Theorem equivbnd2 37932

Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7	⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8	⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd2	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 37929	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3		equivbnd2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		equivbnd2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6		equivbnd2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7		equivbnd2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
8	7	bnd2lem 37931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	6, 8	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10		metres2 24305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
12	3, 11	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13		equivbnd2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
15	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
17	15, 16	anim12dan 619	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
18		equivbnd2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
19	18	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
20	17, 19	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
21	3	oveqi 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22		ovres 7522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
23	21, 22	eqtrid 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
25	7	oveqi 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26		ovres 7522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
27	25, 26	eqtrid 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
29	28	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
30	20, 24, 29	3brtr4d 5128	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
31	2, 12, 14, 30	equivbnd 37930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32		equivbnd2.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
33	32	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
34	31, 33	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35		bndmet 37921	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37		equivbnd2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39		equivbnd2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
40	39	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
41	17, 40	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
42	24	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
43	41, 28, 42	3brtr4d 5128	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
44	34, 36, 38, 43	equivtotbnd 37918	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
45	44	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
46	1, 45	impbid2 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   · cmul 11029   ≤ cle 11165  ℝ⁺crp 12903  Metcmet 21293  TotBndctotbnd 37906  Bndcbnd 37907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-icc 13266  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-totbnd 37908  df-bnd 37919

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  37976