Theorem elcarsg 32272

Description: Property of being a Caratheodory measurable set. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
elcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒   𝐴,𝑒

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem elcarsg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 32270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4	3	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)}))
5		ineq2 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒 ∩ 𝑎) = (𝑒 ∩ 𝐴))
6	5	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
7		difeq2 4051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒 ∖ 𝑎) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	7	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
9	6, 8	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
10	9	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
11	10	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
12	11	elrab 3624	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
13		elex 3450	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ∈ V)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ∈ V))
15	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
16		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
17	15, 16	ssexd 5248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ V)
18	17	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 → 𝐴 ∈ V))
19		elpwg 4536	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂)))
21	14, 18, 20	pm5.21ndd 381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂))
22	21	anbi1d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
23	12, 22	syl5bb 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
24	4, 23	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006   +_𝑒 cxad 12846  [,]cicc 13082  toCaraSigaccarsg 32268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-carsg 32269

This theorem is referenced by:  baselcarsg  32273  0elcarsg  32274  difelcarsg  32277  inelcarsg  32278  carsgclctunlem1  32284  carsgclctunlem2  32286  carsgclctun  32288