Theorem equivbnd2 38640

Description: If balls are totally bounded in the metric 𝑀, then balls are totally bounded in the equivalent metric 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivbnd2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivbnd2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivbnd2.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
equivbnd2.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
equivbnd2.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
equivbnd2.7	⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.8	⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
equivbnd2.9	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
equivbnd2	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem equivbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 38637	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌))
3		equivbnd2.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		equivbnd2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
6		equivbnd2.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
7		equivbnd2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))
8	7	bnd2lem 38639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	6, 8	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10		metres2 24629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
11	5, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → (𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
12	3, 11	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑌))
13		equivbnd2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
15	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	9	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
17	15, 16	anim12dan 631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
18		equivbnd2.6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
19	18	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
20	17, 19	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
21	3	oveqi 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
22		ovres 7575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑀 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
23	21, 22	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
24	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑥𝑀𝑦))
25	7	oveqi 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦)
26		ovres 7575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥(𝑁 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
27	25, 26	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
28	27	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑥𝑁𝑦))
29	28	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑆 · (𝑥𝑁𝑦)))
30	20, 24, 29	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑆 · (𝑥𝐷𝑦)))
31	2, 12, 14, 30	equivbnd 38638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌))
32		equivbnd2.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)))
33	32	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
34	31, 33	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐶 ∈ (TotBnd‘𝑌))
35		bndmet 38629	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
36	35	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑌))
37		equivbnd2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
39		equivbnd2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
40	39	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
41	17, 40	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
42	24	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)) = (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
43	41, 28, 42	3brtr4d 5137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐶𝑦)))
44	34, 36, 38, 43	equivtotbnd 38626	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌))
45	44	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
46	1, 45	impbid2 229	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5646   ↾ cres 5650  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   · cmul 11162   ≤ cle 11301  ℝ⁺crp 13075  Metcmet 21611  TotBndctotbnd 38614  Bndcbnd 38615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-icc 13438  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-totbnd 38616  df-bnd 38627

This theorem is used by:  rrntotbnd  38684