elrabi 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12569	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13, 1	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
15		adddi 11086	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)))
16		adddir 11094	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
17	15, 16	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
18	8, 11, 14, 17	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
19	18	rgen3 3174	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
20	1, 2	2zrngbas 48240	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
21	1, 2	2zrngadd 48241	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
22	1, 2	2zrngmul 48249	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	20, 4, 21, 22	isrng 20026	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))))
24	3, 5, 19, 23	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝑅 ∈ Rng

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3392  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℂcc 10995   + caddc 11000   · cmul 11002  2c2 12171  ℤcz 12459   ↾_s cress 17128  Smgrpcsgrp 18579  Abelcabl 19647  mulGrpcmgp 20012  Rngcrng 20024  ℂ_fldccnfld 21245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-addf 11076  ax-mulf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ring 20107  df-cring 20108  df-cnfld 21246

This theorem is referenced by: (None)