Theorem cdleme43aN 40952

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. TODO: FIX COMMENT p. 115 penultimate line: g(f(r)) = (p v q) ^ (g(s) v v₁). (Contributed by NM, 20-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme43.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme43.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme43.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme43.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme43.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme43.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme43.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme43.x	⊢ 𝑋 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ 𝑊)
cdleme43.c	⊢ 𝐶 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.f	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐶 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.d	⊢ 𝐷 = ((𝑆 ∨ 𝑋) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.g	⊢ 𝐺 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme43.e	⊢ 𝐸 = ((𝐷 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝐷) ∧ 𝑊)))
cdleme43.v	⊢ 𝑉 = ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
cdleme43.y	⊢ 𝑌 = ((𝑅 ∨ 𝐷) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme43aN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ 𝑉)))

Proof of Theorem cdleme43aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme43.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
2		cdleme43.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdleme43.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjcom 39831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
5		cdleme43.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
6	5	oveq2i 7372	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∨ 𝑉) = (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐷 ∨ 𝑉) = (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
8	4, 7	oveq12d 7379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ 𝑉)) = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑍 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))))
9	1, 8	eqtr4id 2791	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  lecple 17221  joincjn 18271  meetcmee 18272  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  LHypclh 40447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-lub 18304  df-join 18306  df-lat 18392  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814

This theorem is referenced by: (None)