Theorem lmiclbs 21792

Description: Having a basis is an isomorphism invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimlbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
lmimlbs.k	⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmiclbs	⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 → (𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅))

Proof of Theorem lmiclbs

Dummy variables 𝑏 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21020	. . 3 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
2		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
4		n0 4305	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐽)
5		lmimlbs.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
6		lmimlbs.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
7	5, 6	lmimlbs 21791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) → (𝑓 “ 𝑏) ∈ 𝐾)
8	7	ne0d 4294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) → 𝐾 ≠ ∅)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑏 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≠ ∅))
10	9	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≠ ∅))
11	4, 10	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅))
12	11	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅))
13	3, 12	sylbi 217	1 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 → (𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   LMIso clmim 20972   ≃_𝑚 clmic 20973  LBasisclbs 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lmhm 20974  df-lmim 20975  df-lmic 20976  df-lbs 21027  df-lindf 21761  df-linds 21762

This theorem is referenced by:  lmisfree  21797