MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser1const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ser1const 14023
Description: Value of the partial series sum of a constant function. (Contributed by NM, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
ser1const ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))

Proof of Theorem ser1const
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1))
2 oveq1 7415 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
31, 2eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = 1 โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด)))
43imbi2d 340 . . 3 (๐‘— = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))))
5 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜))
6 oveq1 7415 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (๐‘˜ ยท ๐ด))
75, 6eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด)))
87imbi2d 340 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด))))
9 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)))
10 oveq1 7415 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))
119, 10eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด)))
1211imbi2d 340 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
13 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘))
14 oveq1 7415 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
1513, 14eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด) โ†” (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด)))
1615imbi2d 340 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘—) = (๐‘— ยท ๐ด)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))))
17 1z 12591 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
18 1nn 12222 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
19 fvconst2g 7202 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = ๐ด)
2018, 19mpan2 689 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = ๐ด)
21 mullid 11212 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2220, 21eqtr4d 2775 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
2317, 22seq1i 13979 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜1) = (1 ยท ๐ด))
24 oveq1 7415 . . . . . 6 ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
25 seqp1 13980 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
26 nnuz 12864 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2725, 26eleq2s 2851 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))))
29 peano2nn 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
30 fvconst2g 7202 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ๐ด)
3129, 30sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ๐ด)
3231oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐ด})โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด))
3328, 32eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด))
34 nncn 12219 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
35 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
37 adddir 11204 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
3836, 37mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
3934, 35, 38syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
4021adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4140oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
4239, 41eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด))
4333, 42eqeq12d 2748 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด) โ†” ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) + ๐ด) = ((๐‘˜ ยท ๐ด) + ๐ด)))
4424, 43imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด)))
4544expcom 414 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
4645a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1) ยท ๐ด))))
474, 8, 12, 16, 23, 46nnind 12229 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด)))
4847impcom 408 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ด}))โ€˜๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {csn 4628   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„•cn 12211  โ„คโ‰ฅcuz 12821  seqcseq 13965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966
This theorem is referenced by:  fsumconst  15735  vitalilem4  25127  ovoliunnfl  36525  voliunnfl  36527
  Copyright terms: Public domain W3C validator