Theorem cdleme43aN 38489

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. TODO: FIX COMMENT p. 115 penultimate line: g(f(r)) = (p v q) ^ (g(s) v v₁). (Contributed by NM, 20-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme43.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme43.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme43.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme43.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme43.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme43.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme43.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme43.x	⊢ 𝑋 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ 𝑊)
cdleme43.c	⊢ 𝐶 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.f	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐶 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.d	⊢ 𝐷 = ((𝑆 ∨ 𝑋) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.g	⊢ 𝐺 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.e	⊢ 𝐸 = ((𝐷 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝐷) ∧ 𝑊)))
cdleme43.v	⊢ 𝑉 = ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
cdleme43.y	⊢ 𝑌 = ((𝑅 ∨ 𝐷) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme43aN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ 𝑉)))

Proof of Theorem cdleme43aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme43.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
2		cdleme43.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdleme43.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjcom 37368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
5		cdleme43.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
6	5	oveq2i 7279	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∨ 𝑉) = (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐷 ∨ 𝑉) = (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
8	4, 7	oveq12d 7286	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ 𝑉)) = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))))
9	1, 8	eqtr4id 2797	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  Basecbs 16900  lecple 16957  joincjn 18017  meetcmee 18018  Atomscatm 37263  HLchlt 37350  LHypclh 37984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-lub 18052  df-join 18054  df-lat 18138  df-ats 37267  df-atl 37298  df-cvlat 37322  df-hlat 37351

This theorem is referenced by: (None)