Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem11 28722
 Description: Lemma for ipassi 28723. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a 𝐴𝑋
ipasslem11.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem11 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem11
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10676 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 ax-icn 10634 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10665 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4 mulcom 10661 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
52, 3, 4sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
76oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑦 · i)))
87eqeq2d 2769 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i))))
9 recn 10665 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1110phnvi 28698 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
12 ipasslem11.a . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1513, 14nvscl 28508 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1611, 12, 15mp3an13 1449 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18 mulcl 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
193, 2, 18sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
2013, 14nvscl 28508 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2111, 12, 20mp3an13 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · i) ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23 ipasslem11.b . . . . . . . . 9 𝐵𝑋
24 ip1i.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
25 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2613, 24, 14, 25, 10ipdiri 28712 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2723, 26mp3an3 1447 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2817, 22, 27syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2913, 24, 14, 25, 10, 12, 23ipasslem9 28720 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
3013, 14nvscl 28508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
3111, 2, 12, 30mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
3213, 24, 14, 25, 10, 31, 23ipasslem9 28720 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3313, 14nvsass 28510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3411, 33mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
352, 12, 34mp3an23 1450 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵))
3813, 25dipcl 28594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3911, 12, 23, 38mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
40 mulass 10663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
412, 39, 40mp3an23 1450 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
43 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4413, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43ipasslem10 28721 . . . . . . . . . . 11 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
4544oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵)))
4642, 45eqtr4di 2811 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4732, 37, 463eqtr4d 2803 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)))
4829, 47oveqan12d 7169 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
4928, 48eqtrd 2793 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5013, 24, 14nvdir 28513 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5111, 50mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5212, 51mp3an3 1447 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
539, 19, 52syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5453oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
55 adddir 10670 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5639, 55mp3an3 1447 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
579, 19, 56syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5849, 54, 573eqtr4d 2803 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
59 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴))
6059oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵))
61 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
6260, 61eqeq12d 2774 . . . . 5 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵))))
6358, 62syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
648, 63sylbid 243 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
6564rexlimivv 3216 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
661, 65syl 17 1 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  ici 10577   + caddc 10578   · cmul 10580  NrmCVeccnv 28466   +𝑣 cpv 28467  BaseSetcba 28468   ·𝑠OLD cns 28469  normCVcnmcv 28472  ·𝑖OLDcdip 28582  CPreHilOLDccphlo 28694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-t1 22014  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-grpo 28375  df-gid 28376  df-ginv 28377  df-gdiv 28378  df-ablo 28427  df-vc 28441  df-nv 28474  df-va 28477  df-ba 28478  df-sm 28479  df-0v 28480  df-vs 28481  df-nmcv 28482  df-ims 28483  df-dip 28583  df-ph 28695 This theorem is referenced by:  ipassi  28723
 Copyright terms: Public domain W3C validator