Theorem ser1const 13789

Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ser1const	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem ser1const

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1))
2		oveq1 7274	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
3	1, 2	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴)))
4	3	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))))
5		fveq2 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6		oveq1 7274	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)))
8	7	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴))))
9		fveq2 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
10		oveq1 7274	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
11	9, 10	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
13		fveq2 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14		oveq1 7274	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	13, 14	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
16	15	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))))
17		1z 12360	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
18		1nn 11994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fvconst2g 7069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
20	18, 19	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
21		mulid2 10984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	20, 21	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = (1 · 𝐴))
23	17, 22	seq1i 13745	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))
24		oveq1 7274	. . . . . 6 ⊢ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
25		seqp1 13746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
26		nnuz 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleq2s 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
29		peano2nn 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30		fvconst2g 7069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
32	31	oveq2d 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
33	28, 32	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
34		nncn 11991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
35		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 10939	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		adddir 10976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
38	36, 37	mp3an2 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
39	34, 35, 38	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
40	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
41	40	oveq2d 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
42	39, 41	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
43	33, 42	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴) ↔ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
44	24, 43	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
45	44	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
46	45	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
47	4, 8, 12, 16, 23, 46	nnind 12001	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
48	47	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561   × cxp 5582  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  1c1 10882   + caddc 10884   · cmul 10886  ℕcn 11983  ℤ_≥cuz 12592  seqcseq 13731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-seq 13732

This theorem is referenced by:  fsumconst  15512  vitalilem4  24785  ovoliunnfl  35827  voliunnfl  35829