Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgval 34284
Description: Value of the Caratheodory sigma-Algebra construction function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
carsgval (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎,𝑒   𝑂,𝑎,𝑒   𝜑,𝑎,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑒,𝑎)

Proof of Theorem carsgval
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-carsg 34283 . 2 toCaraSiga = (𝑚 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)})
2 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → 𝑚 = 𝑀)
32dmeqd 5918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = dom 𝑀)
4 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
54fdmd 6746 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
73, 6eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
87unieqd 4924 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
9 unipw 5460 . . . . 5 𝒫 𝑂 = 𝑂
108, 9eqtrdi 2790 . . . 4 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝑂)
1110pweqd 4621 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → 𝒫 dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
12 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝑎)))
13 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝑎)))
1412, 13oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))))
15 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑒) = (𝑀𝑒))
1614, 15eqeq12d 2750 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → (((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1811, 17raleqbidv 3343 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1911, 18rabeqbidv 3451 . 2 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
20 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
2120pwexd 5384 . . 3 (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
224, 21fexd 7246 . 2 (𝜑𝑀 ∈ V)
23 pwexg 5383 . . 3 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
24 rabexg 5342 . . 3 (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ∈ V)
2520, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ∈ V)
261, 19, 22, 25fvmptd2 7023 1 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cin 3961  𝒫 cpw 4604   cuni 4911  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  +∞cpnf 11289   +𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  toCaraSigaccarsg 34282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-carsg 34283
This theorem is referenced by:  carsgcl  34285  elcarsg  34286
  Copyright terms: Public domain W3C validator