Theorem expgrowth 44331

Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 44329 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 44329); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘_f · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘_f · is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 44329 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 44329.

Statements for this and expgrowthi 44329 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowth.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
expgrowth	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowth.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		cnelprrecn 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		expgrowth.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		recnprss 25954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	6	sseld 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ))
8		mulcl 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	syl6an 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
10	9	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
12	4	negcld 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14		efcl 16115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
17	7	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
20	1	dvmptid 26010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1))
21	1, 17, 19, 20, 4	dvmptcmul 26017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
22	4	mulridd 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
23	22	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
24	21, 23	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
25	1, 10, 16, 24	dvmptneg 26019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26		dvef 26033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = exp
27		eff 16114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
28		ffn 6737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ exp Fn ℂ
30		dffn5 6967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
31	29, 30	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
32	31	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
33	26, 32, 31	3eqtr3i 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
36	1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35	dvmptco 26025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
37	36	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38		expgrowth.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
39		efcl 16115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
40	11, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
41	40, 13	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
43	36	feq1d 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
44	42, 43	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45		mulcom 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
47	1, 38, 44, 46	caofcom 7734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
48	37, 47	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
49	48	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
50		fconst6g 6798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
51	12, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
52	40	fmpttd 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
53	1, 51, 52, 46	caofcom 7734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})))
54		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
55		fconstmpt 5751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
57	1, 40, 13, 54, 56	offval2 7717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
58	53, 57	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
59	58	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
60	59	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61		expgrowth.dy	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
62	36	dmeqd 5919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
64	63, 41	dmmptd 6714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
65	62, 64	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
66	1, 38, 52, 61, 65	dvmulf 25995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
67	49, 60, 66	3eqtr4rd 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
68		ofmul12 44321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
69	1, 38, 51, 52, 68	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
70	69	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
71	67, 70	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
72		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
73	72	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
74	71, 73	sylan9eq 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
75		mulass 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
77	1, 51, 38, 52, 76	caofass 7736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
78	77	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
79	78	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
81	74, 80	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
82		mulcl 11237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84		fconst6g 6798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
85	4, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86		inidm 4235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
87	83, 85, 38, 1, 1, 86	off 7715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
88	83, 51, 38, 1, 1, 86	off 7715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89		adddir 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
91	1, 52, 87, 88, 90	caofdir 7739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
92	91	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
94	81, 93	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
95		ofnegsub 12262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
96	1, 87, 87, 95	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
97		neg1cn 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
98	97	fconst6 6799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
100	1, 99, 85, 38, 76	caofass 7736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
101	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
102	1, 101, 4	ofc12 7727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
103	4	mulm1d 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
104	103	sneqd 4643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
105	104	xpeq2d 5719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
106	102, 105	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
107	106	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
108	100, 107	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
109	108	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)))
110		ofsubid 44320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
111	1, 87, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113	112	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
114	113	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
115	114	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
116	94, 115	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
117		0cnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118		mul02 11437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
120	1, 52, 117, 117, 119	caofid2 7733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121	120	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122	116, 121	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
123	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
124	83, 38, 52, 1, 1, 86	off 7715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125	124	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126	122	dmeqd 5919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127		0cn 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
128	127	fconst6 6799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129	128	fdmi 6748	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130	126, 129	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131	123, 125, 130	dvconstbi 44330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132	122, 131	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
134		efne0 16130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
136	39, 134, 135	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
137	11, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138	137	fmpttd 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139		ofdivcan4 44323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
140	1, 38, 138, 139	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141	140	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
142	133, 141	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143	142	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144		vex 3482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146		ovexd 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147		fconstmpt 5751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥))
149		efneg 16131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
150	10, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151	150	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
152	1, 145, 146, 148, 151	offval2 7717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153	152	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154		efcl 16115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155		efne0 16130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156	154, 155	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
157	10, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158		ax-1ne0 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 0
159	18, 158	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160		divdiv2 11977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161	159, 160	mp3an2 1448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162	157, 161	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
163	10, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166	165	div1d 12033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167	162, 166	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168	167	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169	168	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170	169	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171	153, 170	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172	171	eqeq2d 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173	143, 172	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174	173	reximdva 3166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175	174	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176	132, 175	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177	176	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
178	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
179	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182	178, 179, 180, 181	expgrowthi 44329	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
183	182	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186	184, 185	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
187	186	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188	183, 187	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
189	188	rexlimdv3a 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
190	177, 189	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192	191	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193	192	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194	193	cbvmptv 5261	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196	195	mpteq2dv 5250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197	194, 196	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198	197	eqeq2d 2746	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199	198	cbvrexvw 3236	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200	190, 199	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  expce 16094   D cdv 25913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by: (None)