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Theorem prdsbnd2 36283
Description: If balls are totally bounded in each factor, then balls are bounded in a metric product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsbnd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbnd.v 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
prdsbnd.e 𝐸 = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsbnd.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsbnd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsbnd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsbnd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdsbnd2.c 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
prdsbnd2.e ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
prdsbnd2.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (TotBndβ€˜π‘¦) ↔ (𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (Bndβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
prdsbnd2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄) ↔ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   π‘₯,𝑦,𝑅   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑦,𝐸   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑆   𝑦,𝑉   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐷(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(𝑦)

Proof of Theorem prdsbnd2
Dummy variables π‘Ÿ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 36277 . 2 (𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))
2 bndmet 36269 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π΄))
3 0totbnd 36261 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄) ↔ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π΄)))
42, 3syl5ibr 246 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄)))
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄))))
6 n0 4311 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ 𝐴)
7 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))
8 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
10 prdsbnd.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
11 prdsbnd.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
13 prdsbnd.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
14 prdsbnd.i . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
15 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
16 prdsbnd2.e . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
178, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16prdsmet 23739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))))
18 prdsbnd.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
19 prdsbnd.y . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
20 prdsbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
21 dffn5 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
2322oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
2419, 23eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
2524fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2618, 25eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
27 prdsbnd.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2824fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
2927, 28eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
3029fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Metβ€˜π΅) = (Metβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))))
3117, 26, 303eltr4d 2853 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄)) β†’ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))
34 prdsbnd2.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
3534bnd2lem 36279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
3631, 33, 35syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
37 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
3836, 37sseldd 3950 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
3934ssbnd 36276 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
4032, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
417, 40mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
42 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
43 xpss12 5653 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
4442, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
4544resabs1d 5973 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ ((𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (𝐷 β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4645, 34eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ ((𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐢)
47 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ πœ‘)
4838adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
49 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5037adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5142, 50sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ž ∈ (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
5251ne0d 4300 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β‰  βˆ…)
5331ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
54 metxmet 23703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
5649rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
57 xbln0 23783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β‰  βˆ… ↔ 0 < π‘Ÿ))
5855, 48, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β‰  βˆ… ↔ 0 < π‘Ÿ))
5952, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ 0 < π‘Ÿ)
6049, 59elrpd 12961 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
61 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))
62 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))))
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))
64 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) β†Ύ ((Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) Γ— (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)))) = ((distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) β†Ύ ((Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) Γ— (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))))
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))))
6613adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
6714adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
68 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ∈ V
69 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜π‘₯))
70 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘₯ β†’ (distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
71 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
7271, 10eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = 𝑉)
7372sqxpeqd 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (𝑉 Γ— 𝑉))
7470, 73reseq12d 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))
7574, 11eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))) = 𝐸)
7675fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))) = (ballβ€˜πΈ))
77 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Žβ€˜π‘¦) = (π‘Žβ€˜π‘₯))
78 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ π‘Ÿ = π‘Ÿ)
7976, 77, 78oveq123d 7383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ) = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
8069, 79oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)) = ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
8180cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
8268, 81fnmpti 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))) Fn 𝐼
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))) Fn 𝐼)
8416adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
85 metxmet 23703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
8715ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
8887adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
89 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
9029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
9189, 90eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))))
928, 9, 66, 67, 88, 10, 91prdsbascl 17372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
9392r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
94 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
9594rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
96 blbnd 36275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
9786, 93, 95, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
98 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ∈ V
99 xpeq12 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ∧ 𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) = (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
10099anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) = (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
101100reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ (𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
102 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ (TotBndβ€˜π‘¦) = (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
103101, 102eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (TotBndβ€˜π‘¦) ↔ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
104 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ (Bndβ€˜π‘¦) = (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
105101, 104eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (Bndβ€˜π‘¦) ↔ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
106103, 105bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ (((𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (TotBndβ€˜π‘¦) ↔ (𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (Bndβ€˜π‘¦)) ↔ ((𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))))
107106imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (TotBndβ€˜π‘¦) ↔ (𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (Bndβ€˜π‘¦))) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))))
