Theorem equivbnd2 35230

Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7	⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8	⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd2	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 35227	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3		equivbnd2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		equivbnd2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
5	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6		equivbnd2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7		equivbnd2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
8	7	bnd2lem 35229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	6, 8	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10		metres2 22970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11	5, 9, 10	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
12	3, 11	eqeltrid 2894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13		equivbnd2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
15	9	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	9	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
17	15, 16	anim12dan 621	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
18		equivbnd2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
19	18	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
20	17, 19	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
21	3	oveqi 7148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22		ovres 7294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
23	21, 22	syl5eq 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
24	23	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
25	7	oveqi 7148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26		ovres 7294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
27	25, 26	syl5eq 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
28	27	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
29	28	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
30	20, 24, 29	3brtr4d 5062	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
31	2, 12, 14, 30	equivbnd 35228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32		equivbnd2.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
33	32	biimpar 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
34	31, 33	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35		bndmet 35219	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
36	35	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37		equivbnd2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39		equivbnd2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
40	39	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
41	17, 40	syldan 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
42	24	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
43	41, 28, 42	3brtr4d 5062	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
44	34, 36, 38, 43	equivtotbnd 35216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
45	44	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
46	1, 45	impbid2 229	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   × cxp 5517   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   · cmul 10531   ≤ cle 10665  ℝ⁺crp 12377  Metcmet 20077  TotBndctotbnd 35204  Bndcbnd 35205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-totbnd 35206  df-bnd 35217

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  35274