MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem1 28258
Description: Lemma for ipassi 28268. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2 ax-1cn 10330 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
3 ip1i.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28243 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
7 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
85, 6, 7nvdir 28058 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
94, 8mpan 680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
102, 9mp3an2 1522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
111, 10sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
125, 7nvsid 28054 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
134, 12mpan 680 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1413adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1514oveq2d 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
1611, 15eqtrd 2813 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
1716oveq1d 6937 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
18 ipasslem1.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵𝑋
19 ip1i.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
205, 19dipcl 28139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
214, 18, 20mp3an13 1525 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2221mulid2d 10395 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2322adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2423oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
255, 7nvscl 28053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
264, 25mp3an1 1521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
271, 26sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
285, 6, 7, 19, 3ipdiri 28257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
2918, 28mp3an3 1523 . . . . . . . . . 10 (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
3027, 29sylancom 582 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
3124, 30eqtr4d 2816 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
3217, 31eqtr4d 2816 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
33 oveq1 6929 . . . . . . 7 (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
3432, 33sylan9eq 2833 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
35 adddir 10367 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
362, 35mp3an2 1522 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
371, 21, 36syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
3837adantr 474 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
3934, 38eqtr4d 2816 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
4039exp31 412 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑋 → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
4140a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (𝐴𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
42 eqid 2777 . . . . . 6 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
435, 42, 19dip0l 28145 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
444, 18, 43mp2an 682 . . . 4 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
455, 7, 42nv0 28064 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (0vec𝑈))
464, 45mpan 680 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (0𝑆𝐴) = (0vec𝑈))
4746oveq1d 6937 . . . 4 (𝐴𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵))
4821mul02d 10574 . . . 4 (𝐴𝑋 → (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = 0)
4944, 47, 483eqtr4a 2839 . . 3 (𝐴𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
50 oveq1 6929 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
5150oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵))
52 oveq1 6929 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
5351, 52eqeq12d 2792 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵))))
5453imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))))
55 oveq1 6929 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑘𝑆𝐴))
5655oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵))
57 oveq1 6929 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))
5856, 57eqeq12d 2792 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))))
5958imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))))
60 oveq1 6929 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗𝑆𝐴) = ((𝑘 + 1)𝑆𝐴))
6160oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
62 oveq1 6929 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
6361, 62eqeq12d 2792 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵))))
6463imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
65 oveq1 6929 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
6665oveq1d 6937 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
67 oveq1 6929 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
6866, 67eqeq12d 2792 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
6968imbi2d 332 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))))
7041, 49, 54, 59, 64, 69nn0indALT 11825 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
7170imp 397 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  0cn0 11642  NrmCVeccnv 28011   +𝑣 cpv 28012  BaseSetcba 28013   ·𝑠OLD cns 28014  0veccn0v 28015  ·𝑖OLDcdip 28127  CPreHilOLDccphlo 28239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-nmcv 28027  df-dip 28128  df-ph 28240
This theorem is referenced by:  ipasslem2  28259  ipasslem3  28260  ipasslem4  28261
  Copyright terms: Public domain W3C validator