Theorem hlatjcom 39860

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18404 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39855	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39781	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39781	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18404	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1166	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  joincjn 18268  Latclat 18388  Atomscatm 39755  HLchlt 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-lub 18301  df-join 18303  df-lat 18389  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843

This theorem is referenced by:  hlatj12  39863  hlatjrot  39865  hlatlej2  39868  atbtwnex  39940  3noncolr2  39941  hlatcon2  39944  3dimlem2  39951  3dimlem3  39953  3dimlem3OLDN  39954  3dimlem4  39956  3dimlem4OLDN  39957  ps-1  39969  hlatexch4  39973  lplnribN  40043  4atlem10  40098  4atlem11  40101  dalemswapyz  40148  dalem-cly  40163  dalemswapyzps  40182  dalem24  40189  dalem25  40190  dalem44  40208  2llnma1  40279  2llnma3r  40280  2llnma2rN  40282  llnexchb2  40361  dalawlem4  40366  dalawlem5  40367  dalawlem9  40371  dalawlem11  40373  dalawlem12  40374  dalawlem15  40377  4atexlemex2  40563  4atexlemcnd  40564  ltrncnv  40638  trlcnv  40657  cdlemc6  40688  cdleme7aa  40734  cdleme12  40763  cdleme15a  40766  cdleme15c  40768  cdleme17c  40780  cdlemeda  40790  cdleme19a  40795  cdleme19e  40799  cdleme20bN  40802  cdleme20g  40807  cdleme20m  40815  cdleme21c  40819  cdleme22f  40838  cdleme22g  40840  cdleme35b  40942  cdleme35f  40946  cdleme37m  40954  cdleme39a  40957  cdleme42h  40974  cdleme43aN  40981  cdleme43bN  40982  cdleme43dN  40984  cdleme46f2g2  40985  cdleme46f2g1  40986  cdlemeg46c  41005  cdlemeg46nlpq  41009  cdlemeg46ngfr  41010  cdlemeg46rgv  41020  cdlemeg46gfv  41022  cdlemg2kq  41094  cdlemg4a  41100  cdlemg4d  41105  cdlemg4  41109  cdlemg8c  41121  cdlemg11aq  41130  cdlemg10a  41132  cdlemg12g  41141  cdlemg12  41142  cdlemg13  41144  cdlemg17pq  41164  cdlemg18b  41171  cdlemg18c  41172  cdlemg19  41176  cdlemg21  41178  cdlemk7  41340  cdlemk7u  41362  cdlemkfid1N  41413  dia2dimlem1  41556  dia2dimlem3  41558  dihjatcclem3  41912  dihjat  41915