Theorem hlatjcom 39466

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18353 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39461	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39387	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39387	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18353	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  joincjn 18217  Latclat 18337  Atomscatm 39361  HLchlt 39448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449

This theorem is referenced by:  hlatj12  39469  hlatjrot  39471  hlatlej2  39474  atbtwnex  39546  3noncolr2  39547  hlatcon2  39550  3dimlem2  39557  3dimlem3  39559  3dimlem3OLDN  39560  3dimlem4  39562  3dimlem4OLDN  39563  ps-1  39575  hlatexch4  39579  lplnribN  39649  4atlem10  39704  4atlem11  39707  dalemswapyz  39754  dalem-cly  39769  dalemswapyzps  39788  dalem24  39795  dalem25  39796  dalem44  39814  2llnma1  39885  2llnma3r  39886  2llnma2rN  39888  llnexchb2  39967  dalawlem4  39972  dalawlem5  39973  dalawlem9  39977  dalawlem11  39979  dalawlem12  39980  dalawlem15  39983  4atexlemex2  40169  4atexlemcnd  40170  ltrncnv  40244  trlcnv  40263  cdlemc6  40294  cdleme7aa  40340  cdleme12  40369  cdleme15a  40372  cdleme15c  40374  cdleme17c  40386  cdlemeda  40396  cdleme19a  40401  cdleme19e  40405  cdleme20bN  40408  cdleme20g  40413  cdleme20m  40421  cdleme21c  40425  cdleme22f  40444  cdleme22g  40446  cdleme35b  40548  cdleme35f  40552  cdleme37m  40560  cdleme39a  40563  cdleme42h  40580  cdleme43aN  40587  cdleme43bN  40588  cdleme43dN  40590  cdleme46f2g2  40591  cdleme46f2g1  40592  cdlemeg46c  40611  cdlemeg46nlpq  40615  cdlemeg46ngfr  40616  cdlemeg46rgv  40626  cdlemeg46gfv  40628  cdlemg2kq  40700  cdlemg4a  40706  cdlemg4d  40711  cdlemg4  40715  cdlemg8c  40727  cdlemg11aq  40736  cdlemg10a  40738  cdlemg12g  40747  cdlemg12  40748  cdlemg13  40750  cdlemg17pq  40770  cdlemg18b  40777  cdlemg18c  40778  cdlemg19  40782  cdlemg21  40784  cdlemk7  40946  cdlemk7u  40968  cdlemkfid1N  41019  dia2dimlem1  41162  dia2dimlem3  41164  dihjatcclem3  41518  dihjat  41521