Theorem ipasslem1 30850

Description: Lemma for ipassi 30860. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem1

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		ip1i.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	5, 6, 7	nvdir 30650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
9	4, 8	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
10	2, 9	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
11	1, 10	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
12	5, 7	nvsid 30646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
13	4, 12	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
15	14	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
16	11, 15	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
17	16	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
18		ipasslem1.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
19		ip1i.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
20	5, 19	dipcl 30731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
21	4, 18, 20	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
24	23	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
25	5, 7	nvscl 30645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26	4, 25	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
27	1, 26	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
28	5, 6, 7, 19, 3	ipdiri 30849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
29	18, 28	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
30	27, 29	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
31	24, 30	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
32	17, 31	eqtr4d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
33		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
34	32, 33	sylan9eq 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
35		adddir 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
36	2, 35	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
37	1, 21, 36	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
39	34, 38	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
40	39	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
41	40	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
42		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
43	5, 42, 19	dip0l 30737	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
44	4, 18, 43	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
45	5, 7, 42	nv0 30656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = (0vec‘𝑈))
46	4, 45	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0𝑆𝐴) = (0vec‘𝑈))
47	46	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
48	21	mul02d 11459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = 0)
49	44, 47, 48	3eqtr4a 2803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
50		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
51	50	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵))
52		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
53	51, 52	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵))))
54	53	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))))
55		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑘𝑆𝐴))
56	55	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵))
57		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))
58	56, 57	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))))
59	58	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))))
60		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗𝑆𝐴) = ((𝑘 + 1)𝑆𝐴))
61	60	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
62		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
63	61, 62	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵))))
64	63	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
65		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
66	65	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
67		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	66, 67	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
69	68	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))))
70	41, 49, 54, 59, 64, 69	nn0indALT 12714	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
71	70	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕ₀cn0 12526  NrmCVeccnv 30603   +_𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·_𝑠OLD cns 30606  0_veccn0v 30607  ·_𝑖OLDcdip 30719  CPreHil_OLDccphlo 30831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720  df-ph 30832

This theorem is referenced by:  ipasslem2  30851  ipasslem3  30852  ipasslem4  30853