Theorem carsgsiga 34841

Description: The Caratheodory measurable sets constructed from outer measures form a Sigma-algebra. Statement (iii) of Theorem 1.11.4 of [Bogachev] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
carsgsiga	⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem carsgsiga

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	carsgcl 34823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂)
4		carsgsiga.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
5	1, 2, 4	baselcarsg 34825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
6	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑂 ∈ 𝑉)
7	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9	6, 7, 8	difelcarsg 34829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
10	9	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
11	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑂 ∈ 𝑉)
12	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
13	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → (𝑀‘∅) = 0)
14		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
15	14	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
16	15	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
17		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
18	17	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
19	18	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
21		elpwi 4567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀) → 𝑔 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → 𝑔 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
23	11, 12, 13, 16, 19, 20, 22	carsgclctun 34840	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) ∧ 𝑔 ≼ ω) → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)) → (𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
25	24	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))
26	5, 10, 25	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))))
27	3, 26	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))))
28		fvex 6895	. . 3 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
29		issiga 34630	. . 3 ⊢ ((toCaraSiga‘𝑀) ∈ V → ((toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ((toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))))))
30	28, 29	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ ((toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)(𝑂 ∖ 𝑔) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝒫 (toCaraSiga‘𝑀)(𝑔 ≼ ω → ∪ 𝑔 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)))))
31	27, 30	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ωcom 7866   ≼ cdom 8954  0cc0 11128  +∞cpnf 11268   ≤ cle 11272  [,]cicc 13405  Σ^*cesum 34545  sigAlgebracsiga 34626  toCaraSigaccarsg 34820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-ordt 17593  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-ps 18660  df-tsr 18661  df-plusf 18735  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-abv 20981  df-lmod 21052  df-scaf 21053  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-tmd 24304  df-tgp 24305  df-tsms 24359  df-trg 24392  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-nm 24814  df-ngp 24815  df-nrg 24817  df-nlm 24818  df-ii 25111  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101  df-log 26801  df-esum 34546  df-siga 34627  df-carsg 34821

This theorem is used by:  omsmeas  34842