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Theorem cdj3i 32460
Description: Two ways to express "𝐴 and 𝐵 are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3.1 𝐴S
cdj3.2 𝐵S
cdj3.3 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
cdj3.4 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
cdj3.5 (𝜑 ↔ ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
cdj3.6 (𝜓 ↔ ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
Assertion
Ref Expression
cdj3i (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) ↔ ((𝐴𝐵) = 0𝜑𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝑣,𝑆,𝑢   𝑣,𝑇,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3i
Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3.1 . . . 4 𝐴S
2 cdj3.2 . . . 4 𝐵S
31, 2cdj3lem1 32453 . . 3 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → (𝐴𝐵) = 0)
4 cdj3.3 . . . . 5 𝑆 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
51, 2, 4cdj3lem2b 32456 . . . 4 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
6 cdj3.5 . . . 4 (𝜑 ↔ ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
75, 6sylibr 234 . . 3 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → 𝜑)
8 cdj3.4 . . . . 5 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↦ (𝑤𝐵𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)))
91, 2, 8cdj3lem3b 32459 . . . 4 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
10 cdj3.6 . . . 4 (𝜓 ↔ ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))))
119, 10sylibr 234 . . 3 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → 𝜓)
123, 7, 113jca 1129 . 2 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) → ((𝐴𝐵) = 0𝜑𝜓))
13 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑓 → (0 < 𝑣 ↔ 0 < 𝑓))
14 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑓 → (𝑣 · (norm𝑢)) = (𝑓 · (norm𝑢)))
1514breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑓 → ((norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)) ↔ (norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))))
1615ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑓 → (∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))))
1713, 16anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑓 → ((0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))) ↔ (0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)))))
1817cbvrexvw 3238 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℝ (0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))))
196, 18bitri 275 . . . . . 6 (𝜑 ↔ ∃𝑓 ∈ ℝ (0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))))
20 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑔 → (0 < 𝑣 ↔ 0 < 𝑔))
21 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑔 → (𝑣 · (norm𝑢)) = (𝑔 · (norm𝑢)))
2221breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑔 → ((norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)) ↔ (norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))))
2322ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑔 → (∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))))
2420, 23anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑔 → ((0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))) ↔ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))))
2524cbvrexvw 3238 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑣 · (norm𝑢))) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))))
2610, 25bitri 275 . . . . . 6 (𝜓 ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))))
2719, 26anbi12i 628 . . . . 5 ((𝜑𝜓) ↔ (∃𝑓 ∈ ℝ (0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ ∃𝑔 ∈ ℝ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))))
28 reeanv 3229 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ ℝ ∃𝑔 ∈ ℝ ((0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))) ↔ (∃𝑓 ∈ ℝ (0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ ∃𝑔 ∈ ℝ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))))
2927, 28bitr4i 278 . . . 4 ((𝜑𝜓) ↔ ∃𝑓 ∈ ℝ ∃𝑔 ∈ ℝ ((0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))))
30 an4 656 . . . . . 6 (((0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))) ↔ ((0 < 𝑓 ∧ 0 < 𝑔) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))))
31 addgt0 11749 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝑓 ∧ 0 < 𝑔)) → 0 < (𝑓 + 𝑔))
3231ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑓 ∧ 0 < 𝑔) → 0 < (𝑓 + 𝑔)))
3332adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → ((0 < 𝑓 ∧ 0 < 𝑔) → 0 < (𝑓 + 𝑔)))
341, 2shsvai 31383 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡𝐴𝐵) → (𝑡 + ) ∈ (𝐴 + 𝐵))
35 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm‘(𝑆𝑢)) = (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))))
36 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm𝑢) = (norm‘(𝑡 + )))
3736oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑡 + ) → (𝑓 · (norm𝑢)) = (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))))
3835, 37breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑡 + ) → ((norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ↔ (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + )))))
3938rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 + ) ∈ (𝐴 + 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) → (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + )))))
40 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑡 + ) → (norm‘(𝑇𝑢)) = (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))))
4136oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑡 + ) → (𝑔 · (norm𝑢)) = (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))
4240, 41breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑡 + ) → ((norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)) ↔ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))))
4342rspcv 3618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 + ) ∈ (𝐴 + 𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)) → (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))))
4439, 43anim12d 609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 + ) ∈ (𝐴 + 𝐵) → ((∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))) → ((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
4534, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝐴𝐵) → ((∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))) → ((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
4645adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → ((∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))) → ((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
471sheli 31233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐴𝑡 ∈ ℋ)
48 normcl 31144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℋ → (norm𝑡) ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐴 → (norm𝑡) ∈ ℝ)
502sheli 31233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℋ)
51 normcl 31144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ ℋ → (norm) ∈ ℝ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 → (norm) ∈ ℝ)
5349, 52anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐴𝐵) → ((norm𝑡) ∈ ℝ ∧ (norm) ∈ ℝ))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → ((norm𝑡) ∈ ℝ ∧ (norm) ∈ ℝ))
55 hvaddcl 31031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ∈ ℋ ∧ ∈ ℋ) → (𝑡 + ) ∈ ℋ)
5647, 50, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝐴𝐵) → (𝑡 + ) ∈ ℋ)
57 normcl 31144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 + ) ∈ ℋ → (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐴𝐵) → (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ)
59 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ) → (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
6058, 59sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
62 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℝ) → (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
6358, 62sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ ℝ ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
6463adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)
