Theorem elrest 17380

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17379	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)))
2	1	eleq2d 2813	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))))
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵))
4		vex 3472	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	inex1 5310	. . 3 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
6	3, 5	elrnmpti 5952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐵)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7	2, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   ∩ cin 3942   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  (class class class)co 7404   ↾_t crest 17373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-rest 17375

This theorem is referenced by:  elrestr  17381  restsspw  17384  firest  17385  restbas  23013  restsn  23025  restcld  23027  restopnb  23030  ssrest  23031  neitr  23035  restntr  23037  cnrest2  23141  cnpresti  23143  cnprest  23144  cnprest2  23145  lmss  23153  cmpsublem  23254  cmpsub  23255  connsuba  23275  1stcrest  23308  subislly  23336  cldllycmp  23350  txrest  23486  trfbas2  23698  trfbas  23699  trfil2  23742  flimrest  23838  fclsrest  23879  cnextcn  23922  tsmssubm  23998  trust  24085  restutop  24093  restutopopn  24094  trcfilu  24150  metrest  24384  xrtgioo  24673  xrge0tsms  24701  icoopnst  24814  iocopnst  24815  subopnmbl  25484  mbfimaopn2  25537  xrlimcnp  26851  xrge0tsmsd  32713  rspectopn  33377  bj-restsn  36470  bj-rest10  36476  bj-restn0  36478  bj-restpw  36480  bj-rest0  36481  bj-restb  36482  bj-restuni  36485  bj-restreg  36487  ptrest  36998  poimirlem29  37028  elrestd  44353  restuni3  44363  restsubel  44403  icccncfext  45156  subsaliuncl  45627  subsalsal  45628  salrestss  45630  sssmf  46007  incsmf  46011  decsmf  46036  smflimlem6  46045  smfco  46071  smfpimcc  46077