Theorem hlatjcom 39349

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18504 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39344	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39270	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39270	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18504	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1159	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  joincjn 18368  Latclat 18488  Atomscatm 39244  HLchlt 39331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18403  df-join 18405  df-lat 18489  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332

This theorem is referenced by:  hlatj12  39352  hlatjrot  39354  hlatlej2  39357  atbtwnex  39430  3noncolr2  39431  hlatcon2  39434  3dimlem2  39441  3dimlem3  39443  3dimlem3OLDN  39444  3dimlem4  39446  3dimlem4OLDN  39447  ps-1  39459  hlatexch4  39463  lplnribN  39533  4atlem10  39588  4atlem11  39591  dalemswapyz  39638  dalem-cly  39653  dalemswapyzps  39672  dalem24  39679  dalem25  39680  dalem44  39698  2llnma1  39769  2llnma3r  39770  2llnma2rN  39772  llnexchb2  39851  dalawlem4  39856  dalawlem5  39857  dalawlem9  39861  dalawlem11  39863  dalawlem12  39864  dalawlem15  39867  4atexlemex2  40053  4atexlemcnd  40054  ltrncnv  40128  trlcnv  40147  cdlemc6  40178  cdleme7aa  40224  cdleme12  40253  cdleme15a  40256  cdleme15c  40258  cdleme17c  40270  cdlemeda  40280  cdleme19a  40285  cdleme19e  40289  cdleme20bN  40292  cdleme20g  40297  cdleme20m  40305  cdleme21c  40309  cdleme22f  40328  cdleme22g  40330  cdleme35b  40432  cdleme35f  40436  cdleme37m  40444  cdleme39a  40447  cdleme42h  40464  cdleme43aN  40471  cdleme43bN  40472  cdleme43dN  40474  cdleme46f2g2  40475  cdleme46f2g1  40476  cdlemeg46c  40495  cdlemeg46nlpq  40499  cdlemeg46ngfr  40500  cdlemeg46rgv  40510  cdlemeg46gfv  40512  cdlemg2kq  40584  cdlemg4a  40590  cdlemg4d  40595  cdlemg4  40599  cdlemg8c  40611  cdlemg11aq  40620  cdlemg10a  40622  cdlemg12g  40631  cdlemg12  40632  cdlemg13  40634  cdlemg17pq  40654  cdlemg18b  40661  cdlemg18c  40662  cdlemg19  40666  cdlemg21  40668  cdlemk7  40830  cdlemk7u  40852  cdlemkfid1N  40903  dia2dimlem1  41046  dia2dimlem3  41048  dihjatcclem3  41402  dihjat  41405