Theorem cncvcOLD 30553

Description: Obsolete version of cncvs 25065. The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cncvcOLD	⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem cncvcOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30551	. 2 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ax-addf 11077	. . 3 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3	2	fdmi 6658	. 2 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
4		ax-mulf 11078	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5		mullid 11103	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6		adddi 11087	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7		adddir 11095	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8		mulass 11086	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9		eqid 2730	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ = ⟨ + , · ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 30550	1 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4580   × cxp 5612  ℂcc 10996   + caddc 11001   · cmul 11003  CVec_OLDcvc 30528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-sub 11338  df-neg 11339  df-grpo 30463  df-ablo 30515  df-vc 30529

This theorem is referenced by:  cnnv  30647