Theorem omsmeas 34320

Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsmeas.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s	⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
omsmeas	⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmeas.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
2		omsmeas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3		omsf 34293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5		omsmeas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
7	2	fdmd 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
8	7	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅)
9	8	unieqd 4886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 = ∪ dom 𝑅)
10	9	pweqd 4582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 = 𝒫 ∪ dom 𝑅)
11	6, 10	feq12d 6678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
12	4, 11	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
13		omsmeas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
14	1	uniexd 7720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
15	14, 12	carsgcl 34301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
16	13, 15	eqsstrid 3987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
17	12, 16	fssresd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
18		omsmeas.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19		omsmeas.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
20	5, 1, 2, 18, 19	oms0 34294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	14, 12, 20	0elcarsg 34304	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22	21, 13	eleqtrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
23		fvres 6879	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
25	24, 20	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
26		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑔𝑓
27		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑔
28		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
29	26, 27, 28	cbvdisj 5086	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
30	29	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
31	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
32	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
33		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
34	33	elpwid 4574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
35	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
36	34, 35	sstrd 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
37	36	sselda 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
38	37	elpwid 4574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄)
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
40	5, 31, 32, 38, 39	omssubadd 34297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
41	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V)
42	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
43	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
44		uniiun 5024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
45	44	fveq2i 6863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
46	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
47	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
48		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
50	48, 49	sseldd 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
51	50	elpwid 4574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
52		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
53	5, 46, 47, 51, 52	omssubadd 34297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
54	45, 53	eqbrtrid 5144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
55	54	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
56	55	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
57	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
58	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
59		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
60		elpwi 4572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
61	60	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
62	5, 57, 58, 59, 61	omsmon 34295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
63	62	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
64	63	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
65		elpwi 4572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆)
66	65	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
67	66, 13	sseqtrdi 3989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
68	41, 42, 43, 56, 64, 39, 67	carsgclctun 34318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
69	68, 13	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆)
70		fvres 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
71		uniiun 5024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑒 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
72	71	fveq2i 6863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
73	70, 72	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
74	69, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
76	66	sselda 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆)
77		fvres 6879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
79	78	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
80	75, 79	esumeq2d 34033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
81	40, 74, 80	3brtr4d 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
82		snex 5393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅} ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
84	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
85	84, 37	ffvelcdmd 7059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
86		elsni 4608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
87	86	fveq2d 6864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅))
88	87, 43	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0)
89	33, 83, 85, 88	esumpad2 34052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
90		neldifsnd 4759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
91		difss 4101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
92		ssdomg 8973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
93	33, 91, 92	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
94		domtr 8980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
95	93, 39, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
96	67	ssdifssd 4112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
97		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
98		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑔
99		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑔𝑦
100		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦)
101	98, 99, 100	cbvdisj 5086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
102	97, 101	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103		disjss1 5082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
104	91, 102, 103	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
105	41, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64	carsggect 34315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
106	89, 105	eqbrtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
107		unidif0 5317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑒 ∖ {∅}) = ∪ 𝑒
108	107	fveq2i 6863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒)
109	106, 108	breqtrdi 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒))
110	69, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
111	109, 80, 110	3brtr4d 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))
112	81, 111	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))
113		iccssxr 13397	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
114	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
115	114, 69	ffvelcdmd 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116	113, 115	sselid 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*)
117	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
118	117, 76	ffvelcdmd 7059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
119	118	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑓𝑒
121	120	esumcl 34026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
122	33, 119, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123	113, 122	sselid 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
124		xrletri3 13120	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
125	116, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
126	112, 125	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
127	30, 126	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
128	127	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
129	128	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
130	17, 25, 129	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))
131	14, 12, 20, 54, 62	carsgsiga 34319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
132	13, 131	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
133		elrnsiga 34122	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
134		ismeas 34195	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
135	132, 133, 134	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
136	130, 135	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∖ cdif 3913   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  𝒫 cpw 4565  {csn 4591  ∪ cuni 4873  ∪ ciun 4957  Disj wdisj 5076   class class class wbr 5109  dom cdm 5640  ran crn 5641   ↾ cres 5642  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ωcom 7844   ≼ cdom 8918  0cc0 11074  +∞cpnf 11211  ℝ^*cxr 11213   ≤ cle 11215  [,]cicc 13315  Σ^*cesum 34023  sigAlgebracsiga 34104  measurescmeas 34191  toOMeascoms 34288  toCaraSigaccarsg 34298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-reg 9551  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-r1 9723  df-rank 9724  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-sin 16041  df-cos 16042  df-pi 16044  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-ordt 17470  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-plusf 18572  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-abv 20724  df-lmod 20774  df-scaf 20775  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-tmd 23965  df-tgp 23966  df-tsms 24020  df-trg 24053  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-nm 24476  df-ngp 24477  df-nrg 24479  df-nlm 24480  df-ii 24776  df-cncf 24777  df-limc 25773  df-dv 25774  df-log 26471  df-esum 34024  df-siga 34105  df-meas 34192  df-oms 34289  df-carsg 34299

This theorem is referenced by: (None)