MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem1 30084
Description: Lemma for ipassi 30094. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
3 ip1i.9 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30069 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ip1i.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 ip1i.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
7 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
85, 6, 7nvdir 29884 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
94, 8mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
102, 9mp3an2 1450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
111, 10sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)))
125, 7nvsid 29880 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
134, 12mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1413adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1514oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜π‘†π΄)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴))
1611, 15eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴) = ((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴))
1716oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡))
18 ipasslem1.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ 𝑋
19 ip1i.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
205, 19dipcl 29965 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
214, 18, 20mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2221mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2322adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐴𝑃𝐡))
2423oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
255, 7nvscl 29879 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋)
264, 25mp3an1 1449 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋)
271, 26sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋)
285, 6, 7, 19, 3ipdiri 30083 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
2918, 28mp3an3 1451 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜π‘†π΄) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
3027, 29sylancom 589 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (𝐴𝑃𝐡)))
3124, 30eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((π‘˜π‘†π΄)𝐺𝐴)𝑃𝐡))
3217, 31eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
33 oveq1 7416 . . . . . . 7 (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3432, 33sylan9eq 2793 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
35 adddir 11205 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
362, 35mp3an2 1450 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
371, 21, 36syl2an 597 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3837adantr 482 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (1 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3934, 38eqtr4d 2776 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4039exp31 421 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)) β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
4140a2d 29 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
42 eqid 2733 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
435, 42, 19dip0l 29971 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0)
444, 18, 43mp2an 691 . . . 4 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0
455, 7, 42nv0 29890 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0𝑆𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
464, 45mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (0𝑆𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
4746oveq1d 7424 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡))
4821mul02d 11412 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = 0)
4944, 47, 483eqtr4a 2799 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
50 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑗 = 0 β†’ (𝑗𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴))
5150oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡))
52 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑗 = 0 β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5351, 52eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑗 = 0 β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5453imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = 0 β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((0𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (0 Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
55 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗𝑆𝐴) = (π‘˜π‘†π΄))
5655oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡))
57 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
5856, 57eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5958imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘˜π‘†π΄)𝑃𝐡) = (π‘˜ Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
60 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗𝑆𝐴) = ((π‘˜ + 1)𝑆𝐴))
6160oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡))
62 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
6361, 62eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6463imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (((π‘˜ + 1)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘˜ + 1) Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
65 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑗𝑆𝐴) = (𝑁𝑆𝐴))
6665oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡))
67 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
6866, 67eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 β†’ (((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6968imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑗𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
7041, 49, 54, 59, 64, 69nn0indALT 12658 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
7170imp 408 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841  Β·π‘–OLDcdip 29953  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-dip 29954  df-ph 30066
This theorem is referenced by:  ipasslem2  30085  ipasslem3  30086  ipasslem4  30087
  Copyright terms: Public domain W3C validator