Theorem omsmeas 34658

Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsmeas.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s	⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
omsmeas	⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmeas.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
2		omsmeas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3		omsf 34631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5		omsmeas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
7	2	fdmd 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
8	7	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅)
9	8	unieqd 4889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 = ∪ dom 𝑅)
10	9	pweqd 4584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 = 𝒫 ∪ dom 𝑅)
11	6, 10	feq12d 6694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
12	4, 11	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
13		omsmeas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
14	1	uniexd 7741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
15	14, 12	carsgcl 34639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
16	13, 15	eqsstrid 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
17	12, 16	fssresd 6746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
18		omsmeas.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19		omsmeas.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
20	5, 1, 2, 18, 19	oms0 34632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	14, 12, 20	0elcarsg 34642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22	21, 13	eleqtrrdi 2880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
23		fvres 6901	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
25	24, 20	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
26		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑔𝑓
27		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑔
28		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
29	26, 27, 28	cbvdisj 5090	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
30	29	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
31	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
32	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
33		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
34	33	elpwid 4576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
35	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
36	34, 35	sstrd 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
37	36	sselda 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
38	37	elpwid 4576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄)
39		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
40	5, 31, 32, 38, 39	omssubadd 34635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
41	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V)
42	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
43	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
44		uniiun 5027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
45	44	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
46	1	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
47	2	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
48		simpl3 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
49		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
50	48, 49	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
51	50	elpwid 4576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
52		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
53	5, 46, 47, 51, 52	omssubadd 34635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
54	45, 53	eqbrtrid 5150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
55	54	3adant1r 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
56	55	3adant1r 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
57	1	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
58	2	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
59		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
60		elpwi 4574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
61	60	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
62	5, 57, 58, 59, 61	omsmon 34633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
63	62	3adant1r 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
64	63	3adant1r 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
65		elpwi 4574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆)
66	65	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
67	66, 13	sseqtrdi 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
68	41, 42, 43, 56, 64, 39, 67	carsgclctun 34656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
69	68, 13	eleqtrrdi 2880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆)
70		fvres 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
71		uniiun 5027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑒 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
72	71	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
73	70, 72	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
74	69, 73	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75		nfv 1941	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
76	66	sselda 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆)
77		fvres 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
79	78	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
80	75, 79	esumeq2d 34372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
81	40, 74, 80	3brtr4d 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
82		snex 5411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅} ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
84	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
85	84, 37	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
86		elsni 4611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
87	86	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅))
88	87, 43	sylan9eqr 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0)
89	33, 83, 85, 88	esumpad2 34391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
90		neldifsnd 4765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
91		difss 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
92		ssdomg 8997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
93	33, 91, 92	mpisyl 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
94		domtr 9004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
95	93, 39, 94	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
96	67	ssdifssd 4109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
97		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
98		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑔
99		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑔𝑦
100		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦)
101	98, 99, 100	cbvdisj 5090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
102	97, 101	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103		disjss1 5086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
104	91, 102, 103	mpsyl 69	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
105	41, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64	carsggect 34653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
106	89, 105	eqbrtrrd 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
107		unidif0 5331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑒 ∖ {∅}) = ∪ 𝑒
108	107	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒)
109	106, 108	breqtrdi 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒))
110	69, 70	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
111	109, 80, 110	3brtr4d 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))
112	81, 111	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))
113		iccssxr 13457	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
114	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
115	114, 69	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116	113, 115	sselid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*)
117	114	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
118	117, 76	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
119	118	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑓𝑒
121	120	esumcl 34365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
122	33, 119, 121	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123	113, 122	sselid 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
124		xrletri3 13179	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
125	116, 123, 124	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
126	112, 125	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
127	30, 126	sylan2b 605	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
128	127	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
129	128	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
130	17, 25, 129	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))
131	14, 12, 20, 54, 62	carsgsiga 34657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
132	13, 131	eqeltrid 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
133		elrnsiga 34461	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
134		ismeas 34534	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
135	132, 133, 134	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
136	130, 135	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ∪ cuni 4876  ∪ ciun 4960  Disj wdisj 5080   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ωcom 7862   ≼ cdom 8941  0cc0 11100  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  [,]cicc 13375  Σ^*cesum 34362  sigAlgebracsiga 34443  measurescmeas 34530  toOMeascoms 34626  toCaraSigaccarsg 34636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-ac2 10447  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-r1 9736  df-rank 9737  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-ordt 17555  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-plusf 18697  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-abv 20890  df-lmod 20961  df-scaf 20962  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-tmd 24198  df-tgp 24199  df-tsms 24253  df-trg 24286  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-nm 24708  df-ngp 24709  df-nrg 24711  df-nlm 24712  df-ii 25005  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-esum 34363  df-siga 34444  df-meas 34531  df-oms 34627  df-carsg 34637

This theorem is referenced by: (None)