MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrest 17309
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 17308 . . 3 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐽t 𝐵) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)))
21eleq2d 2823 . 2 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))))
3 eqid 2736 . . 3 (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))
4 vex 3449 . . . 4 𝑥 ∈ V
54inex1 5274 . . 3 (𝑥𝐵) ∈ V
63, 5elrnmpti 5915 . 2 (𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
72, 6bitrdi 286 1 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cin 3909  cmpt 5188  ran crn 5634  (class class class)co 7357  t crest 17302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-rest 17304
This theorem is referenced by:  elrestr  17310  restsspw  17313  firest  17314  restbas  22509  restsn  22521  restcld  22523  restopnb  22526  ssrest  22527  neitr  22531  restntr  22533  cnrest2  22637  cnpresti  22639  cnprest  22640  cnprest2  22641  lmss  22649  cmpsublem  22750  cmpsub  22751  connsuba  22771  1stcrest  22804  subislly  22832  cldllycmp  22846  txrest  22982  trfbas2  23194  trfbas  23195  trfil2  23238  flimrest  23334  fclsrest  23375  cnextcn  23418  tsmssubm  23494  trust  23581  restutop  23589  restutopopn  23590  trcfilu  23646  metrest  23880  xrtgioo  24169  xrge0tsms  24197  icoopnst  24302  iocopnst  24303  subopnmbl  24968  mbfimaopn2  25021  xrlimcnp  26318  xrge0tsmsd  31899  rspectopn  32448  bj-restsn  35553  bj-rest10  35559  bj-restn0  35561  bj-restpw  35563  bj-rest0  35564  bj-restb  35565  bj-restuni  35568  bj-restreg  35570  ptrest  36077  poimirlem29  36107  elrestd  43308  restuni3  43318  restsubel  43358  icccncfext  44118  subsaliuncl  44589  subsalsal  44590  salrestss  44592  sssmf  44969  incsmf  44973  decsmf  44998  smflimlem6  45007  smfco  45033  smfpimcc  45039
  Copyright terms: Public domain W3C validator