Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme43aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme43aN 40201
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. TODO: FIX COMMENT p. 115 penultimate line: g(f(r)) = (p v q) ^ (g(s) v v1). (Contributed by NM, 20-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme43.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme43.l = (le‘𝐾)
cdleme43.j = (join‘𝐾)
cdleme43.m = (meet‘𝐾)
cdleme43.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme43.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme43.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme43.x 𝑋 = ((𝑄 𝑃) 𝑊)
cdleme43.c 𝐶 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme43.f 𝑍 = ((𝑃 𝑄) (𝐶 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
cdleme43.d 𝐷 = ((𝑆 𝑋) (𝑃 ((𝑄 𝑆) 𝑊)))
cdleme43.g 𝐺 = ((𝑄 𝑃) (𝐷 ((𝑍 𝑆) 𝑊)))
cdleme43.e 𝐸 = ((𝐷 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝐷) 𝑊)))
cdleme43.v 𝑉 = ((𝑍 𝑆) 𝑊)
cdleme43.y 𝑌 = ((𝑅 𝐷) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme43aN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 𝑉)))

Proof of Theorem cdleme43aN
StepHypRef Expression
1 cdleme43.g . 2 𝐺 = ((𝑄 𝑃) (𝐷 ((𝑍 𝑆) 𝑊)))
2 cdleme43.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 cdleme43.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjcom 39079 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
5 cdleme43.v . . . . 5 𝑉 = ((𝑍 𝑆) 𝑊)
65oveq2i 7427 . . . 4 (𝐷 𝑉) = (𝐷 ((𝑍 𝑆) 𝑊))
76a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝐷 𝑉) = (𝐷 ((𝑍 𝑆) 𝑊)))
84, 7oveq12d 7434 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) (𝐷 𝑉)) = ((𝑄 𝑃) (𝐷 ((𝑍 𝑆) 𝑊))))
91, 8eqtr4id 2785 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  lecple 17268  joincjn 18331  meetcmee 18332  Atomscatm 38974  HLchlt 39061  LHypclh 39696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-lub 18366  df-join 18368  df-lat 18452  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator