MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser1const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ser1const 14028
Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
ser1const ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))

Proof of Theorem ser1const
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1))
2 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
31, 2eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘— = 1 โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด)))
43imbi2d 339 . . 3 (๐‘— = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))))
5 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜))
6 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (๐‘˜ ยท ๐ด))
75, 6eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด)))
87imbi2d 339 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด))))
9 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)))
10 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))
119, 10eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด)))
1211imbi2d 339 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
13 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
14 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
1513, 14eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด)))
1615imbi2d 339 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))))
17 1z 12596 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
18 1nn 12227 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
19 fvconst2g 7204 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = ๐ด)
2018, 19mpan2 687 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = ๐ด)
21 mullid 11217 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2220, 21eqtr4d 2773 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
2317, 22seq1i 13984 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
24 oveq1 7418 . . . . . 6 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
25 seqp1 13985 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
26 nnuz 12869 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2725, 26eleq2s 2849 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
2827adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
29 peano2nn 12228 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
30 fvconst2g 7204 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ๐ด)
3129, 30sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ๐ด)
3231oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด))
3328, 32eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด))
34 nncn 12224 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
35 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
37 adddir 11209 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
3836, 37mp3an2 1447 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
3934, 35, 38syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
4021adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4140oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
4239, 41eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
4333, 42eqeq12d 2746 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) โ†” ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด)))
4424, 43imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด)))
4544expcom 412 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
4645a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
474, 8, 12, 16, 23, 46nnind 12234 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด)))
4847impcom 406 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {csn 4627   ร— cxp 5673  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„คโ‰ฅcuz 12826  seqcseq 13970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971
This theorem is referenced by:  fsumconst  15740  vitalilem4  25360  ovoliunnfl  36833  voliunnfl  36835
  Copyright terms: Public domain W3C validator