Theorem odd2np1lem 16430

Description: Lemma for odd2np1 16431. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1lem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
2	1	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
4	3	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
5	2, 4	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6		eqeq2 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
7	6	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8		oveq2 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
9	8	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
10	9	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
11	10	cbvrexvw 3241	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
12	7, 11	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13		eqeq2 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
14	13	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
17	16	cbvrexvw 3241	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
18	14, 17	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
19	12, 18	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
21	20	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
23	22	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
24	21, 23	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
26	25	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
28	27	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
29	26, 28	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30		0z 12626	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		2cn 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
32	31	mul02i 11423	. . . 4 ⊢ (0 · 2) = 0
33		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
34	33	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
35	34	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
36	30, 32, 35	mp2an 705	. . 3 ⊢ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
37	36	olci 880	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38		orcom 884	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40		mulcom 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
41	39, 31, 40	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
43	42	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
46	45	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
47	46	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
48	47	rspcev 3576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
49	44, 48	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
51	50	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
52	51	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
53	49, 52	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
54	53	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
55	43, 54	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
56	55	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57		peano2z 12659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
58		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
59		mulcom 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
60	31, 59	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
61	31	mullidi 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 2) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
63	60, 62	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
64		df-2 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
65	64	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
66	63, 65	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
67		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
68		adddir 11221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
69	67, 31, 68	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
70		mulcl 11208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
71	31, 70	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
72		addass 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
73	67, 67, 72	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
74	71, 73	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
75	66, 69, 74	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
76	58, 75	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
77	76	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
78		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
79	78	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
80	79	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
81	57, 77, 80	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
82		oveq1 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
83	82	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
84	83	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
85	81, 84	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
86	85	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
87	56, 86	orim12d 979	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
88	38, 87	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
89	5, 19, 24, 29, 37, 88	nn0ind 12716	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by:  odd2np1  16431