108 prdsbnd2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (TotBndβ€˜π‘¦) ↔ (𝐸 β†Ύ (𝑦 Γ— 𝑦)) ∈ (Bndβ€˜π‘¦)))
10998, 107, 108vtocl 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ↔ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (Bndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
11197, 110mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
112 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))
11380, 112, 68fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯) = ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
114113adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯) = ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
115114fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) = (distβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
116 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) = ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
117 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
118116, 117ressds 17298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ∈ V β†’ (distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (distβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
11998, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (distβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
120115, 119eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) = (distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
121114fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
122 rpxr 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
123122ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
124123adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
125 blssm 23787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑉)
12686, 93, 124, 125syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑉)
127116, 10ressbas2 17127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑉 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
129121, 128eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) = ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
130129sqxpeqd 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) Γ— (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))) = (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
131120, 130reseq12d 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) β†Ύ ((Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) Γ— (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
13211reseq1i 5938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) = (((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
133 xpss12 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑉 ∧ ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) βŠ† 𝑉) β†’ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉))
134126, 126, 133syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉))
135134resabs1d 5973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
136132, 135eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) = ((distβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
137131, 136eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) β†Ύ ((Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) Γ— (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)))) = (𝐸 β†Ύ (((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) Γ— ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
138129fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (TotBndβ€˜(Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))) = (TotBndβ€˜((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
139111, 137, 1383eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) β†Ύ ((Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)) Γ— (Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯)))) ∈ (TotBndβ€˜(Baseβ€˜((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))))
14061, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 83, 139prdstotbnd 36282 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) ∈ (TotBndβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))))))
14124adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))))
142 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))))
143 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))))
14481oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
145144fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (distβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))))
146 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ V)
14798a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) ∈ V)
148141, 142, 143, 18, 145, 66, 66, 67, 146, 147ressprdsds 23740 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))))))
149128ixpeq2dva 8857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
15069cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯))
151150oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘₯)))
15224, 151eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
153152fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
15418, 153eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
155154fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (ballβ€˜π·) = (ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))))
156155oveqdr 7390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (π‘Ž(ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))
157 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
158 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))) = (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦))))
159152fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
16027, 159eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
161160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
16289, 161eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))
163 rpgt0 12934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
164163ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
165151, 157, 10, 11, 158, 66, 67, 146, 86, 162, 123, 164prdsbl 23863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ž(ballβ€˜(distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
166156, 165eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))
167 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))) = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
16868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ∈ V)
169168ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)) ∈ V)
170 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))) = (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))
171167, 143, 66, 67, 169, 170prdsbas3 17370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))
172149, 166, 1713eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))) = (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
173172sqxpeqd 5670 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))))) = ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
174173reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))) Γ— (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ))))))) = (𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))))
175148, 174eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (distβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))))
176144fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘₯) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘₯)(ballβ€˜πΈ)π‘Ÿ)))))
177176, 172eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ))))) = (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
178177fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (TotBndβ€˜(Baseβ€˜(𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘…β€˜π‘¦) β†Ύs ((π‘Žβ€˜π‘¦)(ballβ€˜((distβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Γ— (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))))π‘Ÿ)))))) = (TotBndβ€˜(π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
179140, 175, 1783eltr3d 2852 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜(π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
18047, 48, 60, 179syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ (𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜(π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
181 totbndss 36265 . . . . . . . . 9 (((𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) ∈ (TotBndβ€˜(π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) β†’ ((𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (TotBndβ€˜π΄))
182180, 42, 181syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ ((𝐷 β†Ύ ((π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) Γ— (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (TotBndβ€˜π΄))
18346, 182eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝐴 βŠ† (π‘Ž(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄))
18441, 183rexlimddv 3159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄))
185184exp32 422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄))))
186185exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄))))
1876, 186biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄))))
1885, 187pm2.61dne 3032 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄)))
1891, 188impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π΄) ↔ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Xcixp 8842  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  β„*cxr 11195   < clt 11196  β„+crp 12922  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  distcds 17149  Xscprds 17334  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  TotBndctotbnd 36254  Bndcbnd 36255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-totbnd 36256  df-bnd 36267
This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  36285
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