Theorem ser1const 14047

Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ser1const	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem ser1const

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1))
2		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
3	1, 2	eqeq12d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))))
5		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴))))
9		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
10		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
11	9, 10	eqeq12d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
13		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	13, 14	eqeq12d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))))
17		1z 12614	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
18		1nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fvconst2g 7208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
20	18, 19	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
21		mullid 11235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	20, 21	eqtr4d 2770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = (1 · 𝐴))
23	17, 22	seq1i 14004	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))
24		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
25		seqp1 14005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
26		nnuz 12887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleq2s 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
29		peano2nn 12246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30		fvconst2g 7208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
31	29, 30	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
32	31	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
33	28, 32	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
34		nncn 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
35		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		adddir 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
38	36, 37	mp3an2 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
39	34, 35, 38	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
40	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
41	40	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
42	39, 41	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
43	33, 42	eqeq12d 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴) ↔ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
44	24, 43	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
45	44	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
46	45	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
47	4, 8, 12, 16, 23, 46	nnind 12252	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
48	47	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135  ℕcn 12234  ℤ_≥cuz 12844  seqcseq 13990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991

This theorem is referenced by:  fsumconst  15760  vitalilem4  25527  ovoliunnfl  37070  voliunnfl  37072