MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnhl 28622
Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
btwnhl.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
btwnhl.3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
btwnhl (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 hltr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
10 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 ishlg.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 btwnhl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴(𝐾𝐷)𝐵)
15 ishlg.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
161, 3, 15, 12, 10, 8, 4ishlg 28610 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
1714, 16mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
1817simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
1918necomd 2996 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷𝐴)
21 btwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
231, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22tgbtwncom 28496 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
251, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24tgbtwnouttr 28505 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
261, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25tgbtwncom 28496 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
274adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2812adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
2910adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
308adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷𝑃)
316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
32 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
331, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32tgbtwncom 28496 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
3421adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
351, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34tgbtwnexch3 28502 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
3617simp3d 1145 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
3726, 35, 36mpjaodan 961 1 (𝜑𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  hlGchlg 28608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-hlg 28609
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  28625  opphllem5  28759  colhp  28778  cgrabtwn  28834  sacgr  28839  inaghl  28853
  Copyright terms: Public domain W3C validator