HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3i 31425
Description: Two ways to express "๐ด and ๐ต are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3.3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
cdj3.4 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
cdj3.5 (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
cdj3.6 (๐œ“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Assertion
Ref Expression
cdj3i (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐œ‘ โˆง ๐œ“))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘†,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘‡,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข)   ๐œ“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3i
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
31, 2cdj3lem1 31418 . . 3 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹)
4 cdj3.3 . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ค โˆˆ ๐ต ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
51, 2, 4cdj3lem2b 31421 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6 cdj3.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
75, 6sylibr 233 . . 3 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ ๐œ‘)
8 cdj3.4 . . . . 5 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
91, 2, 8cdj3lem3b 31424 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
10 cdj3.6 . . . 4 (๐œ“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
119, 10sylibr 233 . . 3 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ ๐œ“)
123, 7, 113jca 1129 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐œ‘ โˆง ๐œ“))
13 breq2 5114 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘“ โ†’ (0 < ๐‘ฃ โ†” 0 < ๐‘“))
14 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))
1514breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘“ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
1615ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘“ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
1713, 16anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘“ โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” (0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
1817cbvrexvw 3229 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
196, 18bitri 275 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
20 breq2 5114 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘” โ†’ (0 < ๐‘ฃ โ†” 0 < ๐‘”))
21 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘” โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))
2221breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘” โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
2322ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘” โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
2420, 23anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘” โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
2524cbvrexvw 3229 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
2610, 25bitri 275 . . . . . 6 (๐œ“ โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
2719, 26anbi12i 628 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†” (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
28 reeanv 3220 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ ((0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))) โ†” (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
2927, 28bitr4i 278 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ ((0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
30 an4 655 . . . . . 6 (((0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))) โ†” ((0 < ๐‘“ โˆง 0 < ๐‘”) โˆง (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))))
31 addgt0 11648 . . . . . . . . 9 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐‘“ โˆง 0 < ๐‘”)) โ†’ 0 < (๐‘“ + ๐‘”))
3231ex 414 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐‘“ โˆง 0 < ๐‘”) โ†’ 0 < (๐‘“ + ๐‘”)))
3332adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โ†’ ((0 < ๐‘“ โˆง 0 < ๐‘”) โ†’ 0 < (๐‘“ + ๐‘”)))
341, 2shsvai 30348 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต))
35 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
36 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
3736oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
3835, 37breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
3938rspcv 3580 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
40 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
4136oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) = (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
4240, 41breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4342rspcv 3580 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
4439, 43anim12d 610 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
4534, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
4645adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
471sheli 30198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‹)
48 normcl 30109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ก โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„)
502sheli 30198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ โ„Ž โˆˆ โ„‹)
51 normcl 30109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โ„Ž โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„Ž โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„)
5349, 52anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„))
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„))
55 hvaddcl 29996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ก โˆˆ โ„‹ โˆง โ„Ž โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
5647, 50, 55syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹)
57 normcl 30109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ก +โ„Ž โ„Ž) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„)
59 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
6058, 59sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
62 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘” โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
6358, 62sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘” โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
6463adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)
65 le2add 11644 . . . . . . . . . . . 12 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โˆˆ โ„) โˆง ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆˆ โ„)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
6654, 61, 64, 65syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
6766adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
681, 2, 4cdj3lem2 31419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = ๐‘ก)
6968fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
7069breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” (normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
711, 2, 8cdj3lem3 31422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) = โ„Ž)
7271fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
7372breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
7470, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
75743expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
7675ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
7776adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜โ„Ž) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
78 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„‚)
79 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„‚)
8058recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„‚)
81 adddir 11153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
8278, 79, 80, 81syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
83823expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
8483breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
8584adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) + (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
8667, 77, 853imtr4d 294 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
8746, 86syld 47 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆง โ„Ž โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
8887ralrimdvva 3204 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โ†’ ((โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†’ โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
89 readdcl 11141 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘“ + ๐‘”) โˆˆ โ„)
90 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = (๐‘“ + ๐‘”) โ†’ (0 < ๐‘ฃ โ†” 0 < (๐‘“ + ๐‘”)))
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
9291oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
93 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
9493oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
9592, 94breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
96 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
9796oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
98 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
9998fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
10099oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
10197, 100breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
10295, 101cbvral2vw 3230 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
103 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฃ = (๐‘“ + ๐‘”) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) = ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
104103breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฃ = (๐‘“ + ๐‘”) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
1051042ralbidv 3213 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฃ = (๐‘“ + ๐‘”) โ†’ (โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
106102, 105bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = (๐‘“ + ๐‘”) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
10790, 106anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = (๐‘“ + ๐‘”) โ†’ ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” (0 < (๐‘“ + ๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))))
108107rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 (((๐‘“ + ๐‘”) โˆˆ โ„ โˆง (0 < (๐‘“ + ๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
109108ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ + ๐‘”) โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < (๐‘“ + ๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
11089, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (๐‘“ + ๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
111110adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โ†’ ((0 < (๐‘“ + ๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค ((๐‘“ + ๐‘”) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
11233, 88, 111syl2and 609 . . . . . 6 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โ†’ (((0 < ๐‘“ โˆง 0 < ๐‘”) โˆง (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
11330, 112biimtrid 241 . . . . 5 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง (๐‘“ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘” โˆˆ โ„)) โ†’ (((0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
114113rexlimdvva 3206 . . . 4 ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„ ((0 < ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘“ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โˆง (0 < ๐‘” โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘” ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
11529, 114biimtrid 241 . . 3 ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))))
1161153impib 1117 . 2 (((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
11712, 116impbii 208 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” ((๐ด โˆฉ ๐ต) = 0โ„‹ โˆง ๐œ‘ โˆง ๐œ“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โˆฉ cin 3914   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  โ„ฉcrio 7317  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904  normโ„Žcno 29907   Sโ„‹ csh 29912   +โ„‹ cph 29915  0โ„‹c0h 29919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-grpo 29477  df-ablo 29529  df-hnorm 29952  df-hvsub 29955  df-sh 30191  df-ch0 30237  df-shs 30292
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator