Theorem btwnhl 28959

Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
btwnhl.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnhl	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		hltr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		btwnhl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
15		ishlg.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
16	1, 3, 15, 12, 10, 8, 4	ishlg 28947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
18	17	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ≠ 𝐴)
21		btwnhl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	1, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22	tgbtwncom 28830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24	tgbtwnouttr 28839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
26	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25	tgbtwncom 28830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32	tgbtwncom 28830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
35	1, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34	tgbtwnexch3 28836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
36	17	simp3d 1162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
37	26, 35, 36	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  distcds 17351  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  hlGchlg 28942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-trkgc 28789  df-trkgb 28790  df-trkgcb 28791  df-trkg 28794  df-hlg 28943

This theorem is used by:  hlcgreulem  28962  opphllem5  29106  colhp  29127  cgrabtwn  29213  sacgr  29218  ragsupplcgra  29224  tgaaddcpbl  29231  inaghl  29243