Theorem expgrowth 44318

Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 44316 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model 44316); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as (𝑆 D 𝑌), C as 𝑐, and ky as ((𝑆 × {𝐾}) ∘_f · 𝑌). (𝑆 × {𝐾}) is the constant function that maps any real or complex input to k and ∘_f · is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf 44316 pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case 44316.

Statements for this and expgrowthi 44316 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowth.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowth.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowth.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
expgrowth.dy	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
expgrowth	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝐾   𝑆,𝑐,𝑡   𝑌,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑐)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowth

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowth.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		cnelprrecn 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4		expgrowth.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		recnprss 25803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	6	sseld 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℂ))
8		mulcl 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	syl6an 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ))
10	9	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
11	10	negcld 11462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ)
12	4	negcld 11462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → -𝐾 ∈ ℂ)
14		efcl 15989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
16	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
17	7	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
20	1	dvmptid 25859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 1))
21	1, 17, 19, 20, 4	dvmptcmul 25866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
22	4	mulridd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
23	22	mpteq2dv 5186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
24	21, 23	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
25	1, 10, 16, 24	dvmptneg 25868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
26		dvef 25882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = exp
27		eff 15988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
28		ffn 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ exp Fn ℂ
30		dffn5 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
31	29, 30	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
32	31	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
33	26, 32, 31	3eqtr3i 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
35		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = -(𝐾 · 𝑢) → (exp‘𝑦) = (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))
36	1, 3, 11, 13, 15, 15, 25, 34, 35, 35	dvmptco 25874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
37	36	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
38		expgrowth.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑆⟶ℂ)
39		efcl 15989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
40	11, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
41	40, 13	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ)
43	36	feq1d 6634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ ↔ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)):𝑆⟶ℂ))
44	42, 43	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
45		mulcom 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
47	1, 38, 44, 46	caofcom 7650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
48	37, 47	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))) = ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌))
49	48	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
50		fconst6g 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
51	12, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ)
52	40	fmpttd 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)
53	1, 51, 52, 46	caofcom 7650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})))
54		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))
55		fconstmpt 5681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-𝐾}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ -𝐾))
57	1, 40, 13, 54, 56	offval2 7633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) ∘f · (𝑆 × {-𝐾})) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
58	53, 57	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
59	58	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))))
60	59	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))))
61		expgrowth.dy	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝑌) = 𝑆)
62	36	dmeqd 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)))
63		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾))
64	63, 41	dmmptd 6627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → dom (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) · -𝐾)) = 𝑆)
65	62, 64	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑆)
66	1, 38, 52, 61, 65	dvmulf 25844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f · 𝑌)))
67	49, 60, 66	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
68		ofmul12 44308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ) ∧ ((𝑆 × {-𝐾}):𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶ℂ)) → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
69	1, 38, 51, 52, 68	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
70	69	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (𝑌 ∘f · ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
71	67, 70	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
72		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
73	72	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → (((𝑆 D 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
74	71, 73	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
75		mulass 11097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
77	1, 51, 38, 52, 76	caofass 7653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
78	77	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
79	78	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))))
81	74, 80	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
82		mulcl 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
84		fconst6g 6713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
85	4, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}):𝑆⟶ℂ)
86		inidm 4178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑆) = 𝑆
87	83, 85, 38, 1, 1, 86	off 7631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
88	83, 51, 38, 1, 1, 86	off 7631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ)
89		adddir 11106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
91	1, 52, 87, 88, 90	caofdir 7656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
92	91	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f + (((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))))
94	81, 93	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
95		ofnegsub 12126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
96	1, 87, 87, 95	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
97		neg1cn 12113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
98	97	fconst6 6714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {-1}):𝑆⟶ℂ)
100	1, 99, 85, 38, 76	caofass 7653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
101	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
102	1, 101, 4	ofc12 7643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}))
103	4	mulm1d 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐾) = -𝐾)
104	103	sneqd 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {(-1 · 𝐾)} = {-𝐾})
105	104	xpeq2d 5649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {(-1 · 𝐾)}) = (𝑆 × {-𝐾}))
106	102, 105	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) = (𝑆 × {-𝐾}))
107	106	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {-1}) ∘f · (𝑆 × {𝐾})) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
