Theorem hlatjcom 39628

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18370 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39623	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39549	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39549	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  joincjn 18234  Latclat 18354  Atomscatm 39523  HLchlt 39610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18267  df-join 18269  df-lat 18355  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611

This theorem is referenced by:  hlatj12  39631  hlatjrot  39633  hlatlej2  39636  atbtwnex  39708  3noncolr2  39709  hlatcon2  39712  3dimlem2  39719  3dimlem3  39721  3dimlem3OLDN  39722  3dimlem4  39724  3dimlem4OLDN  39725  ps-1  39737  hlatexch4  39741  lplnribN  39811  4atlem10  39866  4atlem11  39869  dalemswapyz  39916  dalem-cly  39931  dalemswapyzps  39950  dalem24  39957  dalem25  39958  dalem44  39976  2llnma1  40047  2llnma3r  40048  2llnma2rN  40050  llnexchb2  40129  dalawlem4  40134  dalawlem5  40135  dalawlem9  40139  dalawlem11  40141  dalawlem12  40142  dalawlem15  40145  4atexlemex2  40331  4atexlemcnd  40332  ltrncnv  40406  trlcnv  40425  cdlemc6  40456  cdleme7aa  40502  cdleme12  40531  cdleme15a  40534  cdleme15c  40536  cdleme17c  40548  cdlemeda  40558  cdleme19a  40563  cdleme19e  40567  cdleme20bN  40570  cdleme20g  40575  cdleme20m  40583  cdleme21c  40587  cdleme22f  40606  cdleme22g  40608  cdleme35b  40710  cdleme35f  40714  cdleme37m  40722  cdleme39a  40725  cdleme42h  40742  cdleme43aN  40749  cdleme43bN  40750  cdleme43dN  40752  cdleme46f2g2  40753  cdleme46f2g1  40754  cdlemeg46c  40773  cdlemeg46nlpq  40777  cdlemeg46ngfr  40778  cdlemeg46rgv  40788  cdlemeg46gfv  40790  cdlemg2kq  40862  cdlemg4a  40868  cdlemg4d  40873  cdlemg4  40877  cdlemg8c  40889  cdlemg11aq  40898  cdlemg10a  40900  cdlemg12g  40909  cdlemg12  40910  cdlemg13  40912  cdlemg17pq  40932  cdlemg18b  40939  cdlemg18c  40940  cdlemg19  40944  cdlemg21  40946  cdlemk7  41108  cdlemk7u  41130  cdlemkfid1N  41181  dia2dimlem1  41324  dia2dimlem3  41326  dihjatcclem3  41680  dihjat  41683