Theorem carsgsiga 34820

Description: The Caratheodory measurable sets constructed from outer measures form a Sigma-algebra. Statement (iii) of Theorem 1.11.4 of [Bogachev] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
carsgsiga	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem carsgsiga

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 34802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4		carsgsiga.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
5	1, 2, 4	baselcarsg 34804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
6	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
7	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9	6, 7, 8	difelcarsg 34808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
10	9	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑂 ∈ 𝑉)
12	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
13	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → (𝑀‘∅) = 0)
14		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
15	14	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
16	15	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
17		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
18	17	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
19	18	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
21		elpwi 4567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀) → 𝑔 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑔 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
23	11, 12, 13, 16, 19, 20, 22	carsgclctun 34819	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
25	24	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
26	5, 10, 25	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))))
27	3, 26	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))))
28		fvex 6895	. . 3 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
29		issiga 34609	. . 3 ⊢ ((toCaraSiga‘𝑀) ∈ V → ((toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ((toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))))))
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ((toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))))
31	27, 30	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ωcom 7865   ≼ cdom 8953  0cc0 11127  +∞cpnf 11267   ≤ cle 11271  [,]cicc 13403  Σ^*cesum 34524  sigAlgebracsiga 34605  toCaraSigaccarsg 34799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-ordt 17591  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-ps 18658  df-tsr 18659  df-plusf 18733  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-abv 20976  df-lmod 21047  df-scaf 21048  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tmd 24299  df-tgp 24300  df-tsms 24354  df-trg 24387  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-nm 24809  df-ngp 24810  df-nrg 24812  df-nlm 24813  df-ii 25106  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-esum 34525  df-siga 34606  df-carsg 34800

This theorem is used by:  omsmeas  34821