Theorem btwnhl 28917

Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
btwnhl.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnhl	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		hltr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		btwnhl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
15		ishlg.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
16	1, 3, 15, 12, 10, 8, 4	ishlg 28905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
18	17	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 3015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ≠ 𝐴)
21		btwnhl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	1, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22	tgbtwncom 28788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24	tgbtwnouttr 28797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
26	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25	tgbtwncom 28788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32	tgbtwncom 28788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
35	1, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34	tgbtwnexch3 28794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
36	17	simp3d 1162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
37	26, 35, 36	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  distcds 17337  TarskiGcstrkg 28727  Itvcitv 28733  hlGchlg 28900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-trkgc 28748  df-trkgb 28749  df-trkgcb 28750  df-trkg 28753  df-hlg 28901

This theorem is used by:  hlcgreulem  28920  opphllem5  29063  colhp  29083  cgrabtwn  29168  sacgr  29173  ragsupplcgra  29179  inaghl  29193