Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmeas 32980
Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omsmeas.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
omsmeas.s 𝑆 = (toCaraSigaβ€˜π‘€)
omsmeas.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
omsmeas.d (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
Assertion
Ref Expression
omsmeas (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†))

Proof of Theorem omsmeas
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmeas.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
2 omsmeas.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
3 omsf 32953 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞)) β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
41, 2, 3syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞))
5 omsmeas.m . . . . . . 7 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…))
72fdmd 6680 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
87eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 = dom 𝑅)
98unieqd 4880 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑄 = βˆͺ dom 𝑅)
109pweqd 4578 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑄 = 𝒫 βˆͺ dom 𝑅)
116, 10feq12d 6657 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (toOMeasβ€˜π‘…):𝒫 βˆͺ dom π‘…βŸΆ(0[,]+∞)))
124, 11mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
13 omsmeas.s . . . . 5 𝑆 = (toCaraSigaβ€˜π‘€)
141uniexd 7680 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
1514, 12carsgcl 32961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
1613, 15eqsstrid 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
1712, 16fssresd 6710 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
18 omsmeas.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑅)
19 omsmeas.0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
205, 1, 2, 18, 19oms0 32954 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
2114, 12, 200elcarsg 32964 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
2221, 13eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
23 fvres 6862 . . . . 5 (βˆ… ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘€β€˜βˆ…))
2422, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = (π‘€β€˜βˆ…))
2524, 20eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0)
26 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑔𝑓
27 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓𝑔
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 β†’ 𝑓 = 𝑔)
2926, 27, 28cbvdisj 5081 . . . . . . 7 (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
3029anbi2i 624 . . . . . 6 ((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
311ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
322ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
33 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
3433elpwid 4570 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑆)
3516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
3634, 35sstrd 3955 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
3736sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
3837elpwid 4570 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑄)
39 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 β‰Ό Ο‰)
405, 31, 32, 38, 39omssubadd 32957 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“))
4114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆͺ 𝑄 ∈ V)
4212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
4320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
44 uniiun 5019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
4544fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
4613ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
4723ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
48 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
5048, 49sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄)
5150elpwid 4570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑄)
52 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ π‘₯ β‰Ό Ο‰)
535, 46, 47, 51, 52omssubadd 32957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
5445, 53eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
55543adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
56553adant1r 1178 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
5713ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
5823ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
59 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑦)
60 elpwi 4568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑄)
61603ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑄)
625, 57, 58, 59, 61omsmon 32955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
63623adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
64633adant1r 1178 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑄) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
65 elpwi 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑒 βŠ† 𝑆)
6665ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑆)
6766, 13sseqtrdi 3995 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ 𝑒 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
6841, 42, 43, 56, 64, 39, 67carsgclctun 32978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
6968, 13eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑆)
70 fvres 6862 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒))
71 uniiun 5019 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑒 = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
7271fveq2i 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
7370, 72eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
7469, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
7666sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑓 ∈ 𝑆)
77 fvres 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = (π‘€β€˜π‘“))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = (π‘€β€˜π‘“))
7978ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑒 ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = (π‘€β€˜π‘“))
8075, 79esumeq2d 32693 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“))
8140, 74, 803brtr4d 5138 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))
82 snex 5389 . . . . . . . . . . . . 13 {βˆ…} ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ {βˆ…} ∈ V)
8442adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ 𝑀:𝒫 βˆͺ π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
8584, 37ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ (π‘€β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
86 elsni 4604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑓 = βˆ…)
8786fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {βˆ…} β†’ (π‘€β€˜π‘“) = (π‘€β€˜βˆ…))
8887, 43sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {βˆ…}) β†’ (π‘€β€˜π‘“) = 0)
8933, 83, 85, 88esumpad2 32712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})(π‘€β€˜π‘“) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“))
90 neldifsnd 4754 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…}))
91 difss 4092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑒
92 ssdomg 8943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ ((𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑒 β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑒))
9333, 91, 92mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑒)
94 domtr 8950 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑒 ∧ 𝑒 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
9593, 39, 94syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
9667ssdifssd 4103 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
97 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
98 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦𝑔
99 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑔𝑦
100 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑦 β†’ 𝑔 = 𝑦)
10198, 99, 100cbvdisj 5081 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
10297, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103 disjss1 5077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑒 β†’ (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 β†’ Disj 𝑦 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})𝑦))
10491, 102, 103mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Disj 𝑦 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})𝑦)
10541, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64carsggect 32975 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ (𝑒 βˆ– {βˆ…})(π‘€β€˜π‘“) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…})))
10689, 105eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…})))
107 unidif0 5316 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…}) = βˆͺ 𝑒
108107fveq2i 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘€β€˜βˆͺ (𝑒 βˆ– {βˆ…})) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒)
109106, 108breqtrdi 5147 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒(π‘€β€˜π‘“) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒))
11069, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑒))
111109, 80, 1103brtr4d 5138 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒))
11281, 111jca 513 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒)))
113 iccssxr 13353 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
11417ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
115114, 69ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116113, 115sselid 3943 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ∈ ℝ*)
117114adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
118117, 76ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
119118ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑒 ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
120 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓𝑒
121120esumcl 32686 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑒 ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
12233, 119, 121syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ (0[,]+∞))
123113, 122sselid 3943 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
124 xrletri3 13079 . . . . . . . 8 ((((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∈ ℝ*) β†’ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ↔ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒))))
125116, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ↔ (((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) ≀ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ∧ Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“) ≀ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒))))
126112, 125mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))
12730, 126sylan2b 595 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))
128127ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))
129128ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))
13017, 25, 1293jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“))))
13114, 12, 20, 54, 62carsgsiga 32979 . . . 4 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑄))
13213, 131eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑄))
133 elrnsiga 32782 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑄) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
134 ismeas 32855 . . 3 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))))
135132, 133, 1343syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((𝑀 β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) β†’ ((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜βˆͺ 𝑒) = Ξ£*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 β†Ύ 𝑆)β€˜π‘“)))))
136130, 135mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύ 𝑆) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866  βˆͺ ciun 4955  Disj wdisj 5071   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰Ό cdom 8884  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195  [,]cicc 13273  Ξ£*cesum 32683  sigAlgebracsiga 32764  measurescmeas 32851  toOMeascoms 32948  toCaraSigaccarsg 32958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-r1 9705  df-rank 9706  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-ordt 17388  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-abv 20290  df-lmod 20338  df-scaf 20339  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32684  df-siga 32765  df-meas 32852  df-oms 32949  df-carsg 32959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator