Theorem elcarsg 34937

Description: Property of being a Caratheodory measurable set. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
elcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒   𝐴,𝑒

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem elcarsg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 34935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4	3	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)}))
5		ineq2 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒 ∩ 𝑎) = (𝑒 ∩ 𝐴))
6	5	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
7		difeq2 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒 ∖ 𝑎) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	7	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
9	6, 8	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
10	9	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
11	10	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
12	11	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
13		elex 3471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ∈ V)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ∈ V))
15	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
17	15, 16	ssexd 5285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ V)
18	17	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 → 𝐴 ∈ V))
19		elpwg 4559	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂)))
21	14, 18, 20	pm5.21ndd 382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂))
22	21	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
23	12, 22	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
24	4, 23	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340   +_e cxad 13239  [,]cicc 13479  toCaraSigaccarsg 34933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-carsg 34934

This theorem is used by:  baselcarsg  34938  0elcarsg  34939  difelcarsg  34942  inelcarsg  34943  carsgclctunlem1  34949  carsgclctunlem2  34951  carsgclctun  34953