Theorem 2zrngALT 49493

Description: The ring of integers restricted to the even integers is a non-unital ring, the "ring of even integers". Alternate version of 2zrng 49480, based on a restriction of the field of the complex numbers. The proof is based on the facts that the ring of even integers is an additive abelian group (see 2zrngaabl 49489) and a multiplicative semigroup (see 2zrngmsgrp 49492). (Contributed by AV, 11-Feb-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngALT	⊢ 𝑅 ∈ Rng

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2zrngALT

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngaabl 49489	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Abel
4		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 2, 4	2zrngmsgrp 49492	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ Smgrp
6		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12817	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
8	7, 1	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸 → 𝑎 ∈ ℂ)
9		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12817	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10, 1	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
12		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12817	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13, 1	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
15		adddi 11302	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)))
16		adddir 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
17	15, 16	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
18	8, 11, 14, 17	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
19	18	rgen3 3211	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
20	1, 2	2zrngbas 49481	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
21	1, 2	2zrngadd 49482	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
22	1, 2	2zrngmul 49490	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	20, 4, 21, 22	isrng 20391	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑦)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑦)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))))
24	3, 5, 19, 23	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝑅 ∈ Rng

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211   + caddc 11216   · cmul 11218  2c2 12410  ℤcz 12706   ↾_s cress 17423  Smgrpcsgrp 18922  Abelcabl 20010  mulGrpcmgp 20375  Rngcrng 20389  ℂ_fldccnfld 21693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ring 20476  df-cring 20477  df-cnfld 21694

This theorem is used by: (None)