Theorem equivbnd2 38239

Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7	⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8	⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd2	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 38236	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3		equivbnd2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		equivbnd2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
5	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6		equivbnd2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7		equivbnd2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
8	7	bnd2lem 38238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	6, 8	sylan 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10		metres2 24396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11	5, 9, 10	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
12	3, 11	eqeltrid 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13		equivbnd2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
14	13	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
15	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
17	15, 16	anim12dan 627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
18		equivbnd2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
19	18	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
20	17, 19	syldan 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
21	3	oveqi 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22		ovres 7551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
23	21, 22	eqtrid 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
24	23	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
25	7	oveqi 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26		ovres 7551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
27	25, 26	eqtrid 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
28	27	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
29	28	oveq2d 7401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
30	20, 24, 29	3brtr4d 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
31	2, 12, 14, 30	equivbnd 38237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32		equivbnd2.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
33	32	biimpar 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
34	31, 33	syldan 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35		bndmet 38228	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
36	35	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37		equivbnd2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39		equivbnd2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
40	39	adantlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
41	17, 40	syldan 599	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
42	24	oveq2d 7401	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
43	41, 28, 42	3brtr4d 5126	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
44	34, 36, 38, 43	equivtotbnd 38225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
45	44	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
46	1, 45	impbid2 228	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094   × cxp 5638   ↾ cres 5642  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   · cmul 11068   ≤ cle 11207  ℝ⁺crp 12983  Metcmet 21383  TotBndctotbnd 38213  Bndcbnd 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-ec 8668  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-icc 13346  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-totbnd 38215  df-bnd 38226

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  38283