Theorem expgrowth 45574

Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 45572 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 45572); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘_f · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘_f · is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 45572 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 45572.

Statements for this and expgrowthi 45572 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowth.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
expgrowth	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowth.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		cnelprrecn 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		expgrowth.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		recnprss 26268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	1, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	6	sseld 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ))
8		mulcl 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	syl6an 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
10	9	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
12	4	negcld 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14		efcl 16289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
16	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
17	7	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
20	1	dvmptid 26321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1))
21	1, 17, 19, 20, 4	dvmptcmul 26328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
22	4	mulridd 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
23	22	mpteq2dv 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
24	21, 23	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
25	1, 10, 16, 24	dvmptneg 26330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26		dvef 26344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = exp
27		eff 16288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
28		ffn 6737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ exp Fn ℂ
30		dffn5 6972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
31	29, 30	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
32	31	oveq2i 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
33	26, 32, 31	3eqtr3i 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))
36	1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35	dvmptco 26336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
37	36	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38		expgrowth.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
39		efcl 16289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
40	11, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
41	40, 13	mulcld 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
43	36	feq1d 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
44	42, 43	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45		mulcom 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
47	1, 38, 44, 46	caofcom 7760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
48	37, 47	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
49	48	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
50		fconst6g 6799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( -𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × { -𝐾}):𝑆⟶ℂ)
51	12, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × { -𝐾}):𝑆⟶ℂ)
52	40	fmpttd 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
53	1, 51, 52, 46	caofcom 7760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × { -𝐾})))
54		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))
55		fconstmpt 5718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 × { -𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × { -𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
57	1, 40, 13, 54, 56	offval2 7743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × { -𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
58	53, 57	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
59	58	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
60	59	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61		expgrowth.dy	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
62	36	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
64	63, 41	dmmptd 6712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
65	62, 64	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
66	1, 38, 52, 61, 65	dvmulf 26307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
67	49, 60, 66	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
68		ofmul12 45564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × { -𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
69	1, 38, 51, 52, 68	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
70	69	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
71	67, 70	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
72		oveq1 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))
73	72	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
74	71, 73	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
75		mulass 11325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
76	75	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
77	1, 51, 38, 52, 76	caofass 7763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
78	77	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
79	78	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))))
80	79	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))))
81	74, 80	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
82		mulcl 11321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
83	82	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84		fconst6g 6799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
85	4, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86		inidm 4126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
87	83, 85, 38, 1, 1, 86	off 7741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
88	83, 51, 38, 1, 1, 86	off 7741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89		adddir 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
90	89	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
91	1, 52, 87, 88, 90	caofdir 7766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
92	91	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))))
94	81, 93	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))
95		ofnegsub 12356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
96	1, 87, 87, 95	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
97		neg1cn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
98	97	fconst6 6800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 × { -1}):𝑆⟶ℂ
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × { -1}):𝑆⟶ℂ)
100	1, 99, 85, 38, 76	caofass 7763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × { -1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × { -1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
101	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
102	1, 101, 4	ofc12 7753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × { -1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {( -1 · 𝐾)}))
103	4	mulm1d 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ( -1 · 𝐾) = -𝐾)
104	103	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {( -1 · 𝐾)} = { -𝐾})
105	104	xpeq2d 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {( -1 · 𝐾)}) = (𝑆 × { -𝐾}))
106	102, 105	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × { -1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × { -𝐾}))
107	106	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × { -1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌))
108	100, 107	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × { -1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌))
109	108	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)))
110		ofsubid 45563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
111	1, 87, 110	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113	112	oveq1d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))
114	113	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
115	114	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × { -𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
116	94, 115	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))
117		0cnd 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118		mul02 11525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119	118	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
120	1, 52, 117, 117, 119	caofid2 7759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121	120	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122	116, 121	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
123	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
124	83, 38, 52, 1, 1, 86	off 7741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125	124	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126	122	dmeqd 5897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127		0cn 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
128	127	fconst6 6800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129	128	fdmi 6749	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130	126, 129	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131	123, 125, 130	dvconstbi 45573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132	122, 131	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133		oveq1 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))))
134		efne0 16305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
136	39, 134, 135	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
137	11, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138	137	fmpttd 7145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139		ofdivcan4 45566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
140	1, 38, 138, 139	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141	140	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
142	133, 141	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
143	142	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))))))
144		vex 3458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146		ovexd 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147		fconstmpt 5718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥))
149		efneg 16307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
150	10, 149	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151	150	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
152	1, 145, 146, 148, 151	offval2 7743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153	152	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154		efcl 16289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155		efne0 16305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156	154, 155	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
157	10, 156	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158		ax-1ne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 0
159	18, 158	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160		divdiv2 12067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161	159, 160	mp3an2 1479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162	157, 161	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
163	10, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166	165	div1d 12123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167	162, 166	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168	167	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169	168	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170	169	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171	153, 170	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172	171	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173	143, 172	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174	173	reximdva 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175	174	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘ -(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176	132, 175	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177	176	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
178	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
179	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182	178, 179, 180, 181	expgrowthi 45572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
183	182	3impb 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184		oveq2 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185		oveq2 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186	184, 185	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
187	186	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188	183, 187	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
189	188	rexlimdv3a 3171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
190	177, 189	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191		oveq2 7457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192	191	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193	192	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194	193	cbvmptv 5213	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195		oveq1 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196	195	mpteq2dv 5203	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197	194, 196	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198	197	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199	198	cbvrexvw 3245	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200	190, 199	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  dom cdm 5656   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∘_f cof 7721  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242   − cmin 11578   -cneg 11579   / cdiv 12011  expce 16268   D cdv 26227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-cmp 23749  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231

This theorem is used by: (None)