Theorem ipasslem1 31460

Description: Lemma for ipassi 31470. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem1

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		ip1i.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	5, 6, 7	nvdir 31260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
9	4, 8	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
10	2, 9	mp3an2 1479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
11	1, 10	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
12	5, 7	nvsid 31256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
13	4, 12	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
15	14	oveq2d 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
16	11, 15	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
17	16	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
18		ipasslem1.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
19		ip1i.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
20	5, 19	dipcl 31341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
21	4, 18, 20	mp3an13 1482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
24	23	oveq2d 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
25	5, 7	nvscl 31255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26	4, 25	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
27	1, 26	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
28	5, 6, 7, 19, 3	ipdiri 31459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
29	18, 28	mp3an3 1480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
30	27, 29	sylancom 600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
31	24, 30	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
32	17, 31	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
33		oveq1 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
34	32, 33	sylan9eq 2818	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
35		adddir 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
36	2, 35	mp3an2 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
37	1, 21, 36	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
39	34, 38	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
40	39	exp31 425	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
41	40	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
42		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
43	5, 42, 19	dip0l 31347	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
44	4, 18, 43	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
45	5, 7, 42	nv0 31266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = (0vec‘𝑈))
46	4, 45	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0𝑆𝐴) = (0vec‘𝑈))
47	46	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
48	21	mul02d 11532	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = 0)
49	44, 47, 48	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
50		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
51	50	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵))
52		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
53	51, 52	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵))))
54	53	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))))
55		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑘𝑆𝐴))
56	55	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵))
57		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))
58	56, 57	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))))
59	58	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))))
60		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗𝑆𝐴) = ((𝑘 + 1)𝑆𝐴))
61	60	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
62		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
63	61, 62	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵))))
64	63	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
65		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
66	65	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
67		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	66, 67	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
69	68	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))))
70	41, 49, 54, 59, 64, 69	nn0indALT 12819	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
71	70	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229  ℕ₀cn0 12630  NrmCVeccnv 31213   +_𝑣 cpv 31214  BaseSetcba 31215   ·_𝑠OLD cns 31216  0_veccn0v 31217  ·_𝑖OLDcdip 31329  CPreHil_OLDccphlo 31441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-nmcv 31229  df-dip 31330  df-ph 31442

This theorem is used by:  ipasslem2  31461  ipasslem3  31462  ipasslem4  31463