Theorem equivbnd 37784

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
equivbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd

Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		equivbnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
3		isbnd3b 37779	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
4	3	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6		equivbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
8		remulcl 11153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
10		bndmet 37775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
13		metcl 24220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14	13	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
15	12, 14	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
17	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
18	15, 16, 17	lemul2d 13039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
19		equivbnd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
20	19	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
21	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
22		metcl 24220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23	22	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
25	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	25, 15	remulcld 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
27	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
28		letr 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
30	20, 29	mpand 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
31	18, 30	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
32	31	ralimdvva 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
33		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → ((𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
34	33	2ralbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
35	34	rspcev 3588	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
36	9, 32, 35	syl6an 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
37	36	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
38	5, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
39		isbnd3b 37779	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
40	1, 38, 39	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   · cmul 11073   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951  Metcmet 21250  Bndcbnd 37761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-ec 8673  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-bnd 37773

This theorem is referenced by:  equivbnd2  37786