Theorem lmimcnv 21240

Description: The converse of a bijective module homomorphism is a bijective module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmimcnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → ◡𝐹 ∈ (𝑇 LMIso 𝑆))

Proof of Theorem lmimcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3	1, 2	lmhmf 21207	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
4		frel 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) → Rel 𝐹)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → Rel 𝐹)
6		dfrel2 6189	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9	7, 8	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10	9	anim1ci 628	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑆)) → (◡𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑆) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)))
11		islmim2 21239	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑆)))
12		islmim2 21239	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑇 LMIso 𝑆) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑆) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)))
13	10, 11, 12	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → ◡𝐹 ∈ (𝑇 LMIso 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5662  Rel wrel 5668  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293   LMHom clmhm 21192   LMIso clmim 21193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8832  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-ghm 19330  df-lmod 21035  df-lmhm 21195  df-lmim 21196

This theorem is used by:  lmicsym  21245  lbslcic  22043