Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowth 43396
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 43394 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 43394); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant Ξ».

Here y' is given as (𝑆 D π‘Œ), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ). (𝑆 Γ— {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘f Β· is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 43394 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 43394.

Statements for this and expgrowthi 43394 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
expgrowth.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
expgrowth.y (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
expgrowth.dy (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
expgrowth (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑑   π‘Œ,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑐)   π‘Œ(𝑑)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnelprrecn 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
4 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5 recnprss 25653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
76sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ β„‚))
8 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚)
94, 7, 8syl6an 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚))
109imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚)
1110negcld 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ -(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚)
124negcld 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ -𝐾 ∈ β„‚)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ -𝐾 ∈ β„‚)
14 efcl 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
164adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
177imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
18 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ β„‚
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„‚)
201dvmptid 25709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 1))
211, 17, 19, 20, 4dvmptcmul 25716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)))
224mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 1) = 𝐾)
2322mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
2421, 23eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
251, 10, 16, 24dvmptneg 25718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26 dvef 25732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„‚ D exp) = exp
27 eff 16029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 exp:β„‚βŸΆβ„‚
28 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ exp Fn β„‚)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 exp Fn β„‚
30 dffn5 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (exp Fn β„‚ ↔ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3129, 30mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))
3231oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„‚ D exp) = (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3326, 32, 313eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
35 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -(𝐾 Β· 𝑒) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))
361, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35dvmptco 25724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
3736oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))))
38 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
39 efcl 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
4140, 13mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)):π‘†βŸΆβ„‚)
4336feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚ ↔ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)):π‘†βŸΆβ„‚))
4442, 43mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚)
45 mulcom 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑦 Β· π‘₯))
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑦 Β· π‘₯))
471, 38, 44, 46caofcom 7707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ))
4837, 47eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ))
4948oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ)))
50 fconst6g 6779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐾 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {-𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
5112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {-𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
5240fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆβ„‚)
531, 51, 52, 46caofcom 7707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) ∘f Β· (𝑆 Γ— {-𝐾})))
54 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))
55 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 Γ— {-𝐾}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {-𝐾}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
571, 40, 13, 54, 56offval2 7692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) ∘f Β· (𝑆 Γ— {-𝐾})) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
5853, 57eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
5958oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))))
6059oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))))
61 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
6236dmeqd 5904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = dom (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
63 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))
6463, 41dmmptd 6694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)) = 𝑆)
6562, 64eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = 𝑆)
661, 38, 52, 61, 65dvmulf 25694 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ)))
6749, 60, 663eqtr4rd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
68 ofmul12 43386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚) ∧ ((𝑆 Γ— {-𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
691, 38, 51, 52, 68syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
7069oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
7167, 70eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
72 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) β†’ ((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
7372oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
7471, 73sylan9eq 2790 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
75 mulass 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
7675adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
771, 51, 38, 52, 76caofass 7709 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
7877oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
7978eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))))
8079adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))))
8174, 80mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
82 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
8382adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
84 fconst6g 6779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
854, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
86 inidm 4217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
8783, 85, 38, 1, 1, 86off 7690 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚)
8883, 51, 38, 1, 1, 86off 7690 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚)
89 adddir 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
9089adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
911, 52, 87, 88, 90caofdir 7712 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
9291eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
9392adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
9481, 93mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
95 ofnegsub 12214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
961, 87, 87, 95syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
97 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ β„‚
9897fconst6 6780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 Γ— {-1}):π‘†βŸΆβ„‚
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {-1}):π‘†βŸΆβ„‚)
1001, 99, 85, 38, 76caofass 7709 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) ∘f Β· π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
10197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
1021, 101, 4ofc12 7700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) = (𝑆 Γ— {(-1 Β· 𝐾)}))
1034mulm1d 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (-1 Β· 𝐾) = -𝐾)
104103sneqd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ {(-1 Β· 𝐾)} = {-𝐾})
105104xpeq2d 5705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {(-1 Β· 𝐾)}) = (𝑆 Γ— {-𝐾}))
106102, 105eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) = (𝑆 Γ— {-𝐾}))
107106oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) ∘f Β· π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
108100, 107eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
109108oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
110 ofsubid 43385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = (𝑆 Γ— {0}))
1111, 87, 110syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = (𝑆 Γ— {0}))
11296, 109, 1113eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = (𝑆 Γ— {0}))
113112oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
114113eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
115114adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
11694, 115mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
117 0cnd 11211 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
118 mul02 11396 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
119118adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1201, 52, 117, 117, 119caofid2 7706 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {0}))
121120adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {0}))
122116, 121eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (𝑆 Γ— {0}))
1231adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
12483, 38, 52, 1, 1, 86off 7690 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚)
125124adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚)
126122dmeqd 5904 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = dom (𝑆 Γ— {0}))
127 0cn 11210 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
128127fconst6 6780 . . . . . . . . 9 (𝑆 Γ— {0}):π‘†βŸΆβ„‚
129128fdmi 6728 . . . . . . . 8 dom (𝑆 Γ— {0}) = 𝑆
130126, 129eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = 𝑆)
131123, 125, 130dvconstbi 43395 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
132122, 131mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
133 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
134 efne0 16044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)
135 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0))
13639, 134, 135sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
13711, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
138137fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
139 ofdivcan4 43388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = π‘Œ)
1401, 38, 138, 139syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = π‘Œ)
141140eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
142133, 141imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
143142adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
144 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ V)
146 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) ∈ V)
147 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 Γ— {π‘₯}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ π‘₯)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {π‘₯}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ π‘₯))
149 efneg 16045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) = (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
15010, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) = (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
151150mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
1521, 145, 146, 148, 151offval2 7692 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
153152adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
154 efcl 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
155 efne0 16044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)
156154, 155jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0))
15710, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0))
158 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 β‰  0
15918, 158pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0)
160 divdiv2 11930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) ∧ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1))
161159, 160mp3an2 1447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1))
162157, 161sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1))
16310, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
164 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) ∈ β„‚)
165163, 164sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) ∈ β„‚)
166165div1d 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
167162, 166eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
168167ancoms 457 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
169168an32s 648 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
170169mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
171153, 170eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
172171eqeq2d 2741 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
173143, 172sylibd 238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
174173reximdva 3166 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
175174adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
176132, 175mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
177176ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
1781adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1794adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
180 simprl 767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
181 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
182178, 179, 180, 181expgrowthi 43394 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
1831823impb 1113 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
184 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
185 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
186184, 185eqeq12d 2746 . . . . . 6 (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))))
1871863ad2ant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))))
188183, 187mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
189188rexlimdv3a 3157 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
190177, 189impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
191 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑑 β†’ (𝐾 Β· 𝑒) = (𝐾 Β· 𝑑))
192191fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑑 β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))
193192oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑑 β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
194193cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
195 oveq1 7418 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))) = (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
196195mpteq2dv 5249 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))))
197194, 196eqtrid 2782 . . . 4 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))))
198197eqeq2d 2741 . . 3 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))))
199198cbvrexvw 3233 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))))
200190, 199bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  expce 16009   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator