Theorem omsmeas 30853

Description: The restriction of a constructed outer measure to Catatheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsmeas.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s	⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
omsmeas	⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmeas.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
2		omsmeas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3		omsf 30826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5		omsmeas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
7	2	fdmd 6234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
8	7	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅)
9	8	unieqd 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 = ∪ dom 𝑅)
10	9	pweqd 4322	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 = 𝒫 ∪ dom 𝑅)
11	6, 10	feq12d 6213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
12	4, 11	mpbird 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
13		omsmeas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
14		uniexg 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑄 ∈ V)
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
16	15, 12	carsgcl 30834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
17	13, 16	syl5eqss 3811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
18	12, 17	fssresd 6255	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
19		omsmeas.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
20		omsmeas.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
21	5, 1, 2, 19, 20	oms0 30827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
22	15, 12, 21	0elcarsg 30837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
23	22, 13	syl6eleqr 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
24		fvres 6398	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
26	25, 21	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
27		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑔𝑓
28		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑔
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
30	27, 28, 29	cbvdisj 4789	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
31	30	anbi2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
32	1	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
33	2	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
34		simplr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
35	34	elpwid 4329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
36	17	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
37	35, 36	sstrd 3773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
38	37	sselda 3763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
39	38	elpwid 4329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄)
40		simprl 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
41	5, 32, 33, 39, 40	omssubadd 30830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
42	15	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V)
43	12	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
44	21	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
45		uniiun 4731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
46	45	fveq2i 6382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
47	1	3ad2ant1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
48	2	3ad2ant1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
49		simpl3 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
51	49, 50	sseldd 3764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
52	51	elpwid 4329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
53		simp2 1167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
54	5, 47, 48, 52, 53	omssubadd 30830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
55	46, 54	syl5eqbr 4846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
56	55	3adant1r 1223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
57	56	3adant1r 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
58	1	3ad2ant1 1163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
59	2	3ad2ant1 1163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
60		simp2 1167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
61		elpwi 4327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
62	61	3ad2ant3 1165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
63	5, 58, 59, 60, 62	omsmon 30828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
64	63	3adant1r 1223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
65	64	3adant1r 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
66		elpwi 4327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆)
67	66	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
68	67, 13	syl6sseq 3813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
69	42, 43, 44, 57, 65, 40, 68	carsgclctun 30851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
70	69, 13	syl6eleqr 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆)
71		fvres 6398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
72		uniiun 4731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑒 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
73	72	fveq2i 6382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
74	71, 73	syl6eq 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75	70, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
76		nfv 2009	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
77	67	sselda 3763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆)
78		fvres 6398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
80	79	ralrimiva 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
81	76, 80	esumeq2d 30567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
82	41, 75, 81	3brtr4d 4843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
83		snex 5066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅} ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
85	43	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
86	85, 38	ffvelrnd 6554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
87		elsni 4353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
88	87	fveq2d 6383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅))
89	88, 44	sylan9eqr 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0)
90	34, 84, 86, 89	esumpad2 30586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
91		neldifsnd 4480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
92		difss 3901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
93		ssdomg 8210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
94	34, 92, 93	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
95		domtr 8217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
96	94, 40, 95	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
97	68	ssdifssd 3912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
98		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
99		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑔
100		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑔𝑦
101		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦)
102	99, 100, 101	cbvdisj 4789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103	98, 102	sylib 209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
104		disjss1 4785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
105	92, 103, 104	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
106	42, 43, 44, 57, 91, 96, 97, 105, 65	carsggect 30848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
107	90, 106	eqbrtrrd 4835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
108		unidif0 4998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑒 ∖ {∅}) = ∪ 𝑒
109	108	fveq2i 6382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒)
110	107, 109	syl6breq 4852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒))
111	70, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
112	110, 81, 111	3brtr4d 4843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))
113	82, 112	jca 507	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))
114		iccssxr 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
115	18	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
116	115, 70	ffvelrnd 6554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
117	114, 116	sseldi 3761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*)
118	115	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
119	118, 77	ffvelrnd 6554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120	119	ralrimiva 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
121		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑓𝑒
122	121	esumcl 30560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123	34, 120, 122	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
124	114, 123	sseldi 3761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
125		xrletri3 12192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
126	117, 124, 125	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
127	113, 126	mpbird 248	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
128	31, 127	sylan2b 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
129	128	ex 401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
130	129	ralrimiva 3113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
131	18, 26, 130	3jca 1158	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))
132	15, 12, 21, 55, 63	carsgsiga 30852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
133	13, 132	syl5eqel 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
134		elrnsiga 30657	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
135		ismeas 30730	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
136	133, 134, 135	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
137	131, 136	mpbird 248	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055  Vcvv 3350   ∖ cdif 3731   ⊆ wss 3734  ∅c0 4081  𝒫 cpw 4317  {csn 4336  ∪ cuni 4596  ∪ ciun 4678  Disj wdisj 4779   class class class wbr 4811  dom cdm 5279  ran crn 5280   ↾ cres 5281  ⟶wf 6066  ‘cfv 6070  (class class class)co 6846  ωcom 7267   ≼ cdom 8162  0cc0 10193  +∞cpnf 10329  ℝ^*cxr 10331   ≤ cle 10333  [,]cicc 12385  Σ^*cesum 30557  sigAlgebracsiga 30638  measurescmeas 30726  toOMeascoms 30821  toCaraSigaccarsg 30831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-reg 8708  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-ac2 9542  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-r1 8846  df-rank 8847  df-card 9020  df-acn 9023  df-ac 9194  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-ef 15094  df-sin 15096  df-cos 15097  df-pi 15099  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-ordt 16441  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-ps 17480  df-tsr 17481  df-plusf 17521  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-subrg 19061  df-abv 19100  df-lmod 19148  df-scaf 19149  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-tmd 22169  df-tgp 22170  df-tsms 22223  df-trg 22256  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-nm 22680  df-ngp 22681  df-nrg 22683  df-nlm 22684  df-ii 22973  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936  df-log 24608  df-esum 30558  df-siga 30639  df-meas 30727  df-oms 30822  df-carsg 30832

This theorem is referenced by: (None)