Theorem expgrowth 44688

Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 44686 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 44686); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘_f · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘_f · is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 44686 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 44686.

Statements for this and expgrowthi 44686 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowth.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
expgrowth	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowth.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		cnelprrecn 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		expgrowth.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		recnprss 25873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	6	sseld 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ))
8		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	syl6an 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
10	9	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
12	4	negcld 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14		efcl 16017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
17	7	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
20	1	dvmptid 25929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1))
21	1, 17, 19, 20, 4	dvmptcmul 25936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
22	4	mulridd 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
23	22	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
24	21, 23	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
25	1, 10, 16, 24	dvmptneg 25938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26		dvef 25952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = exp
27		eff 16016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
28		ffn 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ exp Fn ℂ
30		dffn5 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
31	29, 30	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
32	31	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
33	26, 32, 31	3eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
36	1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35	dvmptco 25944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
37	36	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38		expgrowth.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
39		efcl 16017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
40	11, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
41	40, 13	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
43	36	feq1d 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
44	42, 43	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45		mulcom 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
47	1, 38, 44, 46	caofcom 7669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
48	37, 47	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
49	48	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
50		fconst6g 6731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
51	12, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
52	40	fmpttd 7069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
53	1, 51, 52, 46	caofcom 7669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})))
54		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
55		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
57	1, 40, 13, 54, 56	offval2 7652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
58	53, 57	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
59	58	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
60	59	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61		expgrowth.dy	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
62	36	dmeqd 5862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
64	63, 41	dmmptd 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
65	62, 64	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
66	1, 38, 52, 61, 65	dvmulf 25914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
67	49, 60, 66	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
68		ofmul12 44678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
69	1, 38, 51, 52, 68	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
70	69	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
71	67, 70	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
72		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
73	72	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
74	71, 73	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
75		mulass 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
77	1, 51, 38, 52, 76	caofass 7672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
78	77	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
79	78	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
81	74, 80	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
82		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84		fconst6g 6731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
85	4, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86		inidm 4181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
87	83, 85, 38, 1, 1, 86	off 7650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
88	83, 51, 38, 1, 1, 86	off 7650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89		adddir 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
91	1, 52, 87, 88, 90	caofdir 7675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
92	91	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
94	81, 93	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
95		ofnegsub 12155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
96	1, 87, 87, 95	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
97		neg1cn 12142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
98	97	fconst6 6732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
100	1, 99, 85, 38, 76	caofass 7672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
101	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
102	1, 101, 4	ofc12 7662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
103	4	mulm1d 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
104	103	sneqd 4594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
105	104	xpeq2d 5662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
106	102, 105	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
107	106	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
108	100, 107	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
109	108	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)))
110		ofsubid 44677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
111	1, 87, 110	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113	112	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
114	113	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
115	114	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
116	94, 115	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
117		0cnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118		mul02 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
120	1, 52, 117, 117, 119	caofid2 7668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121	120	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122	116, 121	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
123	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
124	83, 38, 52, 1, 1, 86	off 7650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125	124	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126	122	dmeqd 5862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127		0cn 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
128	127	fconst6 6732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129	128	fdmi 6681	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130	126, 129	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131	123, 125, 130	dvconstbi 44687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132	122, 131	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133		oveq1 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
134		efne0 16033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
136	39, 134, 135	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
137	11, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138	137	fmpttd 7069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139		ofdivcan4 44680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
140	1, 38, 138, 139	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141	140	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
142	133, 141	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143	142	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144		vex 3446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146		ovexd 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥))
149		efneg 16035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
150	10, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151	150	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
152	1, 145, 146, 148, 151	offval2 7652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153	152	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154		efcl 16017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155		efne0 16033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156	154, 155	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
157	10, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158		ax-1ne0 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 0
159	18, 158	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160		divdiv2 11865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161	159, 160	mp3an2 1452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162	157, 161	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
163	10, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166	165	div1d 11921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167	162, 166	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168	167	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169	168	an32s 653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170	169	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171	153, 170	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172	171	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173	143, 172	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174	173	reximdva 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175	174	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176	132, 175	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177	176	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
178	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
179	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182	178, 179, 180, 181	expgrowthi 44686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
183	182	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186	184, 185	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
187	186	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188	183, 187	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
189	188	rexlimdv3a 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
190	177, 189	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192	191	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193	192	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194	193	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196	195	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197	194, 196	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198	197	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199	198	cbvrexvw 3217	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200	190, 199	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  expce 15996   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

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