Theorem elrest 17409

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17408	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2815	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3475	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5317	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5962	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   ∩ cin 3946   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rest 17404

This theorem is referenced by:  elrestr  17410  restsspw  17413  firest  17414  restbas  23075  restsn  23087  restcld  23089  restopnb  23092  ssrest  23093  neitr  23097  restntr  23099  cnrest2  23203  cnpresti  23205  cnprest  23206  cnprest2  23207  lmss  23215  cmpsublem  23316  cmpsub  23317  connsuba  23337  1stcrest  23370  subislly  23398  cldllycmp  23412  txrest  23548  trfbas2  23760  trfbas  23761  trfil2  23804  flimrest  23900  fclsrest  23941  cnextcn  23984  tsmssubm  24060  trust  24147  restutop  24155  restutopopn  24156  trcfilu  24212  metrest  24446  xrtgioo  24735  xrge0tsms  24763  icoopnst  24876  iocopnst  24877  subopnmbl  25546  mbfimaopn2  25599  xrlimcnp  26913  xrge0tsmsd  32784  rspectopn  33468  bj-restsn  36561  bj-rest10  36567  bj-restn0  36569  bj-restpw  36571  bj-rest0  36572  bj-restb  36573  bj-restuni  36576  bj-restreg  36578  ptrest  37092  poimirlem29  37122  elrestd  44474  restuni3  44484  restsubel  44524  icccncfext  45275  subsaliuncl  45746  subsalsal  45747  salrestss  45749  sssmf  46126  incsmf  46130  decsmf  46155  smflimlem6  46164  smfco  46190  smfpimcc  46196