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Theorem expgrowth 39373
 Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 39371 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives. Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ. Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘𝑓 · is multiplication as a function operation. The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case. Statements for this and expgrowthi 39371 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
expgrowth (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5 recnprss 24074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
76sseld 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℂ))
8 mulcl 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
94, 7, 8syl6an 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
109imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
1110negcld 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
124negcld 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
1312adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14 efcl 15192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
164adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
177imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢𝑆) → 1 ∈ ℂ)
201dvmptid 24126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆𝑢)) = (𝑢𝑆 ↦ 1))
211, 17, 19, 20, 4dvmptcmul 24133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
224mulid1d 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
2322mpteq2dv 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢𝑆𝐾))
2421, 23eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆𝐾))
251, 10, 16, 24dvmptneg 24135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾))
26 dvef 24149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ D exp) = exp
27 eff 15191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 exp:ℂ⟶ℂ
28 ffn 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 exp Fn ℂ
30 dffn5 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3129, 30mpbi 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
3231oveq2i 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3326, 32, 313eqtr3i 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
361, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35dvmptco 24141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
3736oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
39 efcl 15192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
4140, 13mulcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
4241fmpttd 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
4336feq1d 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
4442, 43mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45 mulcom 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
4645adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
471, 38, 44, 46caofcom 7194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌))
4837, 47eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌))
4948oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌)))
50 fconst6g 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
5112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
5240fmpttd 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
531, 51, 52, 46caofcom 7194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 · (𝑆 × {-𝐾})))
54 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
55 fconstmpt 5402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾))
571, 40, 13, 54, 56offval2 7179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘𝑓 · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
5853, 57eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
5958oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
6059oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
6236dmeqd 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
6463, 41dmmptd 6261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
6562, 64eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
661, 38, 52, 61, 65dvmulf 24112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 · 𝑌)))
6749, 60, 663eqtr4rd 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
68 ofmul12 39363 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
691, 38, 51, 52, 68syl22anc 872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
7069oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (𝑌𝑓 · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7167, 70eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
72 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
7372oveq1d 6925 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7471, 73sylan9eq 2881 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
75 mulass 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7675adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
771, 51, 38, 52, 76caofass 7196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
7877oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7978eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
8079adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
8174, 80mpbird 249 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
82 mulcl 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8382adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84 fconst6g 6335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
854, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86 inidm 4049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑆) = 𝑆
8783, 85, 38, 1, 1, 86off 7177 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
8883, 51, 38, 1, 1, 86off 7177 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89 adddir 10354 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9089adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
911, 52, 87, 88, 90caofdir 7199 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
9291eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
9392adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
9481, 93mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
95 ofnegsub 11355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
961, 87, 87, 95syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
97 neg1cn 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
9897fconst6 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
1001, 99, 85, 38, 76caofass 7196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓 · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
10197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
1021, 101, 4ofc12 7187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
1034mulm1d 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
104103sneqd 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
105104xpeq2d 5376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
106102, 105eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
107106oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑆 × {𝐾})) ∘𝑓 · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
108100, 107eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
109108oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-1}) ∘𝑓 · ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
110 ofsubid 39362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
1111, 87, 110syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 − ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
11296, 109, 1113eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113112oveq1d 6925 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
114113eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
115114adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ∘𝑓 + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
11694, 115mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
117 0cnd 10356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118 mul02 10540 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119118adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
1201, 52, 117, 117, 119caofid2 7193 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121120adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122116, 121eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
1231adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
12483, 38, 52, 1, 1, 86off 7177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125124adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126122dmeqd 5562 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127 0cn 10355 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
128127fconst6 6336 . . . . . . . . 9 (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129128fdmi 6292 . . . . . . . 8 dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130126, 129syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131123, 125, 130dvconstbi 39372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132122, 131mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133 oveq1 6917 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
134 efne0 15206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135 eldifsn 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
13639, 134, 135sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13711, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138137fmpttd 6639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139 ofdivcan4 39365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
1401, 38, 138, 139syl3anc 1494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141140eqeq1d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
142133, 141syl5ib 236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143142adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144 vex 3417 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146 ovexd 6944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147 fconstmpt 5402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢𝑆𝑥)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢𝑆𝑥))
149 efneg 15207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
15010, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151150mpteq2dva 4969 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
1521, 145, 146, 148, 151offval2 7179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153152adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154 efcl 15192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155 efne0 15206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156154, 155jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
15710, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158 ax-1ne0 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 0
15918, 158pm3.2i 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160 divdiv2 11070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161159, 160mp3an2 1577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162157, 161sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
16310, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164 mulcl 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165163, 164sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166165div1d 11126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167162, 166eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168167ancoms 452 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169168an32s 642 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170169mpteq2dva 4969 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171153, 170eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172171eqeq2d 2835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘𝑓 / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173143, 172sylibd 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174173reximdva 3225 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175174adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176132, 175mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177176ex 403 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
1781adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1794adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180 simprl 787 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182178, 179, 180, 181expgrowthi 39371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
1831823impb 1147 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184 oveq2 6918 . . . . . . 7 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185 oveq2 6918 . . . . . . 7 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186184, 185eqeq12d 2840 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
1871863ad2ant3 1169 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188183, 187mpbird 249 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
189188rexlimdv3a 3242 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌)))
190177, 189impbid 204 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191 oveq2 6918 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192191fveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193192oveq2d 6926 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194193cbvmptv 4975 . . . . 5 (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195 oveq1 6917 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196195mpteq2dv 4970 . . . . 5 (𝑥 = 𝑐 → (𝑡𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197194, 196syl5eq 2873 . . . 4 (𝑥 = 𝑐 → (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198197eqeq2d 2835 . . 3 (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199198cbvrexv 3384 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200190, 199syl6bb 279 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4399  {cpr 4401   ↦ cmpt 4954   × cxp 5344  dom cdm 5346   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ∘𝑓 cof 7160  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   − cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  expce 15171   D cdv 24033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-cmp 21568  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037 This theorem is referenced by: (None)
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