Theorem omsmeas 32190

Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsmeas.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s	⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
omsmeas	⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmeas.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
2		omsmeas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3		omsf 32163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5		omsmeas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
7	2	fdmd 6595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
8	7	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅)
9	8	unieqd 4850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 = ∪ dom 𝑅)
10	9	pweqd 4549	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 = 𝒫 ∪ dom 𝑅)
11	6, 10	feq12d 6572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
12	4, 11	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
13		omsmeas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
14	1	uniexd 7573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
15	14, 12	carsgcl 32171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
16	13, 15	eqsstrid 3965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
17	12, 16	fssresd 6625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
18		omsmeas.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19		omsmeas.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
20	5, 1, 2, 18, 19	oms0 32164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	14, 12, 20	0elcarsg 32174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22	21, 13	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
23		fvres 6775	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
25	24, 20	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
26		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑔𝑓
27		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑔
28		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
29	26, 27, 28	cbvdisj 5045	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
30	29	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
31	1	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
32	2	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
33		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
34	33	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
35	16	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
36	34, 35	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
37	36	sselda 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
38	37	elpwid 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄)
39		simprl 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
40	5, 31, 32, 38, 39	omssubadd 32167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
41	14	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V)
42	12	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
43	20	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
44		uniiun 4984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
45	44	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
46	1	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
47	2	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
48		simpl3 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
50	48, 49	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
51	50	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
52		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
53	5, 46, 47, 51, 52	omssubadd 32167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
54	45, 53	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
55	54	3adant1r 1175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
56	55	3adant1r 1175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
57	1	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
58	2	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
59		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
60		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
61	60	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
62	5, 57, 58, 59, 61	omsmon 32165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
63	62	3adant1r 1175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
64	63	3adant1r 1175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
65		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆)
66	65	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
67	66, 13	sseqtrdi 3967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
68	41, 42, 43, 56, 64, 39, 67	carsgclctun 32188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
69	68, 13	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆)
70		fvres 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
71		uniiun 4984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑒 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
72	71	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
73	70, 72	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
74	69, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
76	66	sselda 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆)
77		fvres 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
79	78	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
80	75, 79	esumeq2d 31905	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
81	40, 74, 80	3brtr4d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
82		snex 5349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅} ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
84	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
85	84, 37	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
86		elsni 4575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
87	86	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅))
88	87, 43	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0)
89	33, 83, 85, 88	esumpad2 31924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
90		neldifsnd 4723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
91		difss 4062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
92		ssdomg 8741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
93	33, 91, 92	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
94		domtr 8748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
95	93, 39, 94	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
96	67	ssdifssd 4073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
97		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
98		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑔
99		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑔𝑦
100		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦)
101	98, 99, 100	cbvdisj 5045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
102	97, 101	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103		disjss1 5041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
104	91, 102, 103	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
105	41, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64	carsggect 32185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
106	89, 105	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
107		unidif0 5277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑒 ∖ {∅}) = ∪ 𝑒
108	107	fveq2i 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒)
109	106, 108	breqtrdi 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒))
110	69, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
111	109, 80, 110	3brtr4d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))
112	81, 111	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))
113		iccssxr 13091	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
114	17	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
115	114, 69	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116	113, 115	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*)
117	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
118	117, 76	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
119	118	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑓𝑒
121	120	esumcl 31898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
122	33, 119, 121	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123	113, 122	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
124		xrletri3 12817	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
125	116, 123, 124	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
126	112, 125	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
127	30, 126	sylan2b 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
128	127	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
129	128	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
130	17, 25, 129	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))
131	14, 12, 20, 54, 62	carsgsiga 32189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
132	13, 131	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
133		elrnsiga 31994	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
134		ismeas 32067	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
135	132, 133, 134	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
136	130, 135	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ cuni 4836  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5035   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  Σ^*cesum 31895  sigAlgebracsiga 31976  measurescmeas 32063  toOMeascoms 32158  toCaraSigaccarsg 32168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-r1 9453  df-rank 9454  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-plusf 18240  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tmd 23131  df-tgp 23132  df-tsms 23186  df-trg 23219  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648  df-ii 23946  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-esum 31896  df-siga 31977  df-meas 32064  df-oms 32159  df-carsg 32169

This theorem is referenced by: (None)