MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem1 30850
Description: Lemma for ipassi 30860. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
3 ip1i.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30835 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ip1i.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
7 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
85, 6, 7nvdir 30650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
94, 8mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
102, 9mp3an2 1451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
111, 10sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
125, 7nvsid 30646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
134, 12mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1514oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
1611, 15eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1)𝑆𝐴) = ((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴))
1716oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
18 ipasslem1.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵𝑋
19 ip1i.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
205, 19dipcl 30731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
214, 18, 20mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2221mullidd 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (1 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐴𝑃𝐵))
2423oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
255, 7nvscl 30645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
264, 25mp3an1 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
271, 26sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
285, 6, 7, 19, 3ipdiri 30849 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
2918, 28mp3an3 1452 . . . . . . . . . 10 (((𝑘𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
3027, 29sylancom 588 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (𝐴𝑃𝐵)))
3124, 30eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑘𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝑃𝐵))
3217, 31eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
33 oveq1 7438 . . . . . . 7 (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
3432, 33sylan9eq 2797 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
35 adddir 11252 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
362, 35mp3an2 1451 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
371, 21, 36syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
3837adantr 480 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) + (1 · (𝐴𝑃𝐵))))
3934, 38eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝑋) ∧ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
4039exp31 419 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑋 → (((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)) → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
4140a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))) → (𝐴𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
42 eqid 2737 . . . . . 6 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
435, 42, 19dip0l 30737 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
444, 18, 43mp2an 692 . . . 4 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
455, 7, 42nv0 30656 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (0vec𝑈))
464, 45mpan 690 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (0𝑆𝐴) = (0vec𝑈))
4746oveq1d 7446 . . . 4 (𝐴𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵))
4821mul02d 11459 . . . 4 (𝐴𝑋 → (0 · (𝐴𝑃𝐵)) = 0)
4944, 47, 483eqtr4a 2803 . . 3 (𝐴𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
50 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
5150oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵))
52 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))
5351, 52eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵))))
5453imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → ((0𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (0 · (𝐴𝑃𝐵)))))
55 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑘𝑆𝐴))
5655oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵))
57 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))
5856, 57eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵))))
5958imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → ((𝑘𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑘 · (𝐴𝑃𝐵)))))
60 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗𝑆𝐴) = ((𝑘 + 1)𝑆𝐴))
6160oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
62 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))
6361, 62eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵))))
6463imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → (((𝑘 + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑘 + 1) · (𝐴𝑃𝐵)))))
65 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
6665oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
67 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
6866, 67eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
6968imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑋 → ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐴𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))))
7041, 49, 54, 59, 64, 69nn0indALT 12714 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑋 → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵))))
7170imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  0veccn0v 30607  ·𝑖OLDcdip 30719  CPreHilOLDccphlo 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720  df-ph 30832
This theorem is referenced by:  ipasslem2  30851  ipasslem3  30852  ipasslem4  30853
  Copyright terms: Public domain W3C validator