MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem11 28550
Description: Lemma for ipassi 28551. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a 𝐴𝑋
ipasslem11.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem11 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem11
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10632 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 ax-icn 10590 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10621 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4 mulcom 10617 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
76oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑦 · i)))
87eqeq2d 2837 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i))))
9 recn 10621 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1110phnvi 28526 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
12 ipasslem11.a . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1513, 14nvscl 28336 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1611, 12, 15mp3an13 1445 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18 mulcl 10615 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
193, 2, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
2013, 14nvscl 28336 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2111, 12, 20mp3an13 1445 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · i) ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23 ipasslem11.b . . . . . . . . 9 𝐵𝑋
24 ip1i.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
25 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2613, 24, 14, 25, 10ipdiri 28540 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2723, 26mp3an3 1443 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2817, 22, 27syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
2913, 24, 14, 25, 10, 12, 23ipasslem9 28548 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
3013, 14nvscl 28336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
3111, 2, 12, 30mp3an 1454 . . . . . . . . . 10 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
3213, 24, 14, 25, 10, 31, 23ipasslem9 28548 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3313, 14nvsass 28338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3411, 33mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
352, 12, 34mp3an23 1446 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵))
3813, 25dipcl 28422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3911, 12, 23, 38mp3an 1454 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
40 mulass 10619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
412, 39, 40mp3an23 1446 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
43 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4413, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43ipasslem10 28549 . . . . . . . . . . 11 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
4544oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵)))
4642, 45syl6eqr 2879 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4732, 37, 463eqtr4d 2871 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)))
4829, 47oveqan12d 7169 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
4928, 48eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5013, 24, 14nvdir 28341 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5111, 50mpan 686 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5212, 51mp3an3 1443 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
539, 19, 52syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
5453oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
55 adddir 10626 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5639, 55mp3an3 1443 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
579, 19, 56syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
5849, 54, 573eqtr4d 2871 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
59 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴))
6059oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵))
61 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
6260, 61eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵))))
6358, 62syl5ibrcom 248 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
648, 63sylbid 241 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
6564rexlimivv 3297 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
661, 65syl 17 1 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  NrmCVeccnv 28294   +𝑣 cpv 28295  BaseSetcba 28296   ·𝑠OLD cns 28297  normCVcnmcv 28300  ·𝑖OLDcdip 28410  CPreHilOLDccphlo 28522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-t1 21857  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ginv 28205  df-gdiv 28206  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-va 28305  df-ba 28306  df-sm 28307  df-0v 28308  df-vs 28309  df-nmcv 28310  df-ims 28311  df-dip 28411  df-ph 28523
This theorem is referenced by:  ipassi  28551
  Copyright terms: Public domain W3C validator