Theorem carsgval 33600

Description: Value of the Caratheodory sigma-Algebra construction function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
carsgval	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎,𝑒   𝑂,𝑎,𝑒   𝜑,𝑎,𝑒

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑒,𝑎)

Proof of Theorem carsgval

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-carsg 33599	. 2 ⊢ toCaraSiga = (𝑚 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒)})
2		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝑚 = 𝑀)
3	2	dmeqd 5904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = dom 𝑀)
4		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5	4	fdmd 6727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
6	5	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
7	3, 6	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
8	7	unieqd 4921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ∪ dom 𝑚 = ∪ 𝒫 𝑂)
9		unipw 5449	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝑂 = 𝑂
10	8, 9	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ∪ dom 𝑚 = 𝑂)
11	10	pweqd 4618	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝒫 ∪ dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
12		fveq1 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)))
13		fveq1 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎)))
14	12, 13	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))))
15		fveq1 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘𝑒) = (𝑀‘𝑒))
16	14, 15	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)))
17	16	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → (((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)))
18	11, 17	raleqbidv 3340	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)))
19	11, 18	rabeqbidv 3447	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → {𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
20		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20	pwexd 5376	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
22	4, 21	fexd 7230	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
23		pwexg 5375	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
24		rabexg 5330	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ∈ V)
25	20, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ∈ V)
26	1, 19, 22, 25	fvmptd2 7005	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907  dom cdm 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   +_𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  toCaraSigaccarsg 33598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-carsg 33599

This theorem is referenced by:  carsgcl  33601  elcarsg  33602