MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem1 30122
Description: Lemma for ipassi 30132. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12484 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
3 ip1i.9 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30107 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 ip1i.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
7 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
85, 6, 7nvdir 29922 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
94, 8mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
102, 9mp3an2 1449 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
111, 10sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
125, 7nvsid 29918 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
134, 12mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1514oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴))
1611, 15eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴))
1716oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡))
18 ipasslem1.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ 𝑋
19 ip1i.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
205, 19dipcl 30003 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
214, 18, 20mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2221mullidd 11234 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2423oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
255, 7nvscl 29917 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋)
264, 25mp3an1 1448 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋)
271, 26sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋)
285, 6, 7, 19, 3ipdiri 30121 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
2918, 28mp3an3 1450 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
3027, 29sylancom 588 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
3124, 30eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡))
3217, 31eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
33 oveq1 7418 . . . . . . 7 (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3432, 33sylan9eq 2792 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
35 adddir 11207 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
362, 35mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
371, 21, 36syl2an 596 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3837adantr 481 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3934, 38eqtr4d 2775 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4039exp31 420 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
4140a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
42 eqid 2732 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
435, 42, 19dip0l 30009 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0)
444, 18, 43mp2an 690 . . . 4 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0
455, 7, 42nv0 29928 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0𝑆𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
464, 45mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (0𝑆𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
4746oveq1d 7426 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡))
4821mul02d 11414 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = 0)
4944, 47, 483eqtr4a 2798 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
50 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑗 = 0 β†’ (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
5150oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡))
52 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑗 = 0 β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5351, 52eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑗 = 0 β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5453imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 0 β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
55 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗𝑆𝐴) = (π‘˜π‘†π΄))
5655oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡))
57 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5856, 57eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5958imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
60 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗𝑆𝐴) = ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴))
6160oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡))
62 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
6361, 62eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6463imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
65 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
6665oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡))
67 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
6866, 67eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6968imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
7041, 49, 54, 59, 64, 69nn0indALT 12660 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
7170imp 407 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12474  NrmCVeccnv 29875   +𝑣 cpv 29876  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  0veccn0v 29879  Β·π‘–OLDcdip 29991  CPreHilOLDccphlo 30103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-dip 29992  df-ph 30104
This theorem is referenced by:  ipasslem2  30123  ipasslem3  30124  ipasslem4  30125
  Copyright terms: Public domain W3C validator