Theorem elrest 17359

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17358	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3446	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5264	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-rest 17354

This theorem is referenced by:  elrestr  17360  restsspw  17363  firest  17364  restbas  23114  restsn  23126  restcld  23128  restopnb  23131  ssrest  23132  neitr  23136  restntr  23138  cnrest2  23242  cnpresti  23244  cnprest  23245  cnprest2  23246  lmss  23254  cmpsublem  23355  cmpsub  23356  connsuba  23376  1stcrest  23409  subislly  23437  cldllycmp  23451  txrest  23587  trfbas2  23799  trfbas  23800  trfil2  23843  flimrest  23939  fclsrest  23980  cnextcn  24023  tsmssubm  24099  trust  24185  restutop  24193  restutopopn  24194  trcfilu  24249  metrest  24480  xrtgioo  24763  xrge0tsms  24791  icoopnst  24904  iocopnst  24905  subopnmbl  25573  mbfimaopn2  25626  xrlimcnp  26946  xrge0tsmsd  33166  rspectopn  34044  bj-restsn  37329  bj-rest10  37335  bj-restn0  37337  bj-restpw  37339  bj-rest0  37340  bj-restb  37341  bj-restuni  37344  bj-restreg  37346  ptrest  37864  poimirlem29  37894  elrestd  45461  restuni3  45471  restsubel  45506  icccncfext  46239  subsaliuncl  46710  subsalsal  46711  salrestss  46713  sssmf  47090  incsmf  47094  decsmf  47119  smflimlem6  47128  smfco  47154  smfpimcc  47160