Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcarsg 31240
Description: Property of being a Catatheodory measurable set. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
elcarsg (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒   𝐴,𝑒
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem elcarsg
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
31, 2carsgval 31238 . . 3 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
43eleq2d 2844 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)}))
5 ineq2 4064 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑒𝑎) = (𝑒𝐴))
65fveq2d 6500 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
7 difeq2 3976 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑒𝑎) = (𝑒𝐴))
87fveq2d 6500 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
96, 8oveq12d 6992 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
109eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
1110ralbidv 3140 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
1211elrab 3588 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
13 elex 3426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂𝐴 ∈ V)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂𝐴 ∈ V))
151adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑂𝑉)
16 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐴𝑂)
1715, 16ssexd 5080 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐴 ∈ V)
1817ex 405 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐴 ∈ V))
19 elpwg 4424 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂𝐴𝑂))
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂𝐴𝑂)))
2114, 18, 20pm5.21ndd 372 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂𝐴𝑂))
2221anbi1d 621 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
2312, 22syl5bb 275 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
244, 23bitrd 271 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  {crab 3085  Vcvv 3408  cdif 3819  cin 3821  wss 3822  𝒫 cpw 4416  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  +∞cpnf 10469   +𝑒 cxad 12320  [,]cicc 12555  toCaraSigaccarsg 31236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-carsg 31237
This theorem is referenced by:  baselcarsg  31241  0elcarsg  31242  difelcarsg  31245  inelcarsg  31246  carsgclctunlem1  31252  carsgclctunlem2  31254  carsgclctun  31256
  Copyright terms: Public domain W3C validator