Theorem ipasslem1 30859

Description: Lemma for ipassi 30869. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem1

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		ip1i.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ip1i.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	5, 6, 7	nvdir 30659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
9	4, 8	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
10	2, 9	mp3an2 1448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
11	1, 10	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
12	5, 7	nvsid 30655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
13	4, 12	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
15	14	oveq2d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
16	11, 15	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
17	16	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
18		ipasslem1.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
19		ip1i.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
20	5, 19	dipcl 30740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
21	4, 18, 20	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
24	23	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
25	5, 7	nvscl 30654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26	4, 25	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
27	1, 26	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
28	5, 6, 7, 19, 3	ipdiri 30858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
29	18, 28	mp3an3 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
30	27, 29	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
31	24, 30	eqtr4d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
32	17, 31	eqtr4d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
33		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
34	32, 33	sylan9eq 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
35		adddir 11249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
36	2, 35	mp3an2 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
37	1, 21, 36	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
39	34, 38	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
40	39	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
41	40	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
42		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
43	5, 42, 19	dip0l 30746	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
44	4, 18, 43	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
45	5, 7, 42	nv0 30665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐴) = (0vec‘𝑈))
46	4, 45	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0𝑆𝐴) = (0vec‘𝑈))
47	46	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
48	21	mul02d 11456	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = 0)
49	44, 47, 48	3eqtr4a 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
50		oveq1 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
51	50	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵))
52		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
53	51, 52	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵))))
54	53	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))))
55		oveq1 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑘𝑆𝐴))
56	55	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵))
57		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))
58	56, 57	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))))
59	58	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))))
60		oveq1 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗𝑆𝐴) = ((𝑘 + 1)𝑆𝐴))
61	60	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
62		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
63	61, 62	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵))))
64	63	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
65		oveq1 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
66	65	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
67		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	66, 67	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
69	68	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))))
70	41, 49, 54, 59, 64, 69	nn0indALT 12711	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
71	70	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  ℕ₀cn0 12523  NrmCVeccnv 30612   +_𝑣 cpv 30613  BaseSetcba 30614   ·_𝑠OLD cns 30615  0_veccn0v 30616  ·_𝑖OLDcdip 30728  CPreHil_OLDccphlo 30840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-nmcv 30628  df-dip 30729  df-ph 30841

This theorem is referenced by:  ipasslem2  30860  ipasslem3  30861  ipasslem4  30862