Theorem btwnhl 28640

Description: Swap betweenness for a half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
btwnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
btwnhl.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))

Assertion

Ref	Expression
btwnhl	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Proof of Theorem btwnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		hltr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		ishlg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		btwnhl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵)
15		ishlg.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
16	1, 3, 15, 12, 10, 8, 4	ishlg 28628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))))
18	17	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 3002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ≠ 𝐴)
21		btwnhl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
23	1, 2, 3, 5, 13, 9, 7, 22	tgbtwncom 28514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵))
25	1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 11, 20, 23, 24	tgbtwnouttr 28523	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
26	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 25	tgbtwncom 28514	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
27	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
29	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
31	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴))
33	1, 2, 3, 27, 30, 29, 28, 32	tgbtwncom 28514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
34	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
35	1, 2, 3, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34	tgbtwnexch3 28520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
36	17	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐷𝐼𝐴)))
37	26, 35, 36	mpjaodan 959	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  hlGchlg 28626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-hlg 28627

This theorem is referenced by:  hlcgreulem  28643  opphllem5  28777  colhp  28796  cgrabtwn  28852  sacgr  28857  inaghl  28871