Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowth 43094
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 43092 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 43092); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant Ξ».

Here y' is given as (𝑆 D π‘Œ), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ). (𝑆 Γ— {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘f Β· is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 43092 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 43092.

Statements for this and expgrowthi 43092 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
expgrowth.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
expgrowth.y (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
expgrowth.dy (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
expgrowth (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑑   π‘Œ,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑐)   π‘Œ(𝑑)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnelprrecn 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
4 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
5 recnprss 25421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
76sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ β„‚))
8 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚)
94, 7, 8syl6an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ (𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚))
109imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚)
1110negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ -(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚)
124negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ -𝐾 ∈ β„‚)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ -𝐾 ∈ β„‚)
14 efcl 16026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
1514adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
164adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
177imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
18 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ β„‚
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„‚)
201dvmptid 25474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 1))
211, 17, 19, 20, 4dvmptcmul 25481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)))
224mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 1) = 𝐾)
2322mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
2421, 23eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
251, 10, 16, 24dvmptneg 25483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26 dvef 25497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„‚ D exp) = exp
27 eff 16025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 exp:β„‚βŸΆβ„‚
28 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ exp Fn β„‚)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 exp Fn β„‚
30 dffn5 6951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (exp Fn β„‚ ↔ exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3129, 30mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 exp = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))
3231oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„‚ D exp) = (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
3326, 32, 313eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘¦)))
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -(𝐾 Β· 𝑒) β†’ (expβ€˜π‘¦) = (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))
361, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35dvmptco 25489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
3736oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))))
38 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚)
39 efcl 16026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
4140, 13mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)):π‘†βŸΆβ„‚)
4336feq1d 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚ ↔ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)):π‘†βŸΆβ„‚))
4442, 43mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚)
45 mulcom 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑦 Β· π‘₯))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑦 Β· π‘₯))
471, 38, 44, 46caofcom 7705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ))
4837, 47eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ))
4948oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ)))
50 fconst6g 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐾 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {-𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
5112, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {-𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
5240fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆβ„‚)
531, 51, 52, 46caofcom 7705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) ∘f Β· (𝑆 Γ— {-𝐾})))
54 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))
55 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 Γ— {-𝐾}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {-𝐾}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
571, 40, 13, 54, 56offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) ∘f Β· (𝑆 Γ— {-𝐾})) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
5853, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
5958oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))))
6059oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))))
61 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D π‘Œ) = 𝑆)
6236dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = dom (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾))
6463, 41dmmptd 6696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) Β· -𝐾)) = 𝑆)
6562, 64eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = 𝑆)
661, 38, 52, 61, 65dvmulf 25460 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f Β· π‘Œ)))
6749, 60, 663eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
68 ofmul12 43084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚) ∧ ((𝑆 Γ— {-𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
691, 38, 51, 52, 68syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
7069oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (π‘Œ ∘f Β· ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
7167, 70eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
72 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) β†’ ((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
7372oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) β†’ (((𝑆 D π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
7471, 73sylan9eq 2793 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
75 mulass 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
7675adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
771, 51, 38, 52, 76caofass 7707 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
7877oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
7978eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))))
8079adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))))
8174, 80mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
82 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
84 fconst6g 6781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
854, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}):π‘†βŸΆβ„‚)
86 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
8783, 85, 38, 1, 1, 86off 7688 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚)
8883, 51, 38, 1, 1, 86off 7688 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚)
89 adddir 11205 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
9089adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
911, 52, 87, 88, 90caofdir 7710 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
9291eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
9392adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f + (((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))))
9481, 93mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
95 ofnegsub 12210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
961, 87, 87, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
97 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ β„‚
9897fconst6 6782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 Γ— {-1}):π‘†βŸΆβ„‚
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {-1}):π‘†βŸΆβ„‚)
1001, 99, 85, 38, 76caofass 7707 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) ∘f Β· π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
10197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„‚)
1021, 101, 4ofc12 7698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) = (𝑆 Γ— {(-1 Β· 𝐾)}))
1034mulm1d 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (-1 Β· 𝐾) = -𝐾)
104103sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ {(-1 Β· 𝐾)} = {-𝐾})
