Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgval 34139
Description: Value of the Caratheodory sigma-Algebra construction function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
carsgval (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎,𝑒   𝑂,𝑎,𝑒   𝜑,𝑎,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑒,𝑎)

Proof of Theorem carsgval
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-carsg 34138 . 2 toCaraSiga = (𝑚 ∈ V ↦ {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)})
2 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → 𝑚 = 𝑀)
32dmeqd 5914 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = dom 𝑀)
4 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
54fdmd 6740 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
65adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑀 = 𝒫 𝑂)
73, 6eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
87unieqd 4928 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
9 unipw 5458 . . . . 5 𝒫 𝑂 = 𝑂
108, 9eqtrdi 2782 . . . 4 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → dom 𝑚 = 𝑂)
1110pweqd 4624 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → 𝒫 dom 𝑚 = 𝒫 𝑂)
12 fveq1 6902 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝑎)))
13 fveq1 6902 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚‘(𝑒𝑎)) = (𝑀‘(𝑒𝑎)))
1412, 13oveq12d 7444 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))))
15 fveq1 6902 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑒) = (𝑀𝑒))
1614, 15eqeq12d 2742 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1716adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → (((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1811, 17raleqbidv 3330 . . 3 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)))
1911, 18rabeqbidv 3437 . 2 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → {𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑚 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑚((𝑚‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑚‘(𝑒𝑎))) = (𝑚𝑒)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
20 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
2120pwexd 5385 . . 3 (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
224, 21fexd 7246 . 2 (𝜑𝑀 ∈ V)
23 pwexg 5384 . . 3 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
24 rabexg 5340 . . 3 (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ∈ V)
2520, 23, 243syl 18 . 2 (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)} ∈ V)
261, 19, 22, 25fvmptd2 7019 1 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑎)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑎))) = (𝑀𝑒)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  cin 3946  𝒫 cpw 4607   cuni 4915  dom cdm 5684  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  0cc0 11160  +∞cpnf 11297   +𝑒 cxad 13146  [,]cicc 13383  toCaraSigaccarsg 34137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-carsg 34138
This theorem is referenced by:  carsgcl  34140  elcarsg  34141
  Copyright terms: Public domain W3C validator