Theorem icccvx 25000

Description: A linear combination of two reals lies in the interval between them. Equivalently, a closed interval is a convex set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
icccvx	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))

Proof of Theorem icccvx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccss2 13478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3	2	3adantr3 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		iccssre 13489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6	5	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	5	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
9	8	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
10	7, 9	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
11	10	3adantr3 1171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
12		simpr3 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
13	11, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)))
14		lincmb01cmp 13555	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
15	14	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
16	15	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 𝐷) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
18	17	an32s 651	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
19	13, 18	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
20	4, 19	sseldd 4009	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
21		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ((1 − 𝑇) · 𝐶) = ((1 − 𝑇) · 𝐷))
22	21	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
23		unitssre 13559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
24	23	sseli 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
26	25	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
27	8	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ∈ ℂ)
29		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		npcan 11545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
31	29, 30	mpan 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
33	32	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (1 · 𝐷))
34		subcl 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
35	29, 34	mpan 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
36	35	ancri 549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
37		adddir 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
38	37	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
39	36, 38	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
40		mullid 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
42	33, 39, 41	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
43	26, 28, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
44	43	3adantr1 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
45	22, 44	sylan9eqr 2802	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
46		simplr2 1216	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47	45, 46	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
48		iccss2 13478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
50	49	ancom2s 649	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
51	50	3adantr3 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
53	9, 7	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
54	53	3adantr3 1171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
55	54, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)))
56		iirev 24975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
57	23, 56	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
59		recn 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
60		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
62	61	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
63		recn 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
64		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
65	25, 63, 64	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
66	65	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
67	62, 66	addcomd 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
68	67	3adantl3 1168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
69		nncan 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
70	29, 69	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
71	70	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → 𝑇 = (1 − (1 − 𝑇)))
72	71	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 · 𝐷) = ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷))
73	72	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
74	25, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
76	68, 75	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
77		lincmb01cmp 13555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
78	56, 77	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
79	76, 78	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
80	79	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶)))
81	80	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶)))
82	81	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
83	82	an32s 651	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
84	55, 83	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
85	52, 84	sseldd 4009	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
86	7, 9	lttri4d 11431	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶 < 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶))
87	86	3adantr3 1171	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶 < 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶))
88	20, 47, 85, 87	mpjao3dan 1432	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
89	88	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-rp 13058  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049