MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiclbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiclbs 21778
Description: Having a basis is an isomorphism invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmimlbs.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘†)
lmimlbs.k 𝐾 = (LBasisβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
lmiclbs (𝑆 β‰ƒπ‘š 𝑇 β†’ (𝐽 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem lmiclbs
Dummy variables 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 20960 . . 3 (𝑆 β‰ƒπ‘š 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) β‰  βˆ…)
2 n0 4350 . . 3 ((𝑆 LMIso 𝑇) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
31, 2bitri 274 . 2 (𝑆 β‰ƒπ‘š 𝑇 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
4 n0 4350 . . . 4 (𝐽 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ 𝐽)
5 lmimlbs.j . . . . . . . 8 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘†)
6 lmimlbs.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LBasisβ€˜π‘‡)
75, 6lmimlbs 21777 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) β†’ (𝑓 β€œ 𝑏) ∈ 𝐾)
87ne0d 4339 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) β†’ 𝐾 β‰  βˆ…)
98ex 411 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ (𝑏 ∈ 𝐽 β†’ 𝐾 β‰  βˆ…))
109exlimdv 1928 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ 𝐽 β†’ 𝐾 β‰  βˆ…))
114, 10biimtrid 241 . . 3 (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ (𝐽 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 β‰  βˆ…))
1211exlimiv 1925 . 2 (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) β†’ (𝐽 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 β‰  βˆ…))
133, 12sylbi 216 1 (𝑆 β‰ƒπ‘š 𝑇 β†’ (𝐽 β‰  βˆ… β†’ 𝐾 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   LMIso clmim 20912   β‰ƒπ‘š clmic 20913  LBasisclbs 20966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lmhm 20914  df-lmim 20915  df-lmic 20916  df-lbs 20967  df-lindf 21747  df-linds 21748
This theorem is referenced by:  lmisfree  21783
  Copyright terms: Public domain W3C validator