Theorem axhfvadd-zf 31071

Description: Derive Axiom ax-hfvadd 31089 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhfvadd-zf	⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Proof of Theorem axhfvadd-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 31058	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6830	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 30981	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hva 31063	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
8	5, 7	hladdf 30988	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ)
9	1, 8	ax-mp 5	1 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  BaseSetcba 30675  CHil_OLDchlo 30974   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-grpo 30582  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-cbn 30952  df-hlo 30975  df-hba 31058

This theorem is referenced by: (None)