Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmeas 33976
Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omsmeas.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
omsmeas.s 𝑆 = (toCaraSigaβ€˜π‘€)
omsmeas.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
omsmeas.d (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
Assertion
Ref Expression
omsmeas (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†))

Proof of Theorem omsmeas
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmeas.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
2 omsmeas.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
3 omsf 33949 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
5 omsmeas.m . . . . . . 7 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…))
72fdmd 6738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
87eqcomd 2734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 = dom 𝑅)
98unieqd 4925 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑄 = βˆͺ dom 𝑅)
109pweqd 4623 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑄 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
116, 10feq12d 6715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞)))
124, 11mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
13 omsmeas.s . . . . 5 𝑆 = (toCaraSigaβ€˜π‘€)
141uniexd 7753 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
1514, 12carsgcl 33957 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
1613, 15eqsstrid 4030 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
1712, 16fssresd 6769 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
18 omsmeas.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑅)
19 omsmeas.0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
205, 1, 2, 18, 19oms0 33950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
2114, 12, 200elcarsg 33960 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
2221, 13eleqtrrdi 2840 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
23 fvres 6921 . . . . 5 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘€β€˜βˆ…))
2422, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘€β€˜βˆ…))
2524, 20eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0)
26 nfcv 2899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑔𝑓
27 nfcv 2899 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓𝑔
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 β†’ 𝑓 = 𝑔)
2926, 27, 28cbvdisj 5127 . . . . . . 7 (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
3029anbi2i 621 . . . . . 6 ((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
311ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
322ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
33 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
3433elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑆)
3516ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
3634, 35sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
3736sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
3837elpwid 4615 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑄)
39 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 β‰Ό Ο‰)
405, 31, 32, 38, 39omssubadd 33953 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“))
4114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
4212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
4320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
44 uniiun 5065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
4544fveq2i 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
4613ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
4723ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
48 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
49 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
5048, 49sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
5150elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑄)
52 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
535, 46, 47, 51, 52omssubadd 33953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
5445, 53eqbrtrid 5187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
55543adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
56553adant1r 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
5713ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
5823ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
59 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑦)
60 elpwi 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑄)
61603ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑄)
625, 57, 58, 59, 61omsmon 33951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
63623adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
64633adant1r 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
65 elpwi 4613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑒 βŠ† 𝑆)
6665ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑆)
6766, 13sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
6841, 42, 43, 56, 64, 39, 67carsgclctun 33974 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
6968, 13eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑆)
70 fvres 6921 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒))
71 uniiun 5065 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑒 = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
7271fveq2i 6905 . . . . . . . . . . 11 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
7370, 72eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
7469, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
7666sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑓 ∈ 𝑆)
77 fvres 6921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = (π‘€β€˜π‘“))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = (π‘€β€˜π‘“))
7978ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑒 ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = (π‘€β€˜π‘“))
8075, 79esumeq2d 33689 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“))
8140, 74, 803brtr4d 5184 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))
82 snex 5437 . . . . . . . . . . . . 13 {βˆ…} ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ {βˆ…} ∈ V)
8442adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
8584, 37ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ (π‘€β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
86 elsni 4649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑓 = βˆ…)
8786fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {βˆ…} β†’ (π‘€β€˜π‘“) = (π‘€β€˜βˆ…))
8887, 43sylan9eqr 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {βˆ…}) β†’ (π‘€β€˜π‘“) = 0)
8933, 83, 85, 88esumpad2 33708 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})(π‘€β€˜π‘“) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“))
90 neldifsnd 4801 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…}))
91 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑒
92 ssdomg 9027 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ ((𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑒 β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑒))
9333, 91, 92mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑒)
94 domtr 9034 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑒 ∧ 𝑒 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
9593, 39, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
9667ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
97 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
98 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦𝑔
99 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑔𝑦
100 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑦 β†’ 𝑔 = 𝑦)
10198, 99, 100cbvdisj 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
10297, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103 disjss1 5123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑒 β†’ (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 β†’ Disj 𝑦 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})𝑦))
10491, 102, 103mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Disj 𝑦 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})𝑦)
10541, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64carsggect 33971 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})(π‘€β€˜π‘“) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…})))
10689, 105eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…})))
107 unidif0 5364 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) = βˆͺ 𝑒
108107fveq2i 6905 . . . . . . . . . 10 (π‘€β€˜βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…})) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒)
109106, 108breqtrdi 5193 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒))
11069, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒))
111109, 80, 1103brtr4d 5184 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒))
11281, 111jca 510 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒)))
113 iccssxr 13447 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
11417ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
115114, 69ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116113, 115sselid 3980 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ∈ ℝ*)
117114adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
118117, 76ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
119118ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑒 ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
120 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓𝑒
121120esumcl 33682 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑒 ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
12233, 119, 121syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
123113, 122sselid 3980 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
124 xrletri3 13173 . . . . . . . 8 ((((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ ℝ*) β†’ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ↔ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒))))
125116, 123, 124syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ↔ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒))))
126112, 125mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))
12730, 126sylan2b 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))
128127ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))
129128ralrimiva 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))
13017, 25, 1293jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))))
13114, 12, 20, 54, 62carsgsiga 33975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑄))
13213, 131eqeltrid 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑄))
133 elrnsiga 33778 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
134 ismeas 33851 . . 3 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))))
135132, 133, 1343syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))))
136130, 135mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912  βˆͺ ciun 5000  Disj wdisj 5117   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ο‰com 7876   β‰Ό cdom 8968  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  [,]cicc 13367  Ξ£*cesum 33679  sigAlgebracsiga 33760  measurescmeas 33847  toOMeascoms 33944  toCaraSigaccarsg 33954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9623  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-r1 9795  df-rank 9796  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-plusf 18606  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-abv 20704  df-lmod 20752  df-scaf 20753  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tmd 23996  df-tgp 23997  df-tsms 24051  df-trg 24084  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-nrg 24514  df-nlm 24515  df-ii 24817  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-esum 33680  df-siga 33761  df-meas 33848  df-oms 33945  df-carsg 33955
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator