Theorem 2zrngALT 44572

Description: The ring of integers restricted to the even integers is a (non-unital) ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 44559, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 44568) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 44571). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngALT	⊢ 𝑅 ∈ Rng

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngaabl 44568	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Abel
4		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 2, 4	2zrngmsgrp 44571	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ Smgrp
6		elrabi 3623	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12076	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2908	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9		elrabi 3623	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12076	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10, 1	eleq2s 2908	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
12		elrabi 3623	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12076	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13, 1	eleq2s 2908	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
15		adddi 10615	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)))
16		adddir 10621	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
17	15, 16	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
18	8, 11, 14, 17	syl3an 1157	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
19	18	rgen3 3169	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
20	1, 2	2zrngbas 44560	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
21	1, 2	2zrngadd 44561	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
22	1, 2	2zrngmul 44569	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	20, 4, 21, 22	isrng 44500	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))))
24	3, 5, 19, 23	mpbir3an 1338	1 ⊢ 𝑅 ∈ Rng

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  ℤcz 11969   ↾_s cress 16476  Smgrpcsgrp 17892  Abelcabl 18899  mulGrpcmgp 19232  ℂ_fldccnfld 20091  Rngcrng 44498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-cring 19293  df-cnfld 20092  df-rng0 44499

This theorem is referenced by: (None)