MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrest 17314
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 17313 . . 3 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐽t 𝐵) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)))
21eleq2d 2820 . 2 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))))
3 eqid 2733 . . 3 (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵))
4 vex 3448 . . . 4 𝑥 ∈ V
54inex1 5275 . . 3 (𝑥𝐵) ∈ V
63, 5elrnmpti 5916 . 2 (𝐴 ∈ ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
72, 6bitrdi 287 1 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  cin 3910  cmpt 5189  ran crn 5635  (class class class)co 7358  t crest 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rest 17309
This theorem is referenced by:  elrestr  17315  restsspw  17318  firest  17319  restbas  22525  restsn  22537  restcld  22539  restopnb  22542  ssrest  22543  neitr  22547  restntr  22549  cnrest2  22653  cnpresti  22655  cnprest  22656  cnprest2  22657  lmss  22665  cmpsublem  22766  cmpsub  22767  connsuba  22787  1stcrest  22820  subislly  22848  cldllycmp  22862  txrest  22998  trfbas2  23210  trfbas  23211  trfil2  23254  flimrest  23350  fclsrest  23391  cnextcn  23434  tsmssubm  23510  trust  23597  restutop  23605  restutopopn  23606  trcfilu  23662  metrest  23896  xrtgioo  24185  xrge0tsms  24213  icoopnst  24318  iocopnst  24319  subopnmbl  24984  mbfimaopn2  25037  xrlimcnp  26334  xrge0tsmsd  31948  rspectopn  32505  bj-restsn  35599  bj-rest10  35605  bj-restn0  35607  bj-restpw  35609  bj-rest0  35610  bj-restb  35611  bj-restuni  35614  bj-restreg  35616  ptrest  36123  poimirlem29  36153  elrestd  43406  restuni3  43416  restsubel  43456  icccncfext  44214  subsaliuncl  44685  subsalsal  44686  salrestss  44688  sssmf  45065  incsmf  45069  decsmf  45094  smflimlem6  45103  smfco  45129  smfpimcc  45135
  Copyright terms: Public domain W3C validator