Theorem elcarsg 32172

Description: Property of being a Caratheodory measurable set. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
elcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒   𝐴,𝑒

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem elcarsg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgval 32170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
4	3	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)}))
5		ineq2 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒 ∩ 𝑎) = (𝑒 ∩ 𝐴))
6	5	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
7		difeq2 4047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒 ∖ 𝑎) = (𝑒 ∖ 𝐴))
8	7	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
9	6, 8	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
10	9	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
11	10	ralbidv 3120	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
12	11	elrab 3617	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
13		elex 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ∈ V)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ∈ V))
15	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
17	15, 16	ssexd 5243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ V)
18	17	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 → 𝐴 ∈ V))
19		elpwg 4533	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂)))
21	14, 18, 20	pm5.21ndd 380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑂))
22	21	anbi1d 629	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
23	12, 22	syl5bb 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
24	4, 23	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  +∞cpnf 10937   +_𝑒 cxad 12775  [,]cicc 13011  toCaraSigaccarsg 32168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-carsg 32169

This theorem is referenced by:  baselcarsg  32173  0elcarsg  32174  difelcarsg  32177  inelcarsg  32178  carsgclctunlem1  32184  carsgclctunlem2  32186  carsgclctun  32188