Theorem abssinper 26498

Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		halfcl 12379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3		2cn 12232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		picn 26435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
5		mulass 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
6	3, 4, 5	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8		2ne0 12261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
9		divcan1 11817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
10	3, 8, 9	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
11	10	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
12	7, 11	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
15	14	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
16	15	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
17	16	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19		sinper 26458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
20	19	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
21	18, 20	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
22	21	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23		peano2cn 11317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24		halfcl 12379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
26	3, 4	mulcli 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
27		mulcl 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29		subadd23 11404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
30	4, 29	mp3an2 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
31	28, 30	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32		divcan1 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
33	3, 8, 32	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
35	34	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		adddir 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
38	36, 4, 37	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
39	35, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
40	4	mullidi 11149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · π) = π
41	40	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
42	39, 41	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43		mulass 11126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
44	3, 4, 43	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
45	25, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
46	42, 45	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
47	46	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
49	4, 48	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50		pncan 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
51	49, 4, 50	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
52	47, 51	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
54	53	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
55	31, 54	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
56	1, 55	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
57	56	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59		subcl 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
60	4, 59	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61		sinper 26458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
62	60, 61	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
63	62	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64		sinmpi 26464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
65	64	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
66	63, 65	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
67	58, 66	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
68	67	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘-(sin‘𝐴)))
69		sincl 16063	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
70	69	absnegd 15387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
71	70	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
72	68, 71	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73		zeo 12590	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
74	73	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
75	22, 72, 74	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  ℤcz 12500  abscabs 15169  sincsin 15998  πcpi 16001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  sinkpi  26499  sineq0  26501  sineq0ALT  45286