Theorem 2zrngALT 48364

Description: The ring of integers restricted to the even integers is a non-unital ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 48351, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 48360) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 48363). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngALT	⊢ 𝑅 ∈ Rng

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngaabl 48360	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Abel
4		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 2, 4	2zrngmsgrp 48363	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ Smgrp
6		elrabi 3638	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2849	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9		elrabi 3638	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10, 1	eleq2s 2849	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
12		elrabi 3638	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13, 1	eleq2s 2849	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
15		adddi 11095	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)))
16		adddir 11103	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
17	15, 16	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
18	8, 11, 14, 17	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
19	18	rgen3 3177	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
20	1, 2	2zrngbas 48352	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
21	1, 2	2zrngadd 48353	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
22	1, 2	2zrngmul 48361	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	20, 4, 21, 22	isrng 20072	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))))
24	3, 5, 19, 23	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝑅 ∈ Rng

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  ℤcz 12468   ↾_s cress 17141  Smgrpcsgrp 18626  Abelcabl 19693  mulGrpcmgp 20058  Rngcrng 20070  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ring 20153  df-cring 20154  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by: (None)