Theorem lmicdim 32977

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmicdim.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≃𝑚 𝑇)
lmicdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmicdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmicdim

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmicdim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≃𝑚 𝑇)
2		brlmic 20823	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
4		n0 4345	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
6		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
7		lmicdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
8	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑆 ∈ LVec)
9	6, 8	lmimdim 32976	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
10	5, 9	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   LMIso clmim 20775   ≃_𝑚 clmic 20776  LVecclvec 20857  dimcldim 32971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-r1 9761  df-rank 9762  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ocomp 17222  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-mri 17536  df-acs 17537  df-proset 18252  df-drs 18253  df-poset 18270  df-ipo 18485  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lmhm 20777  df-lmim 20778  df-lmic 20779  df-lbs 20830  df-lvec 20858  df-lindf 21580  df-linds 21581  df-dim 32972

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33067