Theorem abssinper 26458

Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		halfcl 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3		2cn 12207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		picn 26395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
5		mulass 11101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
6	3, 4, 5	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8		2ne0 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
9		divcan1 11792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
10	3, 8, 9	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
11	10	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
12	7, 11	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
15	14	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
16	15	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
17	16	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19		sinper 26418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
20	19	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
21	18, 20	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
22	21	fveq2d 6832	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23		peano2cn 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24		halfcl 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
26	3, 4	mulcli 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
27		mulcl 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29		subadd23 11379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
30	4, 29	mp3an2 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
31	28, 30	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32		divcan1 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
33	3, 8, 32	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
35	34	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36		ax-1cn 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		adddir 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
38	36, 4, 37	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
39	35, 38	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
40	4	mullidi 11124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · π) = π
41	40	oveq2i 7363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
42	39, 41	eqtr2di 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43		mulass 11101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
44	3, 4, 43	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
45	25, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
46	42, 45	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
47	46	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48		mulcl 11097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
49	4, 48	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50		pncan 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
51	49, 4, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
52	47, 51	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
54	53	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
55	31, 54	eqtr2d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
56	1, 55	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
57	56	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59		subcl 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
60	4, 59	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61		sinper 26418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
62	60, 61	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
63	62	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64		sinmpi 26424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
65	64	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
66	63, 65	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
67	58, 66	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
68	67	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘-(sin‘𝐴)))
69		sincl 16037	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
70	69	absnegd 15361	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
71	70	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
72	68, 71	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73		zeo 12565	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
74	73	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
75	22, 72, 74	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351  -cneg 11352   / cdiv 11781  2c2 12187  ℤcz 12475  abscabs 15143  sincsin 15972  πcpi 15975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796

This theorem is referenced by:  sinkpi  26459  sineq0  26461  sineq0ALT  45053