MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccvx 24697
Description: A linear combination of two reals lies in the interval between them. Equivalently, a closed interval is a convex set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
icccvx ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต)))

Proof of Theorem icccvx
StepHypRef Expression
1 iccss2 13401 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐ถ[,]๐ท) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
21adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ถ[,]๐ท) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
323adantr3 1169 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐ถ[,]๐ท) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
43adantr 479 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (๐ถ[,]๐ท) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
5 iccssre 13412 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด[,]๐ต) โŠ† โ„)
65sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
76adantrr 713 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
85sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
98adantrl 712 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
107, 9jca 510 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„))
11103adantr3 1169 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„))
12 simpr3 1194 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
1311, 12jca 510 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)))
14 lincmb01cmp 13478 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < ๐ท) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท))
1514ex 411 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท)))
16153expa 1116 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท)))
1716imp 405 . . . . . 6 ((((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ < ๐ท) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท))
1817an32s 648 . . . . 5 ((((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท))
1913, 18sylan 578 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท))
204, 19sseldd 3984 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
21 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐ถ = ๐ท โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท))
2221oveq1d 7428 . . . . 5 (๐ถ = ๐ท โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)))
23 unitssre 13482 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) โŠ† โ„
2423sseli 3979 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
2524recnd 11248 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
2625ad2antll 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
278recnd 11248 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2827adantrr 713 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
29 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
30 npcan 11475 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) = 1)
3129, 30mpan 686 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) = 1)
3231adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) = 1)
3332oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท ๐ท) = (1 ยท ๐ท))
34 subcl 11465 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3529, 34mpan 686 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3635ancri 548 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚))
37 adddir 11211 . . . . . . . . . 10 (((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท ๐ท) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)))
38373expa 1116 . . . . . . . . 9 ((((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท ๐ท) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)))
3936, 38sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) + ๐‘‡) ยท ๐ท) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)))
40 mullid 11219 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
4140adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
4233, 39, 413eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = ๐ท)
4326, 28, 42syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = ๐ท)
44433adantr1 1167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ท) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = ๐ท)
4522, 44sylan9eqr 2792 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = ๐ท)
46 simplr2 1214 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
4745, 46eqeltrd 2831 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ถ = ๐ท) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
48 iccss2 13401 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐ท[,]๐ถ) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
4948adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ท[,]๐ถ) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
5049ancom2s 646 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ท[,]๐ถ) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
51503adantr3 1169 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐ท[,]๐ถ) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
5251adantr 479 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ท < ๐ถ) โ†’ (๐ท[,]๐ถ) โŠ† (๐ด[,]๐ต))
539, 7jca 510 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
54533adantr3 1169 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
5554, 12jca 510 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)))
56 iirev 24672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ (0[,]1))
5723, 56sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„)
5857recnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
59 recn 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
60 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6158, 59, 60syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
6261adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
63 recn 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ โ„ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
64 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6525, 63, 64syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6665adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6762, 66addcomd 11422 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)))
68673adantl3 1166 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)))
69 nncan 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
7029, 69mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
7170eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘‡ = (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)))
7271oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) = ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท))
7372oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)))
7425, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)))
7574adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)))
7668, 75eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) = (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)))
77 lincmb01cmp 13478 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ))
7856, 77sylan2 591 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐ท) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ))
7976, 78eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ))
8079ex 411 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท < ๐ถ) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ)))
81803expa 1116 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ท < ๐ถ) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ)))
8281imp 405 . . . . . 6 ((((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐ท < ๐ถ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ))
8382an32s 648 . . . . 5 ((((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โˆง ๐ท < ๐ถ) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ))
8455, 83sylan 578 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ท < ๐ถ) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ท[,]๐ถ))
8552, 84sseldd 3984 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐ท < ๐ถ) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
867, 9lttri4d 11361 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ถ < ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท โˆจ ๐ท < ๐ถ))
87863adantr3 1169 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐ถ < ๐ท โˆจ ๐ถ = ๐ท โˆจ ๐ท < ๐ถ))
8820, 47, 85, 87mpjao3dan 1429 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
8988ex 411 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐ท โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐ถ) + (๐‘‡ ยท ๐ท)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ w3o 1084   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11254   โˆ’ cmin 11450  [,]cicc 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-rp 12981  df-icc 13337
This theorem is referenced by:  reparphti  24745  reparphtiOLD  24746
  Copyright terms: Public domain W3C validator