Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivbnd2 35062
 Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivbnd2.1 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Assertion
Ref Expression
equivbnd2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 35059 . 2 (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3 equivbnd2.7 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4 equivbnd2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
54adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6 equivbnd2.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7 equivbnd2.8 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
87bnd2lem 35061 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
96, 8sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌𝑋)
10 metres2 22965 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
115, 9, 10syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
123, 11eqeltrid 2915 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13 equivbnd2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
1413adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
159sselda 3965 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
169sselda 3965 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
1715, 16anim12dan 620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑋𝑦𝑋))
18 equivbnd2.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
1918adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
2017, 19syldan 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
213oveqi 7161 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22 ovres 7306 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2321, 22syl5eq 2866 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
2423adantl 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
257oveqi 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26 ovres 7306 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2725, 26syl5eq 2866 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑌𝑦𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2827adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
2928oveq2d 7164 . . . . . . 7 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
3020, 24, 293brtr4d 5089 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
312, 12, 14, 30equivbnd 35060 . . . . 5 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32 equivbnd2.9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
3332biimpar 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
3431, 33syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35 bndmet 35051 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
3635adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37 equivbnd2.3 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3837adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39 equivbnd2.5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4039adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4117, 40syldan 593 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4224oveq2d 7164 . . . . 5 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
4341, 28, 423brtr4d 5089 . . . 4 (((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥𝑌𝑦𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
4434, 36, 38, 43equivtotbnd 35048 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
4544ex 415 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
461, 45impbid2 228 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057   × cxp 5546   ↾ cres 5550  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   · cmul 10534   ≤ cle 10668  ℝ+crp 12381  Metcmet 20523  TotBndctotbnd 35036  Bndcbnd 35037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-totbnd 35038  df-bnd 35049 This theorem is referenced by:  rrntotbnd  35106
 Copyright terms: Public domain W3C validator