Theorem hlatjcom 40162

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18498 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40157	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40083	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40083	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  joincjn 18362  Latclat 18482  Atomscatm 40057  HLchlt 40144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-lub 18395  df-join 18397  df-lat 18483  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145

This theorem is referenced by:  hlatj12  40165  hlatjrot  40167  hlatlej2  40170  atbtwnex  40242  3noncolr2  40243  hlatcon2  40246  3dimlem2  40253  3dimlem3  40255  3dimlem3OLDN  40256  3dimlem4  40258  3dimlem4OLDN  40259  ps-1  40271  hlatexch4  40275  lplnribN  40345  4atlem10  40400  4atlem11  40403  dalemswapyz  40450  dalem-cly  40465  dalemswapyzps  40484  dalem24  40491  dalem25  40492  dalem44  40510  2llnma1  40581  2llnma3r  40582  2llnma2rN  40584  llnexchb2  40663  dalawlem4  40668  dalawlem5  40669  dalawlem9  40673  dalawlem11  40675  dalawlem12  40676  dalawlem15  40679  4atexlemex2  40865  4atexlemcnd  40866  ltrncnv  40940  trlcnv  40959  cdlemc6  40990  cdleme7aa  41036  cdleme12  41065  cdleme15a  41068  cdleme15c  41070  cdleme17c  41082  cdlemeda  41092  cdleme19a  41097  cdleme19e  41101  cdleme20bN  41104  cdleme20g  41109  cdleme20m  41117  cdleme21c  41121  cdleme22f  41140  cdleme22g  41142  cdleme35b  41244  cdleme35f  41248  cdleme37m  41256  cdleme39a  41259  cdleme42h  41276  cdleme43aN  41283  cdleme43bN  41284  cdleme43dN  41286  cdleme46f2g2  41287  cdleme46f2g1  41288  cdlemeg46c  41307  cdlemeg46nlpq  41311  cdlemeg46ngfr  41312  cdlemeg46rgv  41322  cdlemeg46gfv  41324  cdlemg2kq  41396  cdlemg4a  41402  cdlemg4d  41407  cdlemg4  41411  cdlemg8c  41423  cdlemg11aq  41432  cdlemg10a  41434  cdlemg12g  41443  cdlemg12  41444  cdlemg13  41446  cdlemg17pq  41466  cdlemg18b  41473  cdlemg18c  41474  cdlemg19  41478  cdlemg21  41480  cdlemk7  41642  cdlemk7u  41664  cdlemkfid1N  41715  dia2dimlem1  41858  dia2dimlem3  41860  dihjatcclem3  42214  dihjat  42217