MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem11 30080
Description: Lemma for ipassi 30081. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem11.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem11 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem11
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11207 . 2 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
2 ax-icn 11165 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 recn 11196 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4 mulcom 11192 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝑦) = (𝑦 Β· i))
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝑦) = (𝑦 Β· i))
65adantl 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (i Β· 𝑦) = (𝑦 Β· i))
76oveq2d 7421 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)))
87eqeq2d 2743 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) ↔ 𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i))))
9 recn 11196 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
1110phnvi 30056 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
12 ipasslem11.a . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ 𝑋
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
14 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1513, 14nvscl 29866 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1611, 12, 15mp3an13 1452 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18 mulcl 11190 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚)
193, 2, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚)
2013, 14nvscl 29866 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2111, 12, 20mp3an13 1452 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Β· i) ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23 ipasslem11.b . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ 𝑋
24 ip1i.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
25 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
2613, 24, 14, 25, 10ipdiri 30070 . . . . . . . . 9 (((π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
2723, 26mp3an3 1450 . . . . . . . 8 (((π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
2817, 22, 27syl2an 596 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
2913, 24, 14, 25, 10, 12, 23ipasslem9 30078 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3013, 14nvscl 29866 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
3111, 2, 12, 30mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
3213, 24, 14, 25, 10, 31, 23ipasslem9 30078 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑦 Β· ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3313, 14nvsass 29868 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3411, 33mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
352, 12, 34mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐡))
3813, 25dipcl 29952 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
3911, 12, 23, 38mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
40 mulass 11194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡))))
412, 39, 40mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡))))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡))))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4413, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43ipasslem10 30079 . . . . . . . . . . 11 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (i Β· (𝐴𝑃𝐡))
4544oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Β· ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4642, 45eqtr4di 2790 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4732, 37, 463eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4829, 47oveqan12d 7424 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4928, 48eqtrd 2772 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5013, 24, 14nvdir 29871 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
5111, 50mpan 688 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
5212, 51mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
539, 19, 52syl2an 596 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
5453oveq1d 7420 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡))
55 adddir 11201 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5639, 55mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
579, 19, 56syl2an 596 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5849, 54, 573eqtr4d 2782 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
59 oveq1 7412 . . . . . . 7 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ (𝐢𝑆𝐴) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴))
6059oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡))
61 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
6260, 61eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6358, 62syl5ibrcom 246 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
648, 63sylbid 239 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6564rexlimivv 3199 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
661, 65syl 17 1 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  Β·π‘–OLDcdip 29940  CPreHilOLDccphlo 30052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-t1 22809  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ph 30053
This theorem is referenced by:  ipassi  30081
  Copyright terms: Public domain W3C validator