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Theorem expgrowth 44354
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 44352 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 44352); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and f · is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 44352 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 44352.

Statements for this and expgrowthi 44352 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
expgrowth (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5 recnprss 25939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
76sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℂ))
8 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
94, 7, 8syl6an 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
109imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
1110negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
124negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14 efcl 16118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
177imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢𝑆) → 1 ∈ ℂ)
201dvmptid 25995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆𝑢)) = (𝑢𝑆 ↦ 1))
211, 17, 19, 20, 4dvmptcmul 26002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
224mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
2322mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢𝑆𝐾))
2421, 23eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆𝐾))
251, 10, 16, 24dvmptneg 26004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾))
26 dvef 26018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ D exp) = exp
27 eff 16117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 exp:ℂ⟶ℂ
28 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 exp Fn ℂ
30 dffn5 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3129, 30mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
3231oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
3326, 32, 313eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
361, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35dvmptco 26010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
3736oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌f · (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌:𝑆⟶ℂ)
39 efcl 16118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
4140, 13mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
4241fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
4336feq1d 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
4442, 43mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45 mulcom 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
471, 38, 44, 46caofcom 7734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌f · (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
4837, 47eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
4948oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
50 fconst6g 6797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
5112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
5240fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
531, 51, 52, 46caofcom 7734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})))
54 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
55 fconstmpt 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢𝑆 ↦ -𝐾))
571, 40, 13, 54, 56offval2 7717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
5853, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
5958oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
6059oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
6236dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
6463, 41dmmptd 6713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑢𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
6562, 64eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
661, 38, 52, 61, 65dvmulf 25980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
6749, 60, 663eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
68 ofmul12 44344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
691, 38, 51, 52, 68syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
7069oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7167, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
72 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
7372oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7471, 73sylan9eq 2797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
75 mulass 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
771, 51, 38, 52, 76caofass 7737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
7877oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
7978eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
8174, 80mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
82 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84 fconst6g 6797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
854, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86 inidm 4227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑆) = 𝑆
8783, 85, 38, 1, 1, 86off 7715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
8883, 51, 38, 1, 1, 86off 7715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89 adddir 11252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
911, 52, 87, 88, 90caofdir 7740 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
9291eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
9392adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
9481, 93mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
95 ofnegsub 12264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
961, 87, 87, 95syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
97 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
9897fconst6 6798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
1001, 99, 85, 38, 76caofass 7737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
10197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
1021, 101, 4ofc12 7727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
1034mulm1d 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
104103sneqd 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
105104xpeq2d 5715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
106102, 105eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
107106oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
108100, 107eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
109108oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)))
110 ofsubid 44343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
1111, 87, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
11296, 109, 1113eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113112oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
114113eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
115114adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
11694, 115mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
117 0cnd 11254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118 mul02 11439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119118adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
1201, 52, 117, 117, 119caofid2 7733 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122116, 121eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
1231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
12483, 38, 52, 1, 1, 86off 7715 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126122dmeqd 5916 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127 0cn 11253 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
128127fconst6 6798 . . . . . . . . 9 (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129128fdmi 6747 . . . . . . . 8 dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130126, 129eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131123, 125, 130dvconstbi 44353 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132122, 131mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
134 efne0 16133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
13639, 134, 135sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13711, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138137fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139 ofdivcan4 44346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
1401, 38, 138, 139syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141140eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
142133, 141imbitrid 244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143142adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147 fconstmpt 5747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢𝑆𝑥)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢𝑆𝑥))
149 efneg 16134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
15010, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151150mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
1521, 145, 146, 148, 151offval2 7717 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153152adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154 efcl 16118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155 efne0 16133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156154, 155jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
15710, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 0
15918, 158pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160 divdiv2 11979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161159, 160mp3an2 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162157, 161sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
16310, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165163, 164sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166165div1d 12035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167162, 166eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑𝑢𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168167ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑢𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169168an32s 652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170169mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171153, 170eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172171eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173143, 172sylibd 239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174173reximdva 3168 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175174adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌f · (𝑢𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176132, 175mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177176ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
1781adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1794adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182178, 179, 180, 181expgrowthi 44352 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
1831823impb 1115 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186184, 185eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
1871863ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188183, 187mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
189188rexlimdv3a 3159 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
190177, 189impbid 212 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192191fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193192oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194193cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196195mpteq2dv 5244 . . . . 5 (𝑥 = 𝑐 → (𝑡𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197194, 196eqtrid 2789 . . . 4 (𝑥 = 𝑐 → (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198197eqeq2d 2748 . . 3 (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199198cbvrexvw 3238 . 2 (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200190, 199bitrdi 287 1 (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  expce 16097   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
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