Theorem ser1const 14126

Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ser1const	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem ser1const

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1))
2		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
3	1, 2	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴)))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))))
5		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘))
6		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴))))
9		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)))
10		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
11	9, 10	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
13		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	13, 14	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴) ↔ (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑗) = (𝑗 · 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))))
17		1z 12652	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
18		1nn 12272	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fvconst2g 7205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
20	18, 19	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
21		mullid 11235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	20, 21	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = (1 · 𝐴))
23	17, 22	seq1i 14083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘1) = (1 · 𝐴))
24		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
25		seqp1 14084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
26		nnuz 12930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleq2s 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
28	27	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
29		peano2nn 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30		fvconst2g 7205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
31	29, 30	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
32	31	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
33	28, 32	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴))
34		nncn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
35		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
36		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		adddir 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
38	36, 37	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
39	34, 35, 38	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
40	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
41	40	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
42	39, 41	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
43	33, 42	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴) ↔ ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) + 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
44	24, 43	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴)))
45	44	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
46	45	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑘) = (𝑘 · 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))))
47	4, 8, 12, 16, 23, 46	nnind 12279	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴)))
48	47	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) = (𝑁 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  ℕcn 12261  ℤ_≥cuz 12891  seqcseq 14069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070

This theorem is used by:  fsumconst  15880  vitalilem4  25845  ovoliunnfl  38419  voliunnfl  38421