Theorem elrest 17390

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17389	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2822	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3433	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-rest 17385

This theorem is referenced by:  elrestr  17391  restsspw  17394  firest  17395  restbas  23123  restsn  23135  restcld  23137  restopnb  23140  ssrest  23141  neitr  23145  restntr  23147  cnrest2  23251  cnpresti  23253  cnprest  23254  cnprest2  23255  lmss  23263  cmpsublem  23364  cmpsub  23365  connsuba  23385  1stcrest  23418  subislly  23446  cldllycmp  23460  txrest  23596  trfbas2  23808  trfbas  23809  trfil2  23852  flimrest  23948  fclsrest  23989  cnextcn  24032  tsmssubm  24108  trust  24194  restutop  24202  restutopopn  24203  trcfilu  24258  metrest  24489  xrtgioo  24772  xrge0tsms  24800  icoopnst  24906  iocopnst  24907  subopnmbl  25571  mbfimaopn2  25624  xrlimcnp  26932  xrge0tsmsd  33134  rspectopn  34011  bj-restsn  37394  bj-rest10  37400  bj-restn0  37402  bj-restpw  37404  bj-rest0  37405  bj-restb  37406  bj-restuni  37409  bj-restreg  37411  ptrest  37940  poimirlem29  37970  elrestd  45538  restuni3  45548  restsubel  45583  icccncfext  46315  subsaliuncl  46786  subsalsal  46787  salrestss  46789  sssmf  47166  incsmf  47170  decsmf  47195  smflimlem6  47204  smfco  47230  smfpimcc  47236