MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnhl 27401
Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
btwnhl.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
btwnhl.3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
btwnhl (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 hltr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
10 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 btwnhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
15 ishlg.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
161, 3, 15, 12, 10, 8, 4ishlg 27389 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
1714, 16mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
1817simp1d 1142 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
1918necomd 2997 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝐴)
21 btwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
231, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22tgbtwncom 27275 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24tgbtwnouttr 27284 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
261, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25tgbtwncom 27275 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
274adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2910adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
308adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
316adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
32 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32tgbtwncom 27275 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3421adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
351, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34tgbtwnexch3 27281 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
3617simp3d 1144 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
3726, 35, 36mpjaodan 957 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17037  distcds 17096  TarskiGcstrkg 27214  Itvcitv 27220  hlGchlg 27387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-trkgc 27235  df-trkgb 27236  df-trkgcb 27237  df-trkg 27240  df-hlg 27388
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  27404  opphllem5  27538  colhp  27557  cgrabtwn  27613  sacgr  27618  inaghl  27632
  Copyright terms: Public domain W3C validator