MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odd2np1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odd2np1lem 16157
Description: Lemma for odd2np1 16158. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1lem (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem odd2np1lem
Dummy variables ๐‘— ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2750 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0))
21rexbidv 3174 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0))
3 eqeq2 2750 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = 0))
43rexbidv 3174 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0))
52, 4orbi12d 918 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0 โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0)))
6 eqeq2 2750 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š))
76rexbidv 3174 . . . 4 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š))
8 oveq2 7358 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘ฅ))
98oveq1d 7365 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
109eqeq1d 2740 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š))
1110cbvrexvw 3225 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š)
127, 11bitrdi 287 . . 3 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š))
13 eqeq2 2750 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š))
1413rexbidv 3174 . . . 4 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š))
15 oveq1 7357 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘ฆ ยท 2))
1615eqeq1d 2740 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š โ†” (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š))
1716cbvrexvw 3225 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š)
1814, 17bitrdi 287 . . 3 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š))
1912, 18orbi12d 918 . 2 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š)))
20 eqeq2 2750 . . . 4 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
2120rexbidv 3174 . . 3 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
22 eqeq2 2750 . . . 4 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
2322rexbidv 3174 . . 3 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
2421, 23orbi12d 918 . 2 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1))))
25 eqeq2 2750 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2625rexbidv 3174 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
27 eqeq2 2750 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
2827rexbidv 3174 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
2926, 28orbi12d 918 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)))
30 0z 12444 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
31 2cn 12162 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
3231mul02i 11278 . . . 4 (0 ยท 2) = 0
33 oveq1 7357 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (0 ยท 2))
3433eqeq1d 2740 . . . . 5 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = 0 โ†” (0 ยท 2) = 0))
3534rspcev 3580 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (0 ยท 2) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0)
3630, 32, 35mp2an 691 . . 3 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0
3736olci 865 . 2 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0 โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0)
38 orcom 869 . . 3 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š))
39 zcn 12438 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
40 mulcom 11071 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4139, 31, 40sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4241adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4342eqeq1d 2740 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โ†” (2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š))
44 eqid 2738 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)
45 oveq2 7358 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4645oveq1d 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
4746eqeq1d 2740 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)))
4847rspcev 3580 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
4944, 48mpan2 690 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
50 oveq1 7357 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = (๐‘š + 1))
5150eqeq2d 2749 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5251rexbidv 3174 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5349, 52syl5ibcom 245 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5453adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5543, 54sylbid 239 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5655rexlimdva 3151 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
57 peano2z 12475 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
58 zcn 12438 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
59 mulcom 11071 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฅ))
6031, 59mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฅ))
6131mulid2i 11094 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ยท 2) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท 2) = 2)
6360, 62oveq12d 7368 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2))
64 df-2 12150 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6564oveq2i 7361 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1))
6663, 65eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
67 ax-1cn 11043 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
68 adddir 11080 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)))
6967, 31, 68mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)))
70 mulcl 11069 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7131, 70mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
72 addass 11072 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
7367, 67, 72mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
7566, 69, 743eqtr4d 2788 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
7658, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
7776adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
78 oveq1 7357 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ฅ + 1) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘ฅ + 1) ยท 2))
7978eqeq1d 2740 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘ฅ + 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) โ†” ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
8079rspcev 3580 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
8157, 77, 80syl2an2 685 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
82 oveq1 7357 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = (๐‘š + 1))
8382eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) โ†” (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8483rexbidv 3174 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8581, 84syl5ibcom 245 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8685rexlimdva 3151 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8756, 86orim12d 964 . . 3 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1))))
8838, 87biimtrid 241 . 2 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1))))
895, 19, 24, 29, 37, 88nn0ind 12529 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3072  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  2c2 12142  โ„•0cn0 12347  โ„คcz 12433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434
This theorem is referenced by:  odd2np1  16158
  Copyright terms: Public domain W3C validator