MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser1const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ser1const 14099
Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
ser1const ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem ser1const
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1))
2 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (𝑗 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
31, 2eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 1 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴)))
43imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))))
5 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
75, 6eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴))))
9 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
10 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
119, 10eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
13 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
1513, 14eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
1615imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))))
17 1z 12647 . . . 4 1 ∈ ℤ
18 1nn 12277 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
19 fvconst2g 7222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2018, 19mpan2 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
21 mullid 11260 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2220, 21eqtr4d 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = (1 · 𝐴))
2317, 22seq1i 14056 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))
24 oveq1 7438 . . . . . 6 ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
25 seqp1 14057 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
26 nnuz 12921 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleq2s 2859 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
29 peano2nn 12278 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30 fvconst2g 7222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
3129, 30sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
3231oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
3328, 32eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
34 nncn 12274 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
35 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
37 adddir 11252 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
3836, 37mp3an2 1451 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
3934, 35, 38syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
4021adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4140oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
4239, 41eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
4333, 42eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴) ↔ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
4424, 43imbitrrid 246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
4544expcom 413 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
4645a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
474, 8, 12, 16, 23, 46nnind 12284 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
4847impcom 407 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cn 12266  cuz 12878  seqcseq 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043
This theorem is referenced by:  fsumconst  15826  vitalilem4  25646  ovoliunnfl  37669  voliunnfl  37671
  Copyright terms: Public domain W3C validator