Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd2 34078
Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 34075 . 2 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
54adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
87bnd2lem 34077 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
96, 8sylan 576 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
10 metres2 22496 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
115, 9, 10syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
123, 11syl5eqel 2882 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
1413adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
159sselda 3798 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
169sselda 3798 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
1715, 16anim12dan 613 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
1918adantlr 707 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
2017, 19syldan 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
213oveqi 6891 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22 ovres 7034 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2321, 22syl5eq 2845 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2423adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
257oveqi 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26 ovres 7034 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2725, 26syl5eq 2845 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2827adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2928oveq2d 6894 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
3020, 24, 293brtr4d 4875 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
312, 12, 14, 30equivbnd 34076 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32 equivbnd2.9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
3332biimpar 470 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
3431, 33syldan 586 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35 bndmet 34067 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
3635adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37 equivbnd2.3 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3837adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4039adantlr 707 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4117, 40syldan 586 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4224oveq2d 6894 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4341, 28, 423brtr4d 4875 . . . 4 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 34064 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
4544ex 402 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
461, 45impbid2 218 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769   class class class wbr 4843   × cxp 5310  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878   · cmul 10229  cle 10364  +crp 12074  Metcmet 20054  TotBndctotbnd 34052  Bndcbnd 34053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-ec 7984  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-icc 12431  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-totbnd 34054  df-bnd 34065
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  34122
  Copyright terms: Public domain W3C validator