Theorem ipasslem11 30930

Description: Lemma for ipassi 30931. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem11.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem11	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11133	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		ax-icn 11089	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4		mulcom 11116	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
5	2, 3, 4	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = (𝑦 · i))
7	6	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (𝑦 · i)))
8	7	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i))))
9		recn 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
11	10	phnvi 30906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
12		ipasslem11.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
13		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
14		ip1i.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
15	13, 14	nvscl 30716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	11, 12, 15	mp3an13 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18		mulcl 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
19	3, 2, 18	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · i) ∈ ℂ)
20	13, 14	nvscl 30716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
21	11, 12, 20	mp3an13 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · i) ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23		ipasslem11.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
24		ip1i.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
25		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
26	13, 24, 14, 25, 10	ipdiri 30920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
27	23, 26	mp3an3 1458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 · i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
28	17, 22, 27	syl2an 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
29	13, 24, 14, 25, 10, 12, 23	ipasslem9 30928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
30	13, 14	nvscl 30716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
31	11, 2, 12, 30	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
32	13, 24, 14, 25, 10, 31, 23	ipasslem9 30928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
33	13, 14	nvsass 30718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
34	11, 33	mpan 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
35	2, 12, 34	mp3an23 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
36	3, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
37	36	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐵))
38	13, 25	dipcl 30802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
39	11, 12, 23, 38	mp3an 1469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
40		mulass 11118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
41	2, 39, 40	mp3an23 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵))))
43		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
44	13, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43	ipasslem10 30929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
45	44	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑦 · (i · (𝐴𝑃𝐵)))
46	42, 45	eqtr4di 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑦 · ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
47	32, 37, 46	3eqtr4d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵)))
48	29, 47	oveqan12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) + (((𝑦 · i)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
49	28, 48	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
50	13, 24, 14	nvdir 30721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
51	11, 50	mpan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
52	12, 51	mp3an3 1458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
53	9, 19, 52	syl2an 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴) = ((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴)))
54	53	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥𝑆𝐴)𝐺((𝑦 · i)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
55		adddir 11127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
56	39, 55	mp3an3 1458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · i) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
57	9, 19, 56	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)) + ((𝑦 · i) · (𝐴𝑃𝐵))))
58	49, 54, 57	3eqtr4d 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
59		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴))
60	59	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵))
61		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵)))
62	60, 61	eqeq12d 2755	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑥 + (𝑦 · i))𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥 + (𝑦 · i)) · (𝐴𝑃𝐵))))
63	58, 62	syl5ibrcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (𝑦 · i)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
64	8, 63	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
65	64	rexlimivv 3181	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
66	1, 65	syl 17	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  ici 11032   + caddc 11033   · cmul 11035  NrmCVeccnv 30674   +_𝑣 cpv 30675  BaseSetcba 30676   ·_𝑠OLD cns 30677  norm_CVcnmcv 30680  ·_𝑖OLDcdip 30790  CPreHil_OLDccphlo 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-sum 15641  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-t1 23298  df-haus 23299  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-gdiv 30586  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-vs 30689  df-nmcv 30690  df-ims 30691  df-dip 30791  df-ph 30903

This theorem is referenced by:  ipassi  30931