Theorem cncvcOLD 28152

Description: Obsolete version of cncvs 23467. The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cncvcOLD	⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem cncvcOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 28150	. 2 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ax-addf 10412	. . 3 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3	2	fdmi 6351	. 2 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
4		ax-mulf 10413	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5		mulid2 10436	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6		adddi 10422	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7		adddir 10428	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8		mulass 10421	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9		eqid 2771	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ = ⟨ + , · ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 28149	1 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2051  ⟨cop 4441   × cxp 5401  ℂcc 10331   + caddc 10336   · cmul 10338  CVec_OLDcvc 28127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-sub 10670  df-neg 10671  df-grpo 28062  df-ablo 28114  df-vc 28128

This theorem is referenced by:  cnnv  28246