Theorem hlatjcom 40242

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18536 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40237	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40163	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40163	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18536	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  joincjn 18400  Latclat 18520  Atomscatm 40137  HLchlt 40224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18433  df-join 18435  df-lat 18521  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225

This theorem is used by:  hlatj12  40245  hlatjrot  40247  hlatlej2  40250  atbtwnex  40322  3noncolr2  40323  hlatcon2  40326  3dimlem2  40333  3dimlem3  40335  3dimlem3OLDN  40336  3dimlem4  40338  3dimlem4OLDN  40339  ps-1  40351  hlatexch4  40355  lplnribN  40425  4atlem10  40480  4atlem11  40483  dalemswapyz  40530  dalem-cly  40545  dalemswapyzps  40564  dalem24  40571  dalem25  40572  dalem44  40590  2llnma1  40661  2llnma3r  40662  2llnma2rN  40664  llnexchb2  40743  dalawlem4  40748  dalawlem5  40749  dalawlem9  40753  dalawlem11  40755  dalawlem12  40756  dalawlem15  40759  4atexlemex2  40945  4atexlemcnd  40946  ltrncnv  41020  trlcnv  41039  cdlemc6  41070  cdleme7aa  41116  cdleme12  41145  cdleme15a  41148  cdleme15c  41150  cdleme17c  41162  cdlemeda  41172  cdleme19a  41177  cdleme19e  41181  cdleme20bN  41184  cdleme20g  41189  cdleme20m  41197  cdleme21c  41201  cdleme22f  41220  cdleme22g  41222  cdleme35b  41324  cdleme35f  41328  cdleme37m  41336  cdleme39a  41339  cdleme42h  41356  cdleme43aN  41363  cdleme43bN  41364  cdleme43dN  41366  cdleme46f2g2  41367  cdleme46f2g1  41368  cdlemeg46c  41387  cdlemeg46nlpq  41391  cdlemeg46ngfr  41392  cdlemeg46rgv  41402  cdlemeg46gfv  41404  cdlemg2kq  41476  cdlemg4a  41482  cdlemg4d  41487  cdlemg4  41491  cdlemg8c  41503  cdlemg11aq  41512  cdlemg10a  41514  cdlemg12g  41523  cdlemg12  41524  cdlemg13  41526  cdlemg17pq  41546  cdlemg18b  41553  cdlemg18c  41554  cdlemg19  41558  cdlemg21  41560  cdlemk7  41722  cdlemk7u  41744  cdlemkfid1N  41795  dia2dimlem1  41938  dia2dimlem3  41940  dihjatcclem3  42294  dihjat  42297