MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnhl 26411
Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
btwnhl.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
btwnhl.3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
btwnhl (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2801 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 hltr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
10 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 btwnhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
15 ishlg.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
161, 3, 15, 12, 10, 8, 4ishlg 26399 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
1714, 16mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
1817simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
1918necomd 3045 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝐴)
21 btwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
231, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22tgbtwncom 26285 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24tgbtwnouttr 26294 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
261, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25tgbtwncom 26285 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
274adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2910adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
308adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
316adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
32 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32tgbtwncom 26285 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3421adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
351, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34tgbtwnexch3 26291 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
3617simp3d 1141 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
3726, 35, 36mpjaodan 956 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233  hlGchlg 26397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-hlg 26398
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  26414  opphllem5  26548  colhp  26567  cgrabtwn  26623  sacgr  26628  inaghl  26642
  Copyright terms: Public domain W3C validator