65 le2add 11745 . . . . . . . . . . . 12 ((((norm𝑡) ∈ ℝ ∧ (norm) ∈ ℝ) ∧ ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ ∧ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))) ∈ ℝ)) → (((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) → ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
6654, 61, 64, 65syl12anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) → ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
6766adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) → ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
681, 2, 4cdj3lem2 32454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑆‘(𝑡 + )) = 𝑡)
6968fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) = (norm𝑡))
7069breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ↔ (norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + )))))
711, 2, 8cdj3lem3 32457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (𝑇‘(𝑡 + )) = )
7271fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) = (norm))
7372breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → ((norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))) ↔ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))))
7470, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐴𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) ↔ ((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
75743expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = 0) → (((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) ↔ ((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
7675ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) ↔ ((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
7776adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) ↔ ((norm𝑡) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
78 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ℝ → 𝑓 ∈ ℂ)
79 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ ℝ → 𝑔 ∈ ℂ)
8058recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐴𝐵) → (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℂ)
81 adddir 11252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ ∧ (norm‘(𝑡 + )) ∈ ℂ) → ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))) = ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))))
8278, 79, 80, 81syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))) = ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))))
83823expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))) = ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))))
8483breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))) ↔ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
8584adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))) ↔ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) + (𝑔 · (norm‘(𝑡 + ))))))
8667, 77, 853imtr4d 294 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑓 · (norm‘(𝑡 + ))) ∧ (norm‘(𝑇‘(𝑡 + ))) ≤ (𝑔 · (norm‘(𝑡 + )))) → ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))))
8746, 86syld 47 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡𝐴𝐵)) → ((∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))) → ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))))
8887ralrimdvva 3211 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → ((∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢))) → ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))))
89 readdcl 11238 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 + 𝑔) ∈ ℝ)
90 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑓 + 𝑔) → (0 < 𝑣 ↔ 0 < (𝑓 + 𝑔)))
91 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (norm𝑥) = (norm𝑡))
9291oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑡 → ((norm𝑥) + (norm𝑦)) = ((norm𝑡) + (norm𝑦)))
93 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (norm‘(𝑥 + 𝑦)) = (norm‘(𝑡 + 𝑦)))
9493oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑡 → (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) = (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦))))
9592, 94breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) ↔ ((norm𝑡) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦)))))
96 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = → (norm𝑦) = (norm))
9796oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = → ((norm𝑡) + (norm𝑦)) = ((norm𝑡) + (norm)))
98 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = → (𝑡 + 𝑦) = (𝑡 + ))
9998fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = → (norm‘(𝑡 + 𝑦)) = (norm‘(𝑡 + )))
10099oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = → (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦))) = (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
10197, 100breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = → (((norm𝑡) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + 𝑦))) ↔ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + )))))
10295, 101cbvral2vw 3241 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) ↔ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))))
103 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑓 + 𝑔) → (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) = ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))))
104103breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑓 + 𝑔) → (((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) ↔ ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))))
1051042ralbidv 3221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑓 + 𝑔) → (∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑡 + ))) ↔ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))))
106102, 105bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑓 + 𝑔) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))) ↔ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))))
10790, 106anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓 + 𝑔) → ((0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) ↔ (0 < (𝑓 + 𝑔) ∧ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))))))
108107rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 + 𝑔) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑓 + 𝑔) ∧ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + ))))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))))
109108ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑓 + 𝑔) ∈ ℝ → ((0 < (𝑓 + 𝑔) ∧ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
11089, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → ((0 < (𝑓 + 𝑔) ∧ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
111110adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → ((0 < (𝑓 + 𝑔) ∧ ∀𝑡𝐴𝐵 ((norm𝑡) + (norm)) ≤ ((𝑓 + 𝑔) · (norm‘(𝑡 + )))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
11233, 88, 111syl2and 608 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (((0 < 𝑓 ∧ 0 < 𝑔) ∧ (∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
11330, 112biimtrid 242 . . . . 5 (((𝐴𝐵) = 0 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (((0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
114113rexlimdvva 3213 . . . 4 ((𝐴𝐵) = 0 → (∃𝑓 ∈ ℝ ∃𝑔 ∈ ℝ ((0 < 𝑓 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑆𝑢)) ≤ (𝑓 · (norm𝑢))) ∧ (0 < 𝑔 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵)(norm‘(𝑇𝑢)) ≤ (𝑔 · (norm𝑢)))) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
11529, 114biimtrid 242 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 → ((𝜑𝜓) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦))))))
1161153impib 1117 . 2 (((𝐴𝐵) = 0𝜑𝜓) → ∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))))
11712, 116impbii 209 1 (∃𝑣 ∈ ℝ (0 < 𝑣 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ((norm𝑥) + (norm𝑦)) ≤ (𝑣 · (norm‘(𝑥 + 𝑦)))) ↔ ((𝐴𝐵) = 0𝜑𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  chba 30938   + cva 30939  normcno 30942   S csh 30947   + cph 30950  0c0h 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hnorm 30987  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-ch0 31272  df-shs 31327
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