Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2zrngALT | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The ring of integers restricted to the even integers is a (non-unital) ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 45550, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 45559) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 45562). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
2zrng.e | โข ๐ธ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} |
2zrngbas.r | โข ๐ = (โfld โพs ๐ธ) |
2zrngmmgm.1 | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
2zrngALT | โข ๐ โ Rng |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2zrng.e | . . 3 โข ๐ธ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} | |
2 | 2zrngbas.r | . . 3 โข ๐ = (โfld โพs ๐ธ) | |
3 | 1, 2 | 2zrngaabl 45559 | . 2 โข ๐ โ Abel |
4 | 2zrngmmgm.1 | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
5 | 1, 2, 4 | 2zrngmsgrp 45562 | . 2 โข ๐ โ Smgrp |
6 | elrabi 3623 | . . . . . 6 โข (๐ โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ ๐ โ โค) | |
7 | 6 | zcnd 12469 | . . . . 5 โข (๐ โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ ๐ โ โ) |
8 | 7, 1 | eleq2s 2855 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ธ โ ๐ โ โ) |
9 | elrabi 3623 | . . . . . 6 โข (๐ โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ ๐ โ โค) | |
10 | 9 | zcnd 12469 | . . . . 5 โข (๐ โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ ๐ โ โ) |
11 | 10, 1 | eleq2s 2855 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ธ โ ๐ โ โ) |
12 | elrabi 3623 | . . . . . 6 โข (๐ฆ โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ ๐ฆ โ โค) | |
13 | 12 | zcnd 12469 | . . . . 5 โข (๐ฆ โ {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = (2 ยท ๐ฅ)} โ ๐ฆ โ โ) |
14 | 13, 1 | eleq2s 2855 | . . . 4 โข (๐ฆ โ ๐ธ โ ๐ฆ โ โ) |
15 | adddi 11002 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ (๐ ยท (๐ + ๐ฆ)) = ((๐ ยท ๐) + (๐ ยท ๐ฆ))) | |
16 | adddir 11008 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((๐ + ๐) ยท ๐ฆ) = ((๐ ยท ๐ฆ) + (๐ ยท ๐ฆ))) | |
17 | 15, 16 | jca 513 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ ((๐ ยท (๐ + ๐ฆ)) = ((๐ ยท ๐) + (๐ ยท ๐ฆ)) โง ((๐ + ๐) ยท ๐ฆ) = ((๐ ยท ๐ฆ) + (๐ ยท ๐ฆ)))) |
18 | 8, 11, 14, 17 | syl3an 1160 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐ โ ๐ธ โง ๐ฆ โ ๐ธ) โ ((๐ ยท (๐ + ๐ฆ)) = ((๐ ยท ๐) + (๐ ยท ๐ฆ)) โง ((๐ + ๐) ยท ๐ฆ) = ((๐ ยท ๐ฆ) + (๐ ยท ๐ฆ)))) |
19 | 18 | rgen3 3196 | . 2 โข โ๐ โ ๐ธ โ๐ โ ๐ธ โ๐ฆ โ ๐ธ ((๐ ยท (๐ + ๐ฆ)) = ((๐ ยท ๐) + (๐ ยท ๐ฆ)) โง ((๐ + ๐) ยท ๐ฆ) = ((๐ ยท ๐ฆ) + (๐ ยท ๐ฆ))) |
20 | 1, 2 | 2zrngbas 45551 | . . 3 โข ๐ธ = (Baseโ๐ ) |
21 | 1, 2 | 2zrngadd 45552 | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) |
22 | 1, 2 | 2zrngmul 45560 | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) |
23 | 20, 4, 21, 22 | isrng 45491 | . 2 โข (๐ โ Rng โ (๐ โ Abel โง ๐ โ Smgrp โง โ๐ โ ๐ธ โ๐ โ ๐ธ โ๐ฆ โ ๐ธ ((๐ ยท (๐ + ๐ฆ)) = ((๐ ยท ๐) + (๐ ยท ๐ฆ)) โง ((๐ + ๐) ยท ๐ฆ) = ((๐ ยท ๐ฆ) + (๐ ยท ๐ฆ))))) |
24 | 3, 5, 19, 23 | mpbir3an 1341 | 1 โข ๐ โ Rng |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 397 โง w3a 1087 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwral 3062 โwrex 3071 {crab 3284 โcfv 6454 (class class class)co 7303 โcc 10911 + caddc 10916 ยท cmul 10918 2c2 12070 โคcz 12361 โพs cress 16982 Smgrpcsgrp 18415 Abelcabl 19428 mulGrpcmgp 19761 โfldccnfld 20638 Rngcrng 45489 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7616 ax-cnex 10969 ax-resscn 10970 ax-1cn 10971 ax-icn 10972 ax-addcl 10973 ax-addrcl 10974 ax-mulcl 10975 ax-mulrcl 10976 ax-mulcom 10977 ax-addass 10978 ax-mulass 10979 ax-distr 10980 ax-i2m1 10981 ax-1ne0 10982 ax-1rid 10983 ax-rnegex 10984 ax-rrecex 10985 ax-cnre 10986 ax-pre-lttri 10987 ax-pre-lttrn 10988 ax-pre-ltadd 10989 ax-pre-mulgt0 10990 ax-addf 10992 ax-mulf 10993 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3285 df-reu 3286 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-tp 4570 df-op 4572 df-uni 4845 df-iun 4933 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-tr 5199 df-id 5496 df-eprel 5502 df-po 5510 df-so 5511 df-fr 5551 df-we 5553 df-xp 5602 df-rel 5603 df-cnv 5604 df-co 5605 df-dm 5606 df-rn 5607 df-res 5608 df-ima 5609 df-pred 6213 df-ord 6280 df-on 6281 df-lim 6282 df-suc 6283 df-iota 6406 df-fun 6456 df-fn 6457 df-f 6458 df-f1 6459 df-fo 6460 df-f1o 6461 df-fv 6462 df-riota 7260 df-ov 7306 df-oprab 7307 df-mpo 7308 df-om 7741 df-1st 7859 df-2nd 7860 df-frecs 8124 df-wrecs 8155 df-recs 8229 df-rdg 8268 df-1o 8324 df-er 8525 df-en 8761 df-dom 8762 df-sdom 8763 df-fin 8764 df-pnf 11053 df-mnf 11054 df-xr 11055 df-ltxr 11056 df-le 11057 df-sub 11249 df-neg 11250 df-nn 12016 df-2 12078 df-3 12079 df-4 12080 df-5 12081 df-6 12082 df-7 12083 df-8 12084 df-9 12085 df-n0 12276 df-z 12362 df-dec 12480 df-uz 12625 df-fz 13282 df-struct 16889 df-sets 16906 df-slot 16924 df-ndx 16936 df-base 16954 df-ress 16983 df-plusg 17016 df-mulr 17017 df-starv 17018 df-tset 17022 df-ple 17023 df-ds 17025 df-unif 17026 df-0g 17193 df-mgm 18367 df-sgrp 18416 df-mnd 18427 df-grp 18621 df-cmn 19429 df-abl 19430 df-mgp 19762 df-ring 19826 df-cring 19827 df-cnfld 20639 df-rng0 45490 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |