Theorem equivbnd 38543

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
equivbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd

Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		equivbnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
3		isbnd3b 38538	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
4	3	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6		equivbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
8		remulcl 11212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
9	7, 8	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
10		bndmet 38534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
11	2, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
13		metcl 24561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14	13	3expb 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
15	12, 14	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
17	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
18	15, 16, 17	lemul2d 13133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
19		equivbnd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
20	19	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
21	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
22		metcl 24561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23	22	3expb 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
24	21, 23	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ)
25	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
26	25, 15	remulcld 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
27	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ)
28		letr 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
30	20, 29	mpand 708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)) ≤ (𝑅 · 𝑟) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
31	18, 30	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
32	31	ralimdvva 3209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
33		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → ((𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
34	33	2ralbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑅 · 𝑟) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)))
35	34	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
36	9, 32, 35	syl6an 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
37	36	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
38	5, 37	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠)
39		isbnd3b 38538	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑁𝑦) ≤ 𝑠))
40	1, 38, 39	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Bnd‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126   · cmul 11132   ≤ cle 11271  ℝ⁺crp 13045  Metcmet 21574  Bndcbnd 38520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-icc 13408  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-bnd 38532

This theorem is used by:  equivbnd2  38545