Theorem 00id 11330

Description: 0 is its own additive identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem 00id

Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11157	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11122	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0)
3		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 0 → (0 + 𝑐) = (0 + 0))
4	3	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
5	4	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 0 → ((0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0))
6	5	adantld 491	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
7		ax-rrecex 11123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
8	7	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑦) = 1)
9		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
11		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		0cn 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		mulass 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
15	13, 14	mp3an3 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (𝑐 · (𝑦 · 0)))
17		oveq1 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = (1 · 0))
18	13	mulid2i 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 0) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 · 𝑦) = 1 → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
20	19	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · 𝑦) · 0) = 0)
21	16, 20	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) = 0)
22	21	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = (0 + 0))
23		simpllr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 𝑐) = 0)
24	23	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = (0 · (𝑦 · 0)))
25		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
26	1, 25	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 0) ∈ ℂ)
29		adddir 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℂ) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
30	13, 10, 28, 29	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 + 𝑐) · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
31	24, 30	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))))
32	31	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) = (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0))
33		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
34	1, 26, 33	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
35	34	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
37		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 0) ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
38	9, 27, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ)
40		addass 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
41	13, 40	mp3an3 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℂ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
42	36, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + (𝑐 · (𝑦 · 0))) + 0) = ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)))
43	32, 42	eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0))
44	26, 37	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ)
45		readdcl 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
46	44, 1, 45	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
47	9, 11, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ)
48		readdcan 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
49	1, 48	mp3an2 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) ∈ ℝ ∧ (0 · (𝑦 · 0)) ∈ ℝ) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
50	47, 35, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (((0 · (𝑦 · 0)) + ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0)) = ((0 · (𝑦 · 0)) + 0) ↔ ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0))
51	43, 50	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → ((𝑐 · (𝑦 · 0)) + 0) = 0)
52	22, 51	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑦) = 1)) → (0 + 0) = 0)
53	8, 52	rexlimddv 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) ∧ 𝑐 ≠ 0) → (0 + 0) = 0)
54	53	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑐 ≠ 0 → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0))
55	6, 54	pm2.61ine 3028	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (0 + 𝑐) = 0) → (0 + 0) = 0)
56	55	rexlimiva 3144	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (0 + 𝑐) = 0 → (0 + 0) = 0)
57	1, 2, 56	mp2b 10	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194

This theorem is referenced by:  mul02lem1  11331  mul02lem2  11332  addid1  11335  addid2  11338  addgt0  11641  addgegt0  11642  addgtge0  11643  addge0  11644  add20  11667  recextlem2  11786  crne0  12146  decaddm10  12677  10p10e20  12713  ser0  13960  faclbnd4lem3  14195  bcpasc  14221  relexpaddg  14938  fsumadd  15625  fsumrelem  15692  arisum  15745  fsumcube  15943  sadcaddlem  16337  sadcadd  16338  sadadd2  16340  bezout  16424  bezoutr1  16445  nnnn0modprm0  16678  pcaddlem  16760  4sqlem19  16835  139prm  16996  163prm  16997  317prm  16998  631prm  16999  1259lem1  17003  1259lem2  17004  1259lem4  17006  2503lem1  17009  2503lem2  17010  2503lem3  17011  4001lem1  17013  4001lem2  17014  4001lem3  17015  4001lem4  17016  sylow1lem1  19380  cnfld0  20821  psrbagaddcl  21330  psrbagaddclOLD  21331  mplcoe3  21439  reparphti  24360  cphpyth  24580  itg1addlem4  25063  itg1addlem4OLD  25064  ibladdlem  25184  itgaddlem1  25187  iblabslem  25192  iblabs  25193  coeaddlem  25610  dcubic  26196  log2ublem3  26298  log2ub  26299  chtublem  26559  logfacrlim  26572  2sqnn  26787  dchrisumlem1  26837  vtxdg0e  28422  1kp2ke3k  29390  dip0r  29659  pythi  29792  normpythi  30084  ocsh  30225  0lnfn  30927  lnopeq0i  30949  nlelshi  31002  unierri  31046  probun  33019  hgt750lem2  33265  poimirlem3  36081  poimirlem4  36082  ismblfin  36119  itg2addnc  36132  ibladdnclem  36134  itgaddnclem1  36136  itgaddnclem2  36137  iblabsnclem  36141  iblabsnc  36142  iblmulc2nc  36143  ftc1anclem8  36158  ftc1anc  36159  3lexlogpow5ineq1  40511  dffltz  40958  relexpaddss  41980  stoweidlem44  44275  fourierdlem42  44380  fourierdlem103  44440  fourierdlem104  44441  sqwvfoura  44459  sqwvfourb  44460  fmtno5lem4  45738  139prmALT  45778  line2ylem  46827