Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngALT 45563
Description: The ring of integers restricted to the even integers is a (non-unital) ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 45550, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 45559) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 45562). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
2zrngbas.r ๐‘… = (โ„‚fld โ†พs ๐ธ)
2zrngmmgm.1 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
2zrngALT ๐‘… โˆˆ Rng
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 2zrngALT
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
2 2zrngbas.r . . 3 ๐‘… = (โ„‚fld โ†พs ๐ธ)
31, 22zrngaabl 45559 . 2 ๐‘… โˆˆ Abel
4 2zrngmmgm.1 . . 3 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
51, 2, 42zrngmsgrp 45562 . 2 ๐‘€ โˆˆ Smgrp
6 elrabi 3623 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
76zcnd 12469 . . . . 5 (๐‘Ž โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
87, 1eleq2s 2855 . . . 4 (๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
9 elrabi 3623 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
109zcnd 12469 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1110, 1eleq2s 2855 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12 elrabi 3623 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
1312zcnd 12469 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1413, 1eleq2s 2855 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
15 adddi 11002 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘) + (๐‘Ž ยท ๐‘ฆ)))
16 adddir 11008 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
1715, 16jca 513 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐‘ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘) + (๐‘Ž ยท ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))))
188, 11, 14, 17syl3an 1160 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐‘ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘) + (๐‘Ž ยท ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))))
1918rgen3 3196 . 2 โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ ((๐‘Ž ยท (๐‘ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘) + (๐‘Ž ยท ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
201, 22zrngbas 45551 . . 3 ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘…)
211, 22zrngadd 45552 . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
221, 22zrngmul 45560 . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
2320, 4, 21, 22isrng 45491 . 2 (๐‘… โˆˆ Rng โ†” (๐‘… โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ธ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ ((๐‘Ž ยท (๐‘ + ๐‘ฆ)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘) + (๐‘Ž ยท ๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘Ž + ๐‘) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))))
243, 5, 19, 23mpbir3an 1341 1 ๐‘… โˆˆ Rng
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3284  โ€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  โ„‚cc 10911   + caddc 10916   ยท cmul 10918  2c2 12070  โ„คcz 12361   โ†พs cress 16982  Smgrpcsgrp 18415  Abelcabl 19428  mulGrpcmgp 19761  โ„‚fldccnfld 20638  Rngcrng 45489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-addf 10992  ax-mulf 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-fz 13282  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-0g 17193  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-grp 18621  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ring 19826  df-cring 19827  df-cnfld 20639  df-rng0 45490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator