Theorem elrest 17138

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17137	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2824	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3436	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5241	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  (class class class)co 7275   ↾_t crest 17131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rest 17133

This theorem is referenced by:  elrestr  17139  restsspw  17142  firest  17143  restbas  22309  restsn  22321  restcld  22323  restopnb  22326  ssrest  22327  neitr  22331  restntr  22333  cnrest2  22437  cnpresti  22439  cnprest  22440  cnprest2  22441  lmss  22449  cmpsublem  22550  cmpsub  22551  connsuba  22571  1stcrest  22604  subislly  22632  cldllycmp  22646  txrest  22782  trfbas2  22994  trfbas  22995  trfil2  23038  flimrest  23134  fclsrest  23175  cnextcn  23218  tsmssubm  23294  trust  23381  restutop  23389  restutopopn  23390  trcfilu  23446  metrest  23680  xrtgioo  23969  xrge0tsms  23997  icoopnst  24102  iocopnst  24103  subopnmbl  24768  mbfimaopn2  24821  xrlimcnp  26118  xrge0tsmsd  31317  rspectopn  31817  bj-restsn  35253  bj-rest10  35259  bj-restn0  35261  bj-restpw  35263  bj-rest0  35264  bj-restb  35265  bj-restuni  35268  bj-restreg  35270  ptrest  35776  poimirlem29  35806  elrestd  42658  restuni3  42667  icccncfext  43428  subsaliuncl  43897  subsalsal  43898  sssmf  44274  incsmf  44278  decsmf  44302  smflimlem6  44311  smfco  44336  smfpimcc  44341