Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd 35685
Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1 (𝜑𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
equivbnd.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd (𝜑𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2 equivbnd.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
3 isbnd3b 35680 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
43simprbi 500 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
52, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6 equivbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 12628 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
8 remulcl 10814 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
97, 8sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
10 bndmet 35676 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
112, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
1211adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
13 metcl 23230 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14133expb 1122 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
1512, 14sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
176ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
1815, 16, 17lemul2d 12672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
19 equivbnd.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
2019adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
211adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
22 metcl 23230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23223expb 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
257ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
2625, 15remulcld 10863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
279adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
28 letr 10926 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3020, 29mpand 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3118, 30sylbid 243 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3231ralimdvva 3102 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
33 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → ((𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
34332ralbidv 3120 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
3534rspcev 3537 . . . . 5 (((𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
369, 32, 35syl6an 684 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
3736rexlimdva 3203 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
385, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
39 isbnd3b 35680 . 2 (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
401, 38, 39sylanbrc 586 1 (𝜑𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728   · cmul 10734  cle 10868  +crp 12586  Metcmet 20349  Bndcbnd 35662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-ec 8393  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-bnd 35674
This theorem is referenced by:  equivbnd2  35687
  Copyright terms: Public domain W3C validator