Theorem mulrid 11179

Description: The number 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulrid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		recn 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-icn 11134	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		mulcl 11159	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddir 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
9	7, 8	mp3an3 1452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
10	2, 6, 9	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
11		ax-1rid 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12		mulass 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
13	3, 7, 12	mp3an13 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
15		ax-1rid 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
16	15	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 · 1)) = (i · 𝑦))
17	14, 16	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · 𝑦))
18	11, 17	oveqan12d 7409	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19	10, 18	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
20		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1))
21		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
22	20, 21	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
23	19, 22	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴))
24	23	rexlimivv 3180	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	1, 24	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-mulcom 11139  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-1rid 11145  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  mullid  11180  mulridi  11185  mulridd  11198  muleqadd  11829  divdiv1  11900  conjmul  11906  expmul  14079  binom21  14191  binom2sub1  14193  sq01  14197  bernneq  14201  hashiun  15795  fprodcvg  15903  prodmolem2a  15907  efexp  16076  cncrng  21307  cncrngOLD  21308  cnfld1  21312  cnfld1OLD  21313  0dgr  26157  ecxp  26589  dvcxp1  26656  dvcncxp1  26659  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  lgsdilem2  27251  axcontlem7  28904  ipasslem2  30768  addltmulALT  32382  0dp2dp  32836  zrhnm  33964  2even  48231