MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser1const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ser1const 13973
Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
ser1const ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))

Proof of Theorem ser1const
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1))
2 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
31, 2eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = 1 โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด)))
43imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))))
5 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜))
6 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (๐‘˜ ยท ๐ด))
75, 6eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด)))
87imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด))))
9 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)))
10 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))
119, 10eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด)))
1211imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
13 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
14 oveq1 7368 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
1513, 14eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด)))
1615imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))))
17 1z 12541 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
18 1nn 12172 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
19 fvconst2g 7155 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = ๐ด)
2018, 19mpan2 690 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = ๐ด)
21 mulid2 11162 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2220, 21eqtr4d 2776 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
2317, 22seq1i 13929 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
24 oveq1 7368 . . . . . 6 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
25 seqp1 13930 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
26 nnuz 12814 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2725, 26eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
2827adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
29 peano2nn 12173 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
30 fvconst2g 7155 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ๐ด)
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ๐ด)
3231oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด))
3328, 32eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด))
34 nncn 12169 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
35 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
37 adddir 11154 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
3836, 37mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
3934, 35, 38syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
4021adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4140oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
4239, 41eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
4333, 42eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) โ†” ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด)))
4424, 43imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด)))
4544expcom 415 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
4645a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
474, 8, 12, 16, 23, 46nnind 12179 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด)))
4847impcom 409 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4590   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„•cn 12161  โ„คโ‰ฅcuz 12771  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  fsumconst  15683  vitalilem4  24998  ovoliunnfl  36170  voliunnfl  36172
  Copyright terms: Public domain W3C validator