Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd 37171
Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝑀(π‘₯, 𝑦)), then boundedness of 𝑀 implies boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
equivbnd.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivbnd.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑀   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivbnd
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivbnd.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 equivbnd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
3 isbnd3b 37166 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ))
43simprbi 496 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
52, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
6 equivbnd.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
76rpred 13022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8 remulcl 11197 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
97, 8sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
10 bndmet 37162 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
112, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
13 metcl 24193 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ∈ ℝ)
14133expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ∈ ℝ)
1512, 14sylan 579 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ∈ ℝ)
16 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
176ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1815, 16, 17lemul2d 13066 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
19 equivbnd.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
2019adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
22 metcl 24193 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ)
23223expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ)
257ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2625, 15remulcld 11248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
279adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
28 letr 11312 . . . . . . . . 9 (((π‘₯𝑁𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3020, 29mpand 692 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3118, 30sylbid 239 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3231ralimdvva 3198 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
33 breq2 5145 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑅 Β· π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠 ↔ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
34332ralbidv 3212 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑅 Β· π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)))
3534rspcev 3606 . . . . 5 (((𝑅 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠)
369, 32, 35syl6an 681 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠))
3736rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠))
385, 37mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠)
39 isbnd3b 37166 . 2 (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑁𝑦) ≀ 𝑠))
401, 38, 39sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„+crp 12980  Metcmet 21226  Bndcbnd 37148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-bnd 37160
This theorem is referenced by:  equivbnd2  37173
  Copyright terms: Public domain W3C validator