| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | omsmeas.o |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉) |
| 2 | | omsmeas.r |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 3 | | omsf 34298 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) →
(toOMeas‘𝑅):𝒫
∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)) |
| 4 | 1, 2, 3 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)) |
| 5 | | omsmeas.m |
. . . . . . 7
⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅) |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)) |
| 7 | 2 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄) |
| 8 | 7 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅) |
| 9 | 8 | unieqd 4920 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 =
∪ dom 𝑅) |
| 10 | 9 | pweqd 4617 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 =
𝒫 ∪ dom 𝑅) |
| 11 | 6, 10 | feq12d 6724 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)
↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom
𝑅⟶(0[,]+∞))) |
| 12 | 4, 11 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 13 | | omsmeas.s |
. . . . 5
⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀) |
| 14 | 1 | uniexd 7762 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄
∈ V) |
| 15 | 14, 12 | carsgcl 34306 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 16 | 13, 15 | eqsstrid 4022 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 17 | 12, 16 | fssresd 6775 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)) |
| 18 | | omsmeas.d |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅) |
| 19 | | omsmeas.0 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0) |
| 20 | 5, 1, 2, 18, 19 | oms0 34299 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0) |
| 21 | 14, 12, 20 | 0elcarsg 34309 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∅ ∈
(toCaraSiga‘𝑀)) |
| 22 | 21, 13 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆) |
| 23 | | fvres 6925 |
. . . . 5
⊢ (∅
∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅)) |
| 24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅)) |
| 25 | 24, 20 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0) |
| 26 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑔𝑓 |
| 27 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑓𝑔 |
| 28 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔) |
| 29 | 26, 27, 28 | cbvdisj 5120 |
. . . . . . 7
⊢
(Disj 𝑓
∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔) |
| 30 | 29 | anbi2i 623 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧
Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) |
| 31 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉) |
| 32 | 2 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 33 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) |
| 34 | 33 | elpwid 4609 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆) |
| 35 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 36 | 34, 35 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 37 | 36 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 38 | 37 | elpwid 4609 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄) |
| 39 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω) |
| 40 | 5, 31, 32, 38, 39 | omssubadd 34302 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪
𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓)) |
| 41 | 14 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V) |
| 42 | 12 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 43 | 20 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0) |
| 44 | | uniiun 5058 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ∪ 𝑥 =
∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 |
| 45 | 44 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) =
(𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) |
| 46 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑄 ∈ 𝑉) |
| 47 | 2 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 48 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 49 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥) |
| 50 | 48, 49 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) |
| 51 | 50 | elpwid 4609 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄) |
| 52 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑥 ≼
ω) |
| 53 | 5, 46, 47, 51, 52 | omssubadd 34302 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
| 54 | 45, 53 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑥)
≤ Σ*𝑦
∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
| 55 | 54 | 3adant1r 1178 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑥)
≤ Σ*𝑦
∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
| 56 | 55 | 3adant1r 1178 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑥)
≤ Σ*𝑦
∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
| 57 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑄 ∈ 𝑉) |
| 58 | 2 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 59 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑥 ⊆ 𝑦) |
| 60 | | elpwi 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄
→ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄) |
| 61 | 60 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄) |
| 62 | 5, 57, 58, 59, 61 | omsmon 34300 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦)) |
| 63 | 62 | 3adant1r 1178 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦)) |
| 64 | 63 | 3adant1r 1178 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦)) |
| 65 | | elpwi 4607 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆) |
| 66 | 65 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆) |
| 67 | 66, 13 | sseqtrdi 4024 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀)) |
| 68 | 41, 42, 43, 56, 64, 39, 67 | carsgclctun 34323 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) |
| 69 | 68, 13 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆) |
| 70 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∪ 𝑒
∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒)) |
| 71 | | uniiun 5058 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ∪ 𝑒 =
∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 |
| 72 | 71 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) =
(𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) |
| 73 | 70, 72 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (∪ 𝑒
∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪
𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) |
| 74 | 69, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪
𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) |
| 75 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) |
| 76 | 66 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆) |
| 77 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓)) |
| 78 | 76, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓)) |
| 79 | 78 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓)) |
| 80 | 75, 79 | esumeq2d 34038 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓)) |
| 81 | 40, 74, 80 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)) |
| 82 | | snex 5436 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {∅}
∈ V |
| 83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈
V) |
| 84 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)) |
| 85 | 84, 37 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
| 86 | | elsni 4643 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅) |
| 87 | 86 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅)) |
| 88 | 87, 43 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0) |
| 89 | 33, 83, 85, 88 | esumpad2 34057 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓)) |
| 90 | | neldifsnd 4793 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖
{∅})) |
| 91 | | difss 4136 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆
𝑒 |
| 92 | | ssdomg 9040 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)) |
| 93 | 33, 91, 92 | mpisyl 21 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒) |
| 94 | | domtr 9047 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼
𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼
ω) |
| 95 | 93, 39, 94 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼
ω) |
| 96 | 67 | ssdifssd 4147 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆
(toCaraSiga‘𝑀)) |
| 97 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔) |
| 98 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑦𝑔 |
| 99 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑔𝑦 |
| 100 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦) |
| 101 | 98, 99, 100 | cbvdisj 5120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(Disj 𝑔
∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦) |
| 102 | 97, 101 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦) |
| 103 | | disjss1 5116 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆
𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)) |
| 104 | 91, 102, 103 | mpsyl 68 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦) |
| 105 | 41, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64 | carsggect 34320 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖
{∅}))) |
| 106 | 89, 105 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖
{∅}))) |
| 107 | | unidif0 5360 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ∪ (𝑒
∖ {∅}) = ∪ 𝑒 |
| 108 | 107 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀‘∪ (𝑒
∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒) |
| 109 | 106, 108 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒)) |
| 110 | 69, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒)) |
| 111 | 109, 80, 110 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)) |
| 112 | 81, 111 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))) |
| 113 | | iccssxr 13470 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0[,]+∞) ⊆ ℝ* |
| 114 | 17 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)) |
| 115 | 114, 69 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈
(0[,]+∞)) |
| 116 | 113, 115 | sselid 3981 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈
ℝ*) |
| 117 | 114 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)) |
| 118 | 117, 76 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
| 119 | 118 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
| 120 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑓𝑒 |
| 121 | 120 | esumcl 34031 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) →
Σ*𝑓 ∈
𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
| 122 | 33, 119, 121 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
| 123 | 113, 122 | sselid 3981 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈
ℝ*) |
| 124 | | xrletri3 13196 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*
∧ Σ*𝑓
∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))) |
| 125 | 116, 123,
124 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))) |
| 126 | 112, 125 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)) |
| 127 | 30, 126 | sylan2b 594 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)) |
| 128 | 127 | ex 412 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))) |
| 129 | 128 | ralrimiva 3146 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))) |
| 130 | 17, 25, 129 | 3jca 1129 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))) |
| 131 | 14, 12, 20, 54, 62 | carsgsiga 34324 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄)) |
| 132 | 13, 131 | eqeltrid 2845 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄)) |
| 133 | | elrnsiga 34127 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄)
→ 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra) |
| 134 | | ismeas 34200 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))) |
| 135 | 132, 133,
134 | 3syl 18 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))) |
| 136 | 130, 135 | mpbird 257 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆)) |