MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnhl 28636
Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
btwnhl.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
btwnhl.3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
btwnhl (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2734 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 hltr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
10 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 btwnhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
15 ishlg.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
161, 3, 15, 12, 10, 8, 4ishlg 28624 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
1714, 16mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
1817simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
1918necomd 2993 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝐴)
21 btwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
231, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22tgbtwncom 28510 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24tgbtwnouttr 28519 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
261, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25tgbtwncom 28510 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
274adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2910adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
308adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
32 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32tgbtwncom 28510 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3421adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
351, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34tgbtwnexch3 28516 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
3617simp3d 1143 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
3726, 35, 36mpjaodan 960 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  hlGchlg 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-hlg 28623
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  28639  opphllem5  28773  colhp  28792  cgrabtwn  28848  sacgr  28853  inaghl  28867
  Copyright terms: Public domain W3C validator