MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssinper Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssinper 24794
Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 11839 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2 halfcl 11715 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3 2cn 11565 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
4 picn 24733 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
5 mulass 10476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
63, 4, 5mp3an23 1445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
72, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8 2ne0 11594 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
9 divcan1 11160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
103, 8, 9mp3an23 1445 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
1110oveq1d 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
127, 11eqtr3d 2833 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
131, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1514oveq2d 7037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
1615fveq2d 6547 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
1716eqcomd 2801 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19 sinper 24755 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2019adantlr 711 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2118, 20eqtrd 2831 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
2221fveq2d 6547 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23 peano2cn 10664 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24 halfcl 11715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
263, 4mulcli 10499 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
27 mulcl 10472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
2825, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29 subadd23 10751 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
304, 29mp3an2 1441 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
3128, 30sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32 divcan1 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
333, 8, 32mp3an23 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3534oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36 ax-1cn 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
37 adddir 10483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3836, 4, 37mp3an23 1445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3935, 38eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
404mulid2i 10497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · π) = π
4140oveq2i 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
4239, 41syl6req 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43 mulass 10476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
443, 4, 43mp3an23 1445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4525, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4642, 45eqtr2d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
4746oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48 mulcl 10472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
494, 48mpan2 687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50 pncan 10744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5149, 4, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5247, 51eqtrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5453oveq2d 7037 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
5531, 54eqtr2d 2832 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
561, 55sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
5756fveq2d 6547 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
5857adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59 subcl 10737 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
604, 59mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61 sinper 24755 . . . . . . . 8 (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6260, 61sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6362adantlr 711 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64 sinmpi 24761 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6564ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6663, 65eqtrd 2831 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
6758, 66eqtrd 2831 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
6867fveq2d 6547 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘-(sin‘𝐴)))
69 sincl 15317 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7069absnegd 14648 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7170ad2antrr 722 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7268, 71eqtrd 2831 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73 zeo 11922 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7473adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7522, 72, 74mpjaodan 953 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393  cmin 10722  -cneg 10723   / cdiv 11150  2c2 11545  cz 11834  abscabs 14432  sincsin 15255  πcpi 15258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-fac 13489  df-bc 13518  df-hash 13546  df-shft 14265  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-ef 15259  df-sin 15261  df-cos 15262  df-pi 15264  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-lp 21433  df-perf 21434  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cncf 23174  df-limc 24152  df-dv 24153
This theorem is referenced by:  sinkpi  24795  sineq0  24797  sineq0ALT  40835
  Copyright terms: Public domain W3C validator