Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgval 33601
Description: Value of the Caratheodory sigma-Algebra construction function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
carsgval (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)})
Distinct variable groups:   𝑀,π‘Ž,𝑒   𝑂,π‘Ž,𝑒   πœ‘,π‘Ž,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑒,π‘Ž)

Proof of Theorem carsgval
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-carsg 33600 . 2 toCaraSiga = (π‘š ∈ V ↦ {π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘š ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘š((π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘šβ€˜π‘’)})
2 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ π‘š = 𝑀)
32dmeqd 5905 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ dom π‘š = dom 𝑀)
4 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
54fdmd 6728 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
73, 6eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ dom π‘š = 𝒫 𝑂)
87unieqd 4922 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ βˆͺ dom π‘š = βˆͺ 𝒫 𝑂)
9 unipw 5450 . . . . 5 βˆͺ 𝒫 𝑂 = 𝑂
108, 9eqtrdi 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ βˆͺ dom π‘š = 𝑂)
1110pweqd 4619 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ 𝒫 βˆͺ dom π‘š = 𝒫 𝑂)
12 fveq1 6890 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)))
13 fveq1 6890 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž)) = (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž)))
1412, 13oveq12d 7430 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))))
15 fveq1 6890 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘šβ€˜π‘’) = (π‘€β€˜π‘’))
1614, 15eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (((π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘šβ€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)))
1716adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ (((π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘šβ€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)))
1811, 17raleqbidv 3341 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘š((π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘šβ€˜π‘’) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)))
1911, 18rabeqbidv 3448 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š = 𝑀) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘š ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 βˆͺ dom π‘š((π‘šβ€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘šβ€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘šβ€˜π‘’)} = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)})
20 carsgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2120pwexd 5377 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ V)
224, 21fexd 7231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ V)
23 pwexg 5376 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ V)
24 rabexg 5331 . . 3 (𝒫 𝑂 ∈ V β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)} ∈ V)
2520, 23, 243syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)} ∈ V)
261, 19, 22, 25fvmptd2 7006 1 (πœ‘ β†’ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑂 ∣ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ π‘Ž)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– π‘Ž))) = (π‘€β€˜π‘’)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11113  +∞cpnf 11250   +𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  toCaraSigaccarsg 33599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-carsg 33600
This theorem is referenced by:  carsgcl  33602  elcarsg  33603
  Copyright terms: Public domain W3C validator