Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmeas 34304
Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omsmeas.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o (𝜑𝑄𝑉)
omsmeas.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
omsmeas (𝜑 → (𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmeas.o . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑉)
2 omsmeas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3 omsf 34277 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5 omsmeas.m . . . . . . 7 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
72fdmd 6746 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
87eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = dom 𝑅)
98unieqd 4924 . . . . . . 7 (𝜑 𝑄 = dom 𝑅)
109pweqd 4621 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑄 = 𝒫 dom 𝑅)
116, 10feq12d 6724 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
124, 11mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
13 omsmeas.s . . . . 5 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
141uniexd 7760 . . . . . 6 (𝜑 𝑄 ∈ V)
1514, 12carsgcl 34285 . . . . 5 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑄)
1613, 15eqsstrid 4043 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 𝑄)
1712, 16fssresd 6775 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
18 omsmeas.d . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19 omsmeas.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
205, 1, 2, 18, 19oms0 34278 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2114, 12, 200elcarsg 34288 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2221, 13eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
23 fvres 6925 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
2524, 20eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑆)‘∅) = 0)
26 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑔𝑓
27 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑓𝑔
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔𝑓 = 𝑔)
2926, 27, 28cbvdisj 5124 . . . . . . 7 (Disj 𝑓𝑒 𝑓Disj 𝑔𝑒 𝑔)
3029anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔))
311ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑄𝑉)
322ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
33 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
3433elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
3516ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑄)
3634, 35sstrd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 𝑄)
3736sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑄)
3837elpwid 4613 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓 𝑄)
39 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
405, 31, 32, 38, 39omssubadd 34281 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀 𝑓𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
4114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ V)
4212ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
4320ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
44 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
4544fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑦𝑥 𝑦)
4613ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑄𝑉)
4723ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
48 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5048, 49sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑄)
5150elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 𝑄)
52 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
535, 46, 47, 51, 52omssubadd 34281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑦𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
5445, 53eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
55543adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
56553adant1r 1176 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
5713ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑄𝑉)
5823ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
59 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑥𝑦)
60 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑄𝑦 𝑄)
61603ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑦 𝑄)
625, 57, 58, 59, 61omsmon 34279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
63623adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
64633adant1r 1176 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
65 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆𝑒𝑆)
6665ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
6766, 13sseqtrdi 4045 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
6841, 42, 43, 56, 64, 39, 67carsgclctun 34302 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
6968, 13eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
70 fvres 6925 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒𝑆 → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑒))
71 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 = 𝑓𝑒 𝑓
7271fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓)
7370, 72eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 ( 𝑒𝑆 → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓))
7469, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓))
75 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑓((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔))
7666sselda 3994 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓𝑆)
77 fvres 6925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑆 → ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
7978ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
8075, 79esumeq2d 34017 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
8140, 74, 803brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
82 snex 5441 . . . . . . . . . . . . 13 {∅} ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
8442adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
8584, 37ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
86 elsni 4647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
8786fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀𝑓) = (𝑀‘∅))
8887, 43sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀𝑓) = 0)
8933, 83, 85, 88esumpad2 34036 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀𝑓) = Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
90 neldifsnd 4797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
91 difss 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
92 ssdomg 9038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
9333, 91, 92mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
94 domtr 9045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
9593, 39, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
9667ssdifssd 4156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
97 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔𝑒 𝑔)
98 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑔
99 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑔𝑦
100 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑦𝑔 = 𝑦)
10198, 99, 100cbvdisj 5124 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑔𝑒 𝑔Disj 𝑦𝑒 𝑦)
10297, 101sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦𝑒 𝑦)
103 disjss1 5120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦𝑒 𝑦Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
10491, 102, 103mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
10541, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64carsggect 34299 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})))
10689, 105eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})))
107 unidif0 5365 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∖ {∅}) = 𝑒
108107fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀 𝑒)
109106, 108breqtrdi 5188 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 𝑒))
11069, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑒))
111109, 80, 1103brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))
11281, 111jca 511 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒)))
113 iccssxr 13466 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
11417ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
115114, 69ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116113, 115sselid 3992 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ ℝ*)
117114adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
118117, 76ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
119118ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑓𝑒
121120esumcl 34010 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
12233, 119, 121syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123113, 122sselid 3992 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
124 xrletri3 13192 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))))
125116, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))))
126112, 125mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
12730, 126sylan2b 594 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
128127ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))
129128ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))
13017, 25, 1293jca 1127 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))))
13114, 12, 20, 54, 62carsgsiga 34303 . . . 4 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄))
13213, 131eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄))
133 elrnsiga 34106 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄) → 𝑆 ran sigAlgebra)
134 ismeas 34179 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))))
135132, 133, 1343syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))))
136130, 135mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4911   ciun 4995  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  cdom 8981  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  *cxr 11291  cle 11293  [,]cicc 13386  Σ*cesum 34007  sigAlgebracsiga 34088  measurescmeas 34175  toOMeascoms 34272  toCaraSigaccarsg 34282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-r1 9801  df-rank 9802  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-abv 20826  df-lmod 20876  df-scaf 20877  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tmd 24095  df-tgp 24096  df-tsms 24150  df-trg 24183  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nrg 24613  df-nlm 24614  df-ii 24916  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-esum 34008  df-siga 34089  df-meas 34176  df-oms 34273  df-carsg 34283
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator