Theorem cncvcOLD 30516

Description: Obsolete version of cncvs 25163. The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cncvcOLD	⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Proof of Theorem cncvcOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30514	. 2 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ax-addf 11237	. . 3 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3	2	fdmi 6739	. 2 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
4		ax-mulf 11238	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5		mullid 11263	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6		adddi 11247	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
7		adddir 11255	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
8		mulass 11246	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
9		eqid 2726	. 2 ⊢ ⟨ + , · ⟩ = ⟨ + , · ⟩
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 30513	1 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4639   × cxp 5680  ℂcc 11156   + caddc 11161   · cmul 11163  CVec_OLDcvc 30491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497  df-grpo 30426  df-ablo 30478  df-vc 30492

This theorem is referenced by:  cnnv  30610