Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnd2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bnd2lem 37126
Description: Lemma for equivbnd2 37127 and similar theorems. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2lem.1 𝐷 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
bnd2lem ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
Proof of Theorem bnd2lem
StepHypRef Expression
1 bnd2lem.1 . . . . . 6 𝐷 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
2 resss 6006 . . . . . 6 (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† 𝑀
31, 2eqsstri 4016 . . . . 5 𝐷 βŠ† 𝑀
4 dmss 5902 . . . . 5 (𝐷 βŠ† 𝑀 β†’ dom 𝐷 βŠ† dom 𝑀)
53, 4mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ dom 𝐷 βŠ† dom 𝑀)
6 bndmet 37116 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
7 metf 24157 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐷:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„)
8 fdm 6726 . . . . . 6 (𝐷:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„ β†’ dom 𝐷 = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) β†’ dom 𝐷 = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
109adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ dom 𝐷 = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
11 metf 24157 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
1211fdmd 6728 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
145, 10, 133sstr3d 4028 . . 3 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
15 dmss 5902 . . 3 ((π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
17 dmxpid 5929 . 2 dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) = π‘Œ
18 dmxpid 5929 . 2 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
1916, 17, 183sstr3g 4026 1 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11115  Metcmet 21220  Bndcbnd 37102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-met 21228  df-bnd 37114
This theorem is referenced by:  equivbnd2  37127  prdsbnd2  37130  cntotbnd  37131  cnpwstotbnd  37132
  Copyright terms: Public domain W3C validator