108	100, 107	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌))
109	108	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-1}) ∘f · ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))) = (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)))
110		ofsubid 44307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌):𝑆⟶ℂ) → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
111	1, 87, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f − ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) = (𝑆 × {0}))
113	112	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
114	113	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
115	114	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ∘f + ((𝑆 × {-𝐾}) ∘f · 𝑌)) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
116	94, 115	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
117		0cnd 11108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
118		mul02 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
120	1, 52, 117, 117, 119	caofid2 7649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
121	120	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 × {0}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {0}))
122	116, 121	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}))
123	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
124	83, 38, 52, 1, 1, 86	off 7631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
125	124	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))):𝑆⟶ℂ)
126	122	dmeqd 5848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = dom (𝑆 × {0}))
127		0cn 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
128	127	fconst6 6714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 × {0}):𝑆⟶ℂ
129	128	fdmi 6663	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑆 × {0}) = 𝑆
130	126, 129	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → dom (𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = 𝑆)
131	123, 125, 130	dvconstbi 44317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ((𝑆 D (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑆 × {0}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥})))
132	122, 131	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}))
133		oveq1 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))))
134		efne0 16005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
135		eldifsn 4737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
136	39, 134, 135	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
137	11, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
138	137	fmpttd 7049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0}))
139		ofdivcan4 44310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑌:𝑆⟶ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))):𝑆⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
140	1, 38, 138, 139	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = 𝑌)
141	140	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
142	133, 141	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
143	142	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))))))
144		vex 3440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ V)
146		ovexd 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ V)
147		fconstmpt 5681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝑥}) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥))
149		efneg 16007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
150	10, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘-(𝐾 · 𝑢)) = (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
151	150	mpteq2dva 5185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
152	1, 145, 146, 148, 151	offval2 7633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
153	152	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
154		efcl 15989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
155		efne0 16005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)
156	154, 155	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 · 𝑢) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
157	10, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0))
158		ax-1ne0 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 0
159	18, 158	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
160		divdiv2 11836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
161	159, 160	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ≠ 0)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
162	157, 161	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1))
163	10, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑢)) ∈ ℂ) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
165	163, 164	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) ∈ ℂ)
166	165	div1d 11892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) / 1) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
167	162, 166	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
168	167	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
169	168	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
170	169	mpteq2dva 5185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 / (1 / (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
171	153, 170	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
172	171	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑌 = ((𝑆 × {𝑥}) ∘f / (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
173	143, 172	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
174	173	reximdva 3142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
175	174	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝑌 ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘-(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑆 × {𝑥}) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
176	132, 175	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))
177	176	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
178	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
179	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝐾 ∈ ℂ)
180		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → 𝑥 ∈ ℂ)
181		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))
182	178, 179, 180, 181	expgrowthi 44316	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
183	182	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
184		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
185		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
186	184, 185	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
187	186	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ (𝑆 D (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))))))
188	183, 187	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
189	188	rexlimdv3a 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌)))
190	177, 189	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))))))
191		oveq2 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝐾 · 𝑢) = (𝐾 · 𝑡))
192	191	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (exp‘(𝐾 · 𝑢)) = (exp‘(𝐾 · 𝑡)))
193	192	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢))) = (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
194	193	cbvmptv 5196	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
195		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
196	195	mpteq2dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
197	194, 196	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
198	197	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))
199	198	cbvrexvw 3208	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑢 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥 · (exp‘(𝐾 · 𝑢)))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))))
200	190, 199	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) ↔ ∃𝑐 ∈ ℂ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝑐 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577  {cpr 4579   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  dom cdm 5619   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  expce 15968   D cdv 25762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766

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