Theorem btwnhl 28541

Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
btwnhl.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnhl	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		hltr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		btwnhl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
15		ishlg.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
16	1, 3, 15, 12, 10, 8, 4	ishlg 28529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
18	17	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 2980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ≠ 𝐴)
21		btwnhl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	1, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22	tgbtwncom 28415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24	tgbtwnouttr 28424	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
26	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25	tgbtwncom 28415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32	tgbtwncom 28415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
35	1, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34	tgbtwnexch3 28421	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
36	17	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
37	26, 35, 36	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  hlGchlg 28527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-hlg 28528

This theorem is referenced by:  hlcgreulem  28544  opphllem5  28678  colhp  28697  cgrabtwn  28753  sacgr  28758  inaghl  28772