Theorem 2zrngALT 49047

Description: The ring of integers restricted to the even integers is a non-unital ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 49034, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 49043) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 49046). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngALT	⊢ 𝑅 ∈ Rng

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2zrngALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngaabl 49043	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Abel
4		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 2, 4	2zrngmsgrp 49046	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ Smgrp
6		elrabi 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12705	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2881	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9		elrabi 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12705	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10, 1	eleq2s 2881	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
12		elrabi 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12705	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13, 1	eleq2s 2881	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
15		adddi 11193	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)))
16		adddir 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
17	15, 16	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
18	8, 11, 14, 17	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
19	18	rgen3 3210	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
20	1, 2	2zrngbas 49035	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
21	1, 2	2zrngadd 49036	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
22	1, 2	2zrngmul 49044	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	20, 4, 21, 22	isrng 20236	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))))
24	3, 5, 19, 23	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝑅 ∈ Rng

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102   + caddc 11107   · cmul 11109  2c2 12299  ℤcz 12595   ↾_s cress 17294  Smgrpcsgrp 18780  Abelcabl 19855  mulGrpcmgp 20220  Rngcrng 20234  ℂ_fldccnfld 21531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ring 20321  df-cring 20322  df-cnfld 21532

This theorem is used by: (None)