Theorem bnd2lem 38818

Description: Lemma for equivbnd2 38819 and similar theorems. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2lem.1	⊢ 𝐷 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
bnd2lem	⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem bnd2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnd2lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
2		resss 5991	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ⊆ 𝑀
3	1, 2	eqsstri 3954	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝑀
4		dmss 5883	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑀 → dom 𝐷 ⊆ dom 𝑀)
5	3, 4	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → dom 𝐷 ⊆ dom 𝑀)
6		bndmet 38808	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
7		metf 24654	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑌) → 𝐷:(𝑌 × 𝑌)⟶ℝ)
8		fdm 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:(𝑌 × 𝑌)⟶ℝ → dom 𝐷 = (𝑌 × 𝑌))
9	6, 7, 8	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → dom 𝐷 = (𝑌 × 𝑌))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → dom 𝐷 = (𝑌 × 𝑌))
11		metf 24654	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
12	11	fdmd 6720	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
14	5, 10, 13	3sstr3d 3962	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
15		dmss 5883	. . 3 ⊢ ((𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom (𝑌 × 𝑌) ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → dom (𝑌 × 𝑌) ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
17		dmxpid 5911	. 2 ⊢ dom (𝑌 × 𝑌) = 𝑌
18		dmxpid 5911	. 2 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
19	16, 17, 18	3sstr3g 3960	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℝcr 11202  Metcmet 21669  Bndcbnd 38794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-met 21677  df-bnd 38806

This theorem is used by:  equivbnd2  38819  prdsbnd2  38822  cntotbnd  38823  cnpwstotbnd  38824