Theorem carsgval 34287

Description: Value of the Caratheodory sigma-Algebra construction function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
carsgval	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎,𝑒   𝑂,𝑎,𝑒   𝜑,𝑎,𝑒

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑒,𝑎)

Proof of Theorem carsgval

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-carsg 34286	. 2 ⊢ toCaraSiga = (𝑚 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒)})
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝑚 = 𝑀)
3	2	dmeqd 5848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = dom 𝑀)
4		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5	4	fdmd 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
7	3, 6	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
8	7	unieqd 4871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ∪ dom 𝑚 = ∪ 𝒫 𝑂)
9		unipw 5393	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝑂 = 𝑂
10	8, 9	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → ∪ dom 𝑚 = 𝑂)
11	10	pweqd 4568	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝒫 ∪ dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
12		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)))
13		fveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎)) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎)))
14	12, 13	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))))
15		fveq1 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘𝑒) = (𝑀‘𝑒))
16	14, 15	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → (((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)))
18	11, 17	raleqbidv 3309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)))
19	11, 18	rabeqbidv 3413	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = 𝑀) → {𝑎 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 ∪ dom 𝑚((𝑚‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑚‘𝑒)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})
20		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20	pwexd 5318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
22	4, 21	fexd 7163	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
23		pwexg 5317	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
24		rabexg 5276	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ∈ V)
25	20, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)} ∈ V)
26	1, 19, 22, 25	fvmptd2 6938	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑎))) = (𝑀‘𝑒)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  +∞cpnf 11146   +_𝑒 cxad 13012  [,]cicc 13251  toCaraSigaccarsg 34285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-carsg 34286

This theorem is referenced by:  carsgcl  34288  elcarsg  34289