Theorem expgrowth 44930

Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 44928 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 44928); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘_f · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘_f · is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 44928 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 44928.

Statements for this and expgrowthi 44928 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowth.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
expgrowth	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowth.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		cnelprrecn 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		expgrowth.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		recnprss 26028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	1, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	6	sseld 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ))
8		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	syl6an 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
10	9	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
12	4	negcld 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14		efcl 16132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
16	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
17	7	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
20	1	dvmptid 26081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1))
21	1, 17, 19, 20, 4	dvmptcmul 26088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
22	4	mulridd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
23	22	mpteq2dv 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
24	21, 23	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
25	1, 10, 16, 24	dvmptneg 26090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26		dvef 26104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = exp
27		eff 16131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
28		ffn 6703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ exp Fn ℂ
30		dffn5 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
31	29, 30	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
32	31	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
33	26, 32, 31	3eqtr3i 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
36	1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35	dvmptco 26096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
37	36	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38		expgrowth.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
39		efcl 16132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
40	11, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
41	40, 13	mulcld 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
43	36	feq1d 6685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
44	42, 43	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45		mulcom 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
47	1, 38, 44, 46	caofcom 7709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
48	37, 47	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
49	48	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
50		fconst6g 6765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
51	12, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
52	40	fmpttd 7108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
53	1, 51, 52, 46	caofcom 7709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})))
54		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
55		fconstmpt 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
57	1, 40, 13, 54, 56	offval2 7692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
58	53, 57	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
59	58	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
60	59	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61		expgrowth.dy	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
62	36	dmeqd 5893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
64	63, 41	dmmptd 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
65	62, 64	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
66	1, 38, 52, 61, 65	dvmulf 26067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
67	49, 60, 66	3eqtr4rd 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
68		ofmul12 44920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
69	1, 38, 51, 52, 68	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
70	69	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
71	67, 70	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
72		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
73	72	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
74	71, 73	sylan9eq 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
75		mulass 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
76	75	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
77	1, 51, 38, 52, 76	caofass 7712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
78	77	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
79	78	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
80	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
81	74, 80	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
82		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
83	82	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84		fconst6g 6765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
85	4, 84	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86		inidm 4187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
87	83, 85, 38, 1, 1, 86	off 7690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
88	83, 51, 38, 1, 1, 86	off 7690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89		adddir 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
90	89	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
91	1, 52, 87, 88, 90	caofdir 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
92	91	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
93	92	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
94	81, 93	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
95		ofnegsub 12212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
96	1, 87, 87, 95	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
97		neg1cn 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
98	97	fconst6 6766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
100	1, 99, 85, 38, 76	caofass 7712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
101	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
102	1, 101, 4	ofc12 7702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
103	4	mulm1d 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
104	103	sneqd 4603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
105	104	xpeq2d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
106	102, 105	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
107	106	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
108	100, 107	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
109	108	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)))
110		ofsubid 44919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
111	1, 87, 110	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113	112	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
114	113	eqeq2d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
115	114	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
116	94, 115	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
117		0cnd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118		mul02 11384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119	118	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
120	1, 52, 117, 117, 119	caofid2 7708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121	120	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122	116, 121	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
123	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
124	83, 38, 52, 1, 1, 86	off 7690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125	124	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126	122	dmeqd 5893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127		0cn 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
128	127	fconst6 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129	128	fdmi 6715	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130	126, 129	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131	123, 125, 130	dvconstbi 44929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132	122, 131	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133		oveq1 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
134		efne0 16148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
136	39, 134, 135	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
137	11, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138	137	fmpttd 7108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139		ofdivcan4 44922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
140	1, 38, 138, 139	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141	140	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
142	133, 141	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143	142	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144		vex 3467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146		ovexd 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147		fconstmpt 5721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥))
149		efneg 16150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
150	10, 149	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151	150	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
152	1, 145, 146, 148, 151	offval2 7692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153	152	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154		efcl 16132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155		efne0 16148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156	154, 155	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
157	10, 156	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158		ax-1ne0 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 0
159	18, 158	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160		divdiv2 11923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161	159, 160	mp3an2 1475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162	157, 161	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
163	10, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166	165	div1d 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167	162, 166	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168	167	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169	168	an32s 664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170	169	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171	153, 170	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172	171	eqeq2d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173	143, 172	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174	173	reximdva 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175	174	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176	132, 175	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177	176	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
178	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
179	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182	178, 179, 180, 181	expgrowthi 44928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
183	182	3impb 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186	184, 185	eqeq12d 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
187	186	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188	183, 187	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
189	188	rexlimdv3a 3176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
190	177, 189	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192	191	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193	192	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194	193	cbvmptv 5216	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196	195	mpteq2dv 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197	194, 196	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198	197	eqeq2d 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199	198	cbvrexvw 3250	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200	190, 199	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591  {cpr 4593   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  dom cdm 5659   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  -cneg 11438   / cdiv 11867  expce 16111   D cdv 25987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991

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