MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odd2np1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odd2np1lem 16156
Description: Lemma for odd2np1 16157. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1lem (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem odd2np1lem
Dummy variables ๐‘— ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2749 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0))
21rexbidv 3173 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0))
3 eqeq2 2749 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = 0))
43rexbidv 3173 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0))
52, 4orbi12d 917 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0 โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0)))
6 eqeq2 2749 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š))
76rexbidv 3173 . . . 4 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š))
8 oveq2 7357 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘ฅ))
98oveq1d 7364 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
109eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ฅ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š))
1110cbvrexvw 3224 . . . 4 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š)
127, 11bitrdi 286 . . 3 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š))
13 eqeq2 2749 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š))
1413rexbidv 3173 . . . 4 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š))
15 oveq1 7356 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘ฆ ยท 2))
1615eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š โ†” (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š))
1716cbvrexvw 3224 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘š โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š)
1814, 17bitrdi 286 . . 3 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š))
1912, 18orbi12d 917 . 2 (๐‘— = ๐‘š โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š)))
20 eqeq2 2749 . . . 4 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
2120rexbidv 3173 . . 3 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
22 eqeq2 2749 . . . 4 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
2322rexbidv 3173 . . 3 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
2421, 23orbi12d 917 . 2 (๐‘— = (๐‘š + 1) โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1))))
25 eqeq2 2749 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2625rexbidv 3173 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
27 eqeq2 2749 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
2827rexbidv 3173 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘— โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
2926, 28orbi12d 917 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘— โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘—) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)))
30 0z 12443 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
31 2cn 12161 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
3231mul02i 11277 . . . 4 (0 ยท 2) = 0
33 oveq1 7356 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (0 ยท 2))
3433eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = 0 โ†” (0 ยท 2) = 0))
3534rspcev 3579 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (0 ยท 2) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0)
3630, 32, 35mp2an 690 . . 3 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0
3736olci 864 . 2 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = 0 โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = 0)
38 orcom 868 . . 3 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š))
39 zcn 12437 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
40 mulcom 11070 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4139, 31, 40sylancl 586 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4342eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โ†” (2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š))
44 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)
45 oveq2 7357 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4645oveq1d 7364 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
4746eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ฆ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)))
4847rspcev 3579 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
4944, 48mpan2 689 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1))
50 oveq1 7356 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) = (๐‘š + 1))
5150eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5251rexbidv 3173 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5349, 52syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5453adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5543, 54sylbid 239 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
5655rexlimdva 3150 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1)))
57 peano2z 12474 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
58 zcn 12437 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
59 mulcom 11070 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฅ))
6031, 59mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (2 ยท ๐‘ฅ))
6131mulid2i 11093 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ยท 2) = 2
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท 2) = 2)
6360, 62oveq12d 7367 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2))
64 df-2 12149 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6564oveq2i 7360 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1))
6663, 65eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
67 ax-1cn 11042 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
68 adddir 11079 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)))
6967, 31, 68mp3an23 1453 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = ((๐‘ฅ ยท 2) + (1 ยท 2)))
70 mulcl 11068 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
7131, 70mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
72 addass 11071 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
7367, 67, 72mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
7566, 69, 743eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
7658, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
7776adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
78 oveq1 7356 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ฅ + 1) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘ฅ + 1) ยท 2))
7978eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘ฅ + 1) โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) โ†” ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
8079rspcev 3579 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ฅ + 1) ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
8157, 77, 80syl2an2 684 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1))
82 oveq1 7356 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = (๐‘š + 1))
8382eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) โ†” (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8483rexbidv 3173 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8581, 84syl5ibcom 244 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8685rexlimdva 3150 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1)))
8756, 86orim12d 963 . . 3 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1))))
8838, 87biimtrid 241 . 2 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘š โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘š) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘š + 1) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘š + 1))))
895, 19, 24, 29, 37, 88nn0ind 12528 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989  2c2 12141  โ„•0cn0 12346  โ„คcz 12432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433
This theorem is referenced by:  odd2np1  16157
  Copyright terms: Public domain W3C validator