Theorem lmicdim 32992

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmicdim.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≃𝑚 𝑇)
lmicdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmicdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmicdim

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmicdim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≃𝑚 𝑇)
2		brlmic 20827	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
4		n0 4346	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
7		lmicdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑆 ∈ LVec)
9	6, 8	lmimdim 32991	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
10	5, 9	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   LMIso clmim 20779   ≃_𝑚 clmic 20780  LVecclvec 20861  dimcldim 32986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9511  df-r1 9765  df-rank 9766  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ocomp 17225  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-mri 17539  df-acs 17540  df-proset 18255  df-drs 18256  df-poset 18273  df-ipo 18488  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-ghm 19132  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-drng 20506  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-lsp 20731  df-lmhm 20781  df-lmim 20782  df-lmic 20783  df-lbs 20834  df-lvec 20862  df-lindf 21584  df-linds 21585  df-dim 32987

This theorem is referenced by:  algextdeglem6  33082