Theorem lmicdim 33902

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmicdim.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≃𝑚 𝑇)
lmicdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmicdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmicdim

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmicdim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≃𝑚 𝑇)
2		brlmic 21135	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3	1, 2	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
4		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5	3, 4	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
6		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
7		lmicdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑆 ∈ LVec)
9	6, 8	lmimdim 33901	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
10	5, 9	exlimddv 1955	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   LMIso clmim 21087   ≃_𝑚 clmic 21088  LVecclvec 21169  dimcldim 33896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-reg 9540  ax-inf2 9596  ax-ac2 10420  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-rpss 7706  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-oi 9458  df-r1 9722  df-rank 9723  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ocomp 17307  df-0g 17470  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-mri 17616  df-acs 17617  df-proset 18326  df-drs 18327  df-poset 18345  df-ipo 18560  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lmhm 21089  df-lmim 21090  df-lmic 21091  df-lbs 21142  df-lvec 21170  df-lindf 21858  df-linds 21859  df-dim 33897

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  34019