Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem equivbnd2 36746
Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivbnd2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
equivbnd2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
equivbnd2.6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝑁𝑦)))
equivbnd2.7 𝐢 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
equivbnd2.8 𝐷 = (𝑁 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
equivbnd2.9 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 36743 . 2 (𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
2 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7 𝐢 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
87bnd2lem 36745 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
96, 8sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
10 metres2 23876 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
115, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
123, 11eqeltrid 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
159sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
169sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1715, 16anim12dan 619 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝑁𝑦)))
1918adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝑁𝑦)))
2017, 19syldan 591 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝑁𝑦)))
213oveqi 7424 . . . . . . . . 9 (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘₯(𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦)
22 ovres 7575 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯(𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑀𝑦))
2321, 22eqtrid 2784 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘₯𝑀𝑦))
2423adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘₯𝑀𝑦))
257oveqi 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘₯(𝑁 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦)
26 ovres 7575 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯(𝑁 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝑁𝑦))
2725, 26eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘₯𝑁𝑦))
2827adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (π‘₯𝑁𝑦))
2928oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑆 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) = (𝑆 Β· (π‘₯𝑁𝑦)))
3020, 24, 293brtr4d 5180 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑆 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
312, 12, 14, 30equivbnd 36744 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
32 equivbnd2.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
3332biimpar 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ))
3431, 33syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ))
35 bndmet 36735 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
3635adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
37 equivbnd2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
3837adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
4039adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
4117, 40syldan 591 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝑁𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
4224oveq2d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝐢𝑦)) = (𝑅 Β· (π‘₯𝑀𝑦)))
4341, 28, 423brtr4d 5180 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐢𝑦)))
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 36732 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ))
4544ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ)))
461, 45impbid2 225 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (TotBndβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐷 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   Β· cmul 11117   ≀ cle 11251  β„+crp 12976  Metcmet 20936  TotBndctotbnd 36720  Bndcbnd 36721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-2 12277  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-totbnd 36722  df-bnd 36733
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  36790
  Copyright terms: Public domain W3C validator