MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrest 16697
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 16696 . . 3 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐽t 𝐵) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)))
21eleq2d 2878 . 2 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))))
3 eqid 2801 . . 3 (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))
4 vex 3447 . . . 4 𝑥 ∈ V
54inex1 5188 . . 3 (𝑥𝐵) ∈ V
63, 5elrnmpti 5800 . 2 (𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
72, 6syl6bb 290 1 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  cin 3883  cmpt 5113  ran crn 5524  (class class class)co 7139  t crest 16690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-rest 16692
This theorem is referenced by:  elrestr  16698  restsspw  16701  firest  16702  restbas  21767  restsn  21779  restcld  21781  restopnb  21784  ssrest  21785  neitr  21789  restntr  21791  cnrest2  21895  cnpresti  21897  cnprest  21898  cnprest2  21899  lmss  21907  cmpsublem  22008  cmpsub  22009  connsuba  22029  1stcrest  22062  subislly  22090  cldllycmp  22104  txrest  22240  trfbas2  22452  trfbas  22453  trfil2  22496  flimrest  22592  fclsrest  22633  cnextcn  22676  tsmssubm  22752  trust  22839  restutop  22847  restutopopn  22848  trcfilu  22904  metrest  23135  xrtgioo  23415  xrge0tsms  23443  icoopnst  23548  iocopnst  23549  subopnmbl  24212  mbfimaopn2  24265  xrlimcnp  25558  xrge0tsmsd  30746  rspectopn  31224  bj-restsn  34498  bj-rest10  34504  bj-restn0  34506  bj-restpw  34508  bj-rest0  34509  bj-restb  34510  bj-restuni  34513  bj-restreg  34515  ptrest  35055  poimirlem29  35085  elrestd  41737  restuni3  41746  icccncfext  42522  subsaliuncl  42991  subsalsal  42992  sssmf  43365  incsmf  43369  decsmf  43393  smflimlem6  43402  smfco  43427  smfpimcc  43432
  Copyright terms: Public domain W3C validator