Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd 37304
Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝑀(π‘₯, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
equivbnd.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivbnd.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑀   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 equivbnd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
3 isbnd3b 37299 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ))
43simprbi 495 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
52, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
6 equivbnd.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 13058 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8 remulcl 11233 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
97, 8sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
10 bndmet 37295 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
112, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1211adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
13 metcl 24266 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14133expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ∈ ℝ)
1512, 14sylan 578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
176ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1815, 16, 17lemul2d 13102 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
19 equivbnd.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
2019adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
211adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
22 metcl 24266 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23223expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23sylan 578 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ)
257ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2625, 15remulcld 11284 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
279adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
28 letr 11348 . . . . . . . . 9 (((π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3020, 29mpand 693 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3118, 30sylbid 239 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3231ralimdvva 3202 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
33 breq2 5156 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑅 Β· π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠 ↔ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
34332ralbidv 3216 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑅 Β· π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3534rspcev 3611 . . . . 5 (((𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠)
369, 32, 35syl6an 682 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠))
3736rexlimdva 3152 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠))
385, 37mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠)
39 isbnd3b 37299 . 2 (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠))
401, 38, 39sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147   Β· cmul 11153   ≀ cle 11289  β„+crp 13016  Metcmet 21279  Bndcbnd 37281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-ec 8735  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-icc 13373  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-bnd 37293
This theorem is referenced by:  equivbnd2  37306
  Copyright terms: Public domain W3C validator