105104xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {(-1 Β· 𝐾)}) = (𝑆 Γ— {-𝐾}))
106102, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) = (𝑆 Γ— {-𝐾}))
107106oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· (𝑆 Γ— {𝐾})) ∘f Β· π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
108100, 107eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
109108oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-1}) ∘f Β· ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))) = (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
110 ofsubid 43083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ):π‘†βŸΆβ„‚) β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = (𝑆 Γ— {0}))
1111, 87, 110syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f βˆ’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = (𝑆 Γ— {0}))
11296, 109, 1113eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) = (𝑆 Γ— {0}))
113112oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
114113eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
115114adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ∘f + ((𝑆 Γ— {-𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
11694, 115mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
117 0cnd 11207 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
118 mul02 11392 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
119118adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1201, 52, 117, 117, 119caofid2 7704 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {0}))
121120adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 Γ— {0}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {0}))
122116, 121eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (𝑆 Γ— {0}))
1231adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
12483, 38, 52, 1, 1, 86off 7688 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚)
125124adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))):π‘†βŸΆβ„‚)
126122dmeqd 5906 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = dom (𝑆 Γ— {0}))
127 0cn 11206 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
128127fconst6 6782 . . . . . . . . 9 (𝑆 Γ— {0}):π‘†βŸΆβ„‚
129128fdmi 6730 . . . . . . . 8 dom (𝑆 Γ— {0}) = 𝑆
130126, 129eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ dom (𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = 𝑆)
131123, 125, 130dvconstbi 43093 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑆 D (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))) = (𝑆 Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯})))
132122, 131mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}))
133 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))))
134 efne0 16040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)
135 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0))
13639, 134, 135sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
13711, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
138137fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
139 ofdivcan4 43086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘Œ:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))):π‘†βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = π‘Œ)
1401, 38, 138, 139syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = π‘Œ)
141140eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
142133, 141imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
143142adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))))))
144 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ V)
146 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) ∈ V)
147 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 Γ— {π‘₯}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ π‘₯)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {π‘₯}) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ π‘₯))
149 efneg 16041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) = (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
15010, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)) = (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
151150mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
1521, 145, 146, 148, 151offval2 7690 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
153152adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
154 efcl 16026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
155 efne0 16040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)
156154, 155jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 Β· 𝑒) ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0))
15710, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0))
158 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 β‰  0
15918, 158pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0)
160 divdiv2 11926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) ∧ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1))
161159, 160mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) β‰  0)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1))
162157, 161sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1))
16310, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚)
164 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) ∈ β„‚)
165163, 164sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) ∈ β„‚)
166165div1d 11982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) / 1) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
167162, 166eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
168167ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
169168an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
170169mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ / (1 / (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
171153, 170eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
172171eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘Œ = ((𝑆 Γ— {π‘₯}) ∘f / (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
173143, 172sylibd 238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
174173reximdva 3169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
175174adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ (π‘Œ ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜-(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑆 Γ— {π‘₯}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
176132, 175mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))
177176ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
1781adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1794adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
180 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
181 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))
182178, 179, 180, 181expgrowthi 43092 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))) β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
1831823impb 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) β†’ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
184 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
185 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
186184, 185eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))))
1871863ad2ant3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ (𝑆 D (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))))))
188183, 187mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
189188rexlimdv3a 3160 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ)))
190177, 189impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))))))
191 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑑 β†’ (𝐾 Β· 𝑒) = (𝐾 Β· 𝑑))
192191fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑑 β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))
193192oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑑 β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒))) = (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
194193cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
195 oveq1 7416 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))) = (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
196195mpteq2dv 5251 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))) = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))))
197194, 196eqtrid 2785 . . . 4 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))))
198197eqeq2d 2744 . . 3 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))))
199198cbvrexvw 3236 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑒 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑒)))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))))
200190, 199bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„‚ π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  expce 16005   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator