Theorem cncvcOLD 30514

Description: Obsolete version of cncvs 25026. The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cncvcOLD	⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem cncvcOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30512	. 2 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ax-addf 11076	. . 3 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3	2	fdmi 6657	. 2 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
4		ax-mulf 11077	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5		mullid 11102	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6		adddi 11086	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7		adddir 11094	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8		mulass 11085	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9		eqid 2729	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ = ⟨ + , · ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 30511	1 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4579   × cxp 5611  ℂcc 10995   + caddc 11000   · cmul 11002  CVec_OLDcvc 30489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-addf 11076  ax-mulf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-ltxr 11142  df-sub 11337  df-neg 11338  df-grpo 30424  df-ablo 30476  df-vc 30490

This theorem is referenced by:  cnnv  30608