Theorem omsmeas 34336

Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsmeas.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s	⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
omsmeas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
omsmeas	⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmeas.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
2		omsmeas.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3		omsf 34309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5		omsmeas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
7	2	fdmd 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
8	7	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅)
9	8	unieqd 4869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 = ∪ dom 𝑅)
10	9	pweqd 4564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 = 𝒫 ∪ dom 𝑅)
11	6, 10	feq12d 6639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
12	4, 11	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
13		omsmeas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
14	1	uniexd 7675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 ∈ V)
15	14, 12	carsgcl 34317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
16	13, 15	eqsstrid 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
17	12, 16	fssresd 6690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
18		omsmeas.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19		omsmeas.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
20	5, 1, 2, 18, 19	oms0 34310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	14, 12, 20	0elcarsg 34320	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
22	21, 13	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
23		fvres 6841	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
25	24, 20	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
26		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑔𝑓
27		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑔
28		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
29	26, 27, 28	cbvdisj 5066	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
30	29	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
31	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉)
32	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
33		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
34	33	elpwid 4556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
35	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
36	34, 35	sstrd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
37	36	sselda 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
38	37	elpwid 4556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄)
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
40	5, 31, 32, 38, 39	omssubadd 34313	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
41	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V)
42	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
43	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
44		uniiun 5005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
45	44	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
46	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
47	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
48		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
50	48, 49	sseldd 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
51	50	elpwid 4556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
52		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
53	5, 46, 47, 51, 52	omssubadd 34313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
54	45, 53	eqbrtrid 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
55	54	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
56	55	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
57	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑉)
58	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
59		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
60		elpwi 4554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
61	60	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄)
62	5, 57, 58, 59, 61	omsmon 34311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
63	62	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
64	63	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
65		elpwi 4554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆)
66	65	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆)
67	66, 13	sseqtrdi 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
68	41, 42, 43, 56, 64, 39, 67	carsgclctun 34334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
69	68, 13	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆)
70		fvres 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
71		uniiun 5005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑒 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓
72	71	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)
73	70, 72	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑒 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
74	69, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓))
75		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔))
76	66	sselda 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆)
77		fvres 6841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
79	78	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓))
80	75, 79	esumeq2d 34050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
81	40, 74, 80	3brtr4d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
82		snex 5372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {∅} ∈ V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
84	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪ 𝑄⟶(0[,]+∞))
85	84, 37	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
86		elsni 4590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
87	86	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅))
88	87, 43	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0)
89	33, 83, 85, 88	esumpad2 34069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓))
90		neldifsnd 4742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
91		difss 4083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
92		ssdomg 8922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
93	33, 91, 92	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
94		domtr 8929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
95	93, 39, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
96	67	ssdifssd 4094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
97		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)
98		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑔
99		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑔𝑦
100		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦)
101	98, 99, 100	cbvdisj 5066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
102	97, 101	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦)
103		disjss1 5062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
104	91, 102, 103	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
105	41, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64	carsggect 34331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
106	89, 105	eqbrtrrd 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})))
107		unidif0 5296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑒 ∖ {∅}) = ∪ 𝑒
108	107	fveq2i 6825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒)
109	106, 108	breqtrdi 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒))
110	69, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒))
111	109, 80, 110	3brtr4d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))
112	81, 111	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))
113		iccssxr 13330	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
114	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
115	114, 69	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116	113, 115	sselid 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*)
117	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
118	117, 76	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
119	118	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120		nfcv 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑓𝑒
121	120	esumcl 34043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
122	33, 119, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123	113, 122	sselid 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
124		xrletri3 13053	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
125	116, 123, 124	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))))
126	112, 125	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
127	30, 126	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))
128	127	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
129	128	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))
130	17, 25, 129	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))
131	14, 12, 20, 54, 62	carsgsiga 34335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
132	13, 131	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄))
133		elrnsiga 34139	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
134		ismeas 34212	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
135	132, 133, 134	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))))
136	130, 135	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4939  Disj wdisj 5056   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ran crn 5615   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ≼ cdom 8867  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248  Σ^*cesum 34040  sigAlgebracsiga 34121  measurescmeas 34208  toOMeascoms 34304  toCaraSigaccarsg 34314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-r1 9657  df-rank 9658  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-plusf 18547  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-abv 20724  df-lmod 20795  df-scaf 20796  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-tmd 23987  df-tgp 23988  df-tsms 24042  df-trg 24075  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-nrg 24500  df-nlm 24501  df-ii 24797  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-esum 34041  df-siga 34122  df-meas 34209  df-oms 34305  df-carsg 34315

This theorem is referenced by: (None)