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Theorem 00id 10804
Description: 0 is its own additive identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
00id (0 + 0) = 0

Proof of Theorem 00id
Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10632 . 2 0 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10597 . 2 (0 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0)
3 oveq2 7156 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 → (0 + 𝑐) = (0 + 0))
43eqeq1d 2828 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
54biimpd 230 . . . . 5 (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0))
65adantld 491 . . . 4 (𝑐 = 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
7 ax-rrecex 10598 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
87adantlr 711 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
9 simplll 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℝ)
109recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
11 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 0cn 10622 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
14 mulass 10614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
1513, 14mp3an3 1443 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
1610, 12, 15syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
17 oveq1 7155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (1 · 0))
1813mulid2i 10635 . . . . . . . . . . 11 (1 · 0) = 0
1917, 18syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
2019ad2antll 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
2116, 20eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) = 0)
2221oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = (0 + 0))
23 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 𝑐) = 0)
2423oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = (0 · (𝑦 · 0)))
25 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
261, 25mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
2726ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
2827recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℂ)
29 adddir 10621 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3013, 10, 28, 29mp3an2i 1459 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3124, 30eqtr3d 2863 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
3231oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) = (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0))
33 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
341, 26, 33sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3534ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3635recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
37 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
389, 27, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
3938recnd 10658 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
40 addass 10613 . . . . . . . . . . 11 (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4113, 40mp3an3 1443 . . . . . . . . . 10 (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4236, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
4332, 42eqtr2d 2862 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0))
4426, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
45 readdcl 10609 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
4644, 1, 45sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
479, 11, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
48 readdcan 10803 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
491, 48mp3an2 1442 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
5047, 35, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
5143, 50mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0)
5222, 51eqtr3d 2863 . . . . . 6 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 0) = 0)
538, 52rexlimddv 3296 . . . . 5 (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → (0 + 0) = 0)
5453expcom 414 . . . 4 (𝑐 ≠ 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
556, 54pm2.61ine 3105 . . 3 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0)
5655rexlimiva 3286 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0)
571, 2, 56mp2b 10 1 (0 + 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  mul02lem1  10805  mul02lem2  10806  addid1  10809  addid2  10812  addgt0  11115  addgegt0  11116  addgtge0  11117  addge0  11118  add20  11141  recextlem2  11260  crne0  11620  decaddm10  12146  10p10e20  12182  ser0  13412  faclbnd4lem3  13645  bcpasc  13671  relexpaddg  14402  fsumadd  15086  fsumrelem  15152  arisum  15205  fsumcube  15404  sadcaddlem  15796  sadcadd  15797  sadadd2  15799  bezout  15881  bezoutr1  15903  nnnn0modprm0  16133  pcaddlem  16214  4sqlem19  16289  139prm  16447  163prm  16448  317prm  16449  631prm  16450  1259lem1  16454  1259lem2  16455  1259lem4  16457  2503lem1  16460  2503lem2  16461  2503lem3  16462  4001lem1  16464  4001lem2  16465  4001lem3  16466  4001lem4  16467  sylow1lem1  18643  psrbagaddcl  20069  mplcoe3  20165  cnfld0  20485  reparphti  23516  itg1addlem4  24215  ibladdlem  24335  itgaddlem1  24338  iblabslem  24343  iblabs  24344  coeaddlem  24754  dcubic  25337  log2ublem3  25440  log2ub  25441  chtublem  25701  logfacrlim  25714  2sqnn  25929  dchrisumlem1  25979  vtxdg0e  27170  1kp2ke3k  28139  dip0r  28408  pythi  28541  normpythi  28833  ocsh  28974  0lnfn  29676  lnopeq0i  29698  nlelshi  29751  unierri  29795  probun  31563  hgt750lem2  31809  poimirlem3  34762  poimirlem4  34763  ismblfin  34800  itg2addnc  34813  ibladdnclem  34815  itgaddnclem1  34817  itgaddnclem2  34818  iblabsnclem  34822  iblabsnc  34823  iblmulc2nc  34824  ftc1anclem8  34841  ftc1anc  34842  dffltz  39136  relexpaddss  39928  stoweidlem44  42195  fourierdlem42  42300  fourierdlem103  42360  fourierdlem104  42361  sqwvfoura  42379  sqwvfourb  42380  fmtno5lem4  43550  139prmALT  43591  line2ylem  44570
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