Theorem hlatjcom 39814

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18413 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39809	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39735	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39735	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18413	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1161	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  joincjn 18277  Latclat 18397  Atomscatm 39709  HLchlt 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-lub 18310  df-join 18312  df-lat 18398  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797

This theorem is referenced by:  hlatj12  39817  hlatjrot  39819  hlatlej2  39822  atbtwnex  39894  3noncolr2  39895  hlatcon2  39898  3dimlem2  39905  3dimlem3  39907  3dimlem3OLDN  39908  3dimlem4  39910  3dimlem4OLDN  39911  ps-1  39923  hlatexch4  39927  lplnribN  39997  4atlem10  40052  4atlem11  40055  dalemswapyz  40102  dalem-cly  40117  dalemswapyzps  40136  dalem24  40143  dalem25  40144  dalem44  40162  2llnma1  40233  2llnma3r  40234  2llnma2rN  40236  llnexchb2  40315  dalawlem4  40320  dalawlem5  40321  dalawlem9  40325  dalawlem11  40327  dalawlem12  40328  dalawlem15  40331  4atexlemex2  40517  4atexlemcnd  40518  ltrncnv  40592  trlcnv  40611  cdlemc6  40642  cdleme7aa  40688  cdleme12  40717  cdleme15a  40720  cdleme15c  40722  cdleme17c  40734  cdlemeda  40744  cdleme19a  40749  cdleme19e  40753  cdleme20bN  40756  cdleme20g  40761  cdleme20m  40769  cdleme21c  40773  cdleme22f  40792  cdleme22g  40794  cdleme35b  40896  cdleme35f  40900  cdleme37m  40908  cdleme39a  40911  cdleme42h  40928  cdleme43aN  40935  cdleme43bN  40936  cdleme43dN  40938  cdleme46f2g2  40939  cdleme46f2g1  40940  cdlemeg46c  40959  cdlemeg46nlpq  40963  cdlemeg46ngfr  40964  cdlemeg46rgv  40974  cdlemeg46gfv  40976  cdlemg2kq  41048  cdlemg4a  41054  cdlemg4d  41059  cdlemg4  41063  cdlemg8c  41075  cdlemg11aq  41084  cdlemg10a  41086  cdlemg12g  41095  cdlemg12  41096  cdlemg13  41098  cdlemg17pq  41118  cdlemg18b  41125  cdlemg18c  41126  cdlemg19  41130  cdlemg21  41132  cdlemk7  41294  cdlemk7u  41316  cdlemkfid1N  41367  dia2dimlem1  41510  dia2dimlem3  41512  dihjatcclem3  41866  dihjat  41869