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Theorem icccvx 24395
Description: A linear combination of two reals lies in the interval between them. Equivalently, a closed interval is a convex set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
icccvx ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))

Proof of Theorem icccvx
StepHypRef Expression
1 iccss2 13377 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
21adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
323adantr3 1171 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
43adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5 iccssre 13388 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
65sselda 3978 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
76adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
85sselda 3978 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
98adantrl 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
107, 9jca 512 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
11103adantr3 1171 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
12 simpr3 1196 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
1311, 12jca 512 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)))
14 lincmb01cmp 13454 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
1514ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
16153expa 1118 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
1716imp 407 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 𝐷) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
1817an32s 650 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
1913, 18sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
204, 19sseldd 3979 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
21 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝐶 = 𝐷 → ((1 − 𝑇) · 𝐶) = ((1 − 𝑇) · 𝐷))
2221oveq1d 7408 . . . . 5 (𝐶 = 𝐷 → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
23 unitssre 13458 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
2423sseli 3974 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
2524recnd 11224 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
2625ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
278recnd 11224 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
2827adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ∈ ℂ)
29 ax-1cn 11150 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
30 npcan 11451 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
3129, 30mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
3332oveq1d 7408 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (1 · 𝐷))
34 subcl 11441 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3529, 34mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3635ancri 550 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
37 adddir 11187 . . . . . . . . . 10 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
38373expa 1118 . . . . . . . . 9 ((((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
3936, 38sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
40 mullid 11195 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℂ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
4140adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
4233, 39, 413eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
4326, 28, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
44433adantr1 1169 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
4522, 44sylan9eqr 2793 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
46 simplr2 1216 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4745, 46eqeltrd 2832 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
48 iccss2 13377 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4948adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5049ancom2s 648 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
51503adantr3 1171 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5251adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
539, 7jca 512 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
54533adantr3 1171 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
5554, 12jca 512 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)))
56 iirev 24374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
5723, 56sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
5857recnd 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
59 recn 11182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
60 mulcl 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
6158, 59, 60syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
6261adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
63 recn 11182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
64 mulcl 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
6525, 63, 64syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
6665adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
6762, 66addcomd 11398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
68673adantl3 1168 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
69 nncan 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
7029, 69mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
7170eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → 𝑇 = (1 − (1 − 𝑇)))
7271oveq1d 7408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 · 𝐷) = ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷))
7372oveq1d 7408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
7425, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
7668, 75eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
77 lincmb01cmp 13454 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
7856, 77sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
7976, 78eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
8079ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶)))
81803expa 1118 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶)))
8281imp 407 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
8382an32s 650 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
8455, 83sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
8552, 84sseldd 3979 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
867, 9lttri4d 11337 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶 < 𝐷𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶))
87863adantr3 1171 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶 < 𝐷𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶))
8820, 47, 85, 87mpjao3dan 1431 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
8988ex 413 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230  cmin 11426  [,]cicc 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-rp 12957  df-icc 13313
This theorem is referenced by:  reparphti  24442
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