MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem11 30562
Description: Lemma for ipassi 30563. Show the inner product associative law for all complex numbers. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem11.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem11.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem11 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem11
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11208 . 2 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
2 ax-icn 11165 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 recn 11196 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4 mulcom 11192 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝑦) = (𝑦 Β· i))
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝑦) = (𝑦 Β· i))
65adantl 481 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (i Β· 𝑦) = (𝑦 Β· i))
76oveq2d 7417 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)))
87eqeq2d 2735 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) ↔ 𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i))))
9 recn 11196 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
1110phnvi 30538 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
12 ipasslem11.a . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ 𝑋
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
14 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1513, 14nvscl 30348 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1611, 12, 15mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
179, 16syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18 mulcl 11190 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚)
193, 2, 18sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚)
2013, 14nvscl 30348 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2111, 12, 20mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Β· i) ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2219, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23 ipasslem11.b . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ 𝑋
24 ip1i.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
25 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
2613, 24, 14, 25, 10ipdiri 30552 . . . . . . . . 9 (((π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
2723, 26mp3an3 1446 . . . . . . . 8 (((π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
2817, 22, 27syl2an 595 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
2913, 24, 14, 25, 10, 12, 23ipasslem9 30560 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3013, 14nvscl 30348 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
3111, 2, 12, 30mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
3213, 24, 14, 25, 10, 31, 23ipasslem9 30560 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑦 Β· ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3313, 14nvsass 30350 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3411, 33mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
352, 12, 34mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i)𝑆𝐴) = (𝑦𝑆(i𝑆𝐴)))
3736oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑦𝑆(i𝑆𝐴))𝑃𝐡))
3813, 25dipcl 30434 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
3911, 12, 23, 38mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
40 mulass 11194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡))))
412, 39, 40mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡))))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡))))
43 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4413, 24, 14, 25, 10, 12, 23, 43ipasslem10 30561 . . . . . . . . . . 11 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (i Β· (𝐴𝑃𝐡))
4544oveq2i 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Β· ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· (i Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4642, 45eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑦 Β· ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4732, 37, 463eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4829, 47oveqan12d 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) + (((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4928, 48eqtrd 2764 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5013, 24, 14nvdir 30353 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
5111, 50mpan 687 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
5212, 51mp3an3 1446 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
539, 19, 52syl2an 595 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴)))
5453oveq1d 7416 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝐺((𝑦 Β· i)𝑆𝐴))𝑃𝐡))
55 adddir 11202 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5639, 55mp3an3 1446 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑦 Β· i) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
579, 19, 56syl2an 595 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)) + ((𝑦 Β· i) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5849, 54, 573eqtr4d 2774 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
59 oveq1 7408 . . . . . . 7 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ (𝐢𝑆𝐴) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴))
6059oveq1d 7416 . . . . . 6 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡))
61 oveq1 7408 . . . . . 6 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
6260, 61eqeq12d 2740 . . . . 5 (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ (((π‘₯ + (𝑦 Β· i))𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘₯ + (𝑦 Β· i)) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6358, 62syl5ibrcom 246 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 = (π‘₯ + (𝑦 Β· i)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
648, 63sylbid 239 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6564rexlimivv 3191 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ 𝐢 = (π‘₯ + (i Β· 𝑦)) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
661, 65syl 17 1 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111  NrmCVeccnv 30306   +𝑣 cpv 30307  BaseSetcba 30308   ·𝑠OLD cns 30309  normCVcnmcv 30312  Β·π‘–OLDcdip 30422  CPreHilOLDccphlo 30534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-t1 23140  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-gdiv 30218  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-vs 30321  df-nmcv 30322  df-ims 30323  df-dip 30423  df-ph 30535
This theorem is referenced by:  ipassi  30563
  Copyright terms: Public domain W3C validator