Theorem elrest 16886

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 16885	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2816	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3402	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5195	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3052   ∩ cin 3852   ↦ cmpt 5120  ran crn 5537  (class class class)co 7191   ↾_t crest 16879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-rest 16881

This theorem is referenced by:  elrestr  16887  restsspw  16890  firest  16891  restbas  22009  restsn  22021  restcld  22023  restopnb  22026  ssrest  22027  neitr  22031  restntr  22033  cnrest2  22137  cnpresti  22139  cnprest  22140  cnprest2  22141  lmss  22149  cmpsublem  22250  cmpsub  22251  connsuba  22271  1stcrest  22304  subislly  22332  cldllycmp  22346  txrest  22482  trfbas2  22694  trfbas  22695  trfil2  22738  flimrest  22834  fclsrest  22875  cnextcn  22918  tsmssubm  22994  trust  23081  restutop  23089  restutopopn  23090  trcfilu  23145  metrest  23376  xrtgioo  23657  xrge0tsms  23685  icoopnst  23790  iocopnst  23791  subopnmbl  24455  mbfimaopn2  24508  xrlimcnp  25805  xrge0tsmsd  30990  rspectopn  31485  bj-restsn  34937  bj-rest10  34943  bj-restn0  34945  bj-restpw  34947  bj-rest0  34948  bj-restb  34949  bj-restuni  34952  bj-restreg  34954  ptrest  35462  poimirlem29  35492  elrestd  42272  restuni3  42281  icccncfext  43046  subsaliuncl  43515  subsalsal  43516  sssmf  43889  incsmf  43893  decsmf  43917  smflimlem6  43926  smfco  43951  smfpimcc  43956