Theorem equivbnd2 37842

Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7	⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8	⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd2	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 37839	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3		equivbnd2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		equivbnd2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6		equivbnd2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7		equivbnd2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
8	7	bnd2lem 37841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	6, 8	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10		metres2 24278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
12	3, 11	eqeltrid 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13		equivbnd2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
15	9	sselda 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	9	sselda 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
17	15, 16	anim12dan 619	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
18		equivbnd2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
19	18	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
20	17, 19	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
21	3	oveqi 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22		ovres 7512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
23	21, 22	eqtrid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
25	7	oveqi 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26		ovres 7512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
27	25, 26	eqtrid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
29	28	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
30	20, 24, 29	3brtr4d 5121	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
31	2, 12, 14, 30	equivbnd 37840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32		equivbnd2.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
33	32	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
34	31, 33	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35		bndmet 37831	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37		equivbnd2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39		equivbnd2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
40	39	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
41	17, 40	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
42	24	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
43	41, 28, 42	3brtr4d 5121	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
44	34, 36, 38, 43	equivtotbnd 37828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
45	44	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
46	1, 45	impbid2 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   · cmul 11011   ≤ cle 11147  ℝ⁺crp 12890  Metcmet 21277  TotBndctotbnd 37816  Bndcbnd 37817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-ec 8624  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-totbnd 37818  df-bnd 37829

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  37886