Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmeas 34074
Description: The restriction of a constructed outer measure to Caratheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omsmeas.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o (𝜑𝑄𝑉)
omsmeas.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
omsmeas (𝜑 → (𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmeas.o . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑉)
2 omsmeas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3 omsf 34047 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5 omsmeas.m . . . . . . 7 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
72fdmd 6733 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
87eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = dom 𝑅)
98unieqd 4922 . . . . . . 7 (𝜑 𝑄 = dom 𝑅)
109pweqd 4621 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑄 = 𝒫 dom 𝑅)
116, 10feq12d 6711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
124, 11mpbird 256 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
13 omsmeas.s . . . . 5 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
141uniexd 7748 . . . . . 6 (𝜑 𝑄 ∈ V)
1514, 12carsgcl 34055 . . . . 5 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑄)
1613, 15eqsstrid 4025 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 𝑄)
1712, 16fssresd 6764 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
18 omsmeas.d . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19 omsmeas.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
205, 1, 2, 18, 19oms0 34048 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2114, 12, 200elcarsg 34058 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2221, 13eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
23 fvres 6915 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
2524, 20eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑆)‘∅) = 0)
26 nfcv 2891 . . . . . . . 8 𝑔𝑓
27 nfcv 2891 . . . . . . . 8 𝑓𝑔
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔𝑓 = 𝑔)
2926, 27, 28cbvdisj 5124 . . . . . . 7 (Disj 𝑓𝑒 𝑓Disj 𝑔𝑒 𝑔)
3029anbi2i 621 . . . . . 6 ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔))
311ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑄𝑉)
322ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
33 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
3433elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
3516ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑄)
3634, 35sstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 𝑄)
3736sselda 3976 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑄)
3837elpwid 4613 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓 𝑄)
39 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
405, 31, 32, 38, 39omssubadd 34051 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀 𝑓𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
4114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ V)
4212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
4320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
44 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
4544fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑦𝑥 𝑦)
4613ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑄𝑉)
4723ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
48 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄)
49 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5048, 49sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑄)
5150elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 𝑄)
52 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
535, 46, 47, 51, 52omssubadd 34051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑦𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
5445, 53eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
55543adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
56553adant1r 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
5713ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑄𝑉)
5823ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
59 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑥𝑦)
60 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑄𝑦 𝑄)
61603ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑦 𝑄)
625, 57, 58, 59, 61omsmon 34049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
63623adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
64633adant1r 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
65 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆𝑒𝑆)
6665ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
6766, 13sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
6841, 42, 43, 56, 64, 39, 67carsgclctun 34072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
6968, 13eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
70 fvres 6915 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒𝑆 → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑒))
71 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 = 𝑓𝑒 𝑓
7271fveq2i 6899 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓)
7370, 72eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ( 𝑒𝑆 → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓))
7469, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓))
75 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 𝑓((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔))
7666sselda 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓𝑆)
77 fvres 6915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑆 → ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
7978ralrimiva 3135 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
8075, 79esumeq2d 33787 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
8140, 74, 803brtr4d 5181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
82 snex 5433 . . . . . . . . . . . . 13 {∅} ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
8442adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
8584, 37ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
86 elsni 4647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
8786fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀𝑓) = (𝑀‘∅))
8887, 43sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀𝑓) = 0)
8933, 83, 85, 88esumpad2 33806 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀𝑓) = Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
90 neldifsnd 4798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
91 difss 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
92 ssdomg 9021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
9333, 91, 92mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
94 domtr 9028 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
9593, 39, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
9667ssdifssd 4139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
97 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔𝑒 𝑔)
98 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑔
99 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑔𝑦
100 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑦𝑔 = 𝑦)
10198, 99, 100cbvdisj 5124 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑔𝑒 𝑔Disj 𝑦𝑒 𝑦)
10297, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦𝑒 𝑦)
103 disjss1 5120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦𝑒 𝑦Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
10491, 102, 103mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
10541, 42, 43, 56, 90, 95, 96, 104, 64carsggect 34069 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})))
10689, 105eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})))
107 unidif0 5360 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∖ {∅}) = 𝑒
108107fveq2i 6899 . . . . . . . . . 10 (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀 𝑒)
109106, 108breqtrdi 5190 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 𝑒))
11069, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑒))
111109, 80, 1103brtr4d 5181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))
11281, 111jca 510 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒)))
113 iccssxr 13442 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
11417ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
115114, 69ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
116113, 115sselid 3974 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ ℝ*)
117114adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
118117, 76ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
119118ralrimiva 3135 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
120 nfcv 2891 . . . . . . . . . . 11 𝑓𝑒
121120esumcl 33780 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
12233, 119, 121syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
123113, 122sselid 3974 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
124 xrletri3 13168 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))))
125116, 123, 124syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))))
126112, 125mpbird 256 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
12730, 126sylan2b 592 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
128127ex 411 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))
129128ralrimiva 3135 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))
13017, 25, 1293jca 1125 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))))
13114, 12, 20, 54, 62carsgsiga 34073 . . . 4 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄))
13213, 131eqeltrid 2829 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄))
133 elrnsiga 33876 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄) → 𝑆 ran sigAlgebra)
134 ismeas 33949 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))))
135132, 133, 1343syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))))
136130, 135mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4909   ciun 4997  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871  cdom 8962  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279  cle 11281  [,]cicc 13362  Σ*cesum 33777  sigAlgebracsiga 33858  measurescmeas 33945  toOMeascoms 34042  toCaraSigaccarsg 34052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-r1 9789  df-rank 9790  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-ordt 17486  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-abv 20709  df-lmod 20757  df-scaf 20758  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tmd 24020  df-tgp 24021  df-tsms 24075  df-trg 24108  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nrg 24538  df-nlm 24539  df-ii 24841  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-esum 33778  df-siga 33859  df-meas 33946  df-oms 34043  df-carsg 34053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator