Theorem hlatjcom 39477

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18353 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39472	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39398	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39398	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18353	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  joincjn 18217  Latclat 18337  Atomscatm 39372  HLchlt 39459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460

This theorem is referenced by:  hlatj12  39480  hlatjrot  39482  hlatlej2  39485  atbtwnex  39557  3noncolr2  39558  hlatcon2  39561  3dimlem2  39568  3dimlem3  39570  3dimlem3OLDN  39571  3dimlem4  39573  3dimlem4OLDN  39574  ps-1  39586  hlatexch4  39590  lplnribN  39660  4atlem10  39715  4atlem11  39718  dalemswapyz  39765  dalem-cly  39780  dalemswapyzps  39799  dalem24  39806  dalem25  39807  dalem44  39825  2llnma1  39896  2llnma3r  39897  2llnma2rN  39899  llnexchb2  39978  dalawlem4  39983  dalawlem5  39984  dalawlem9  39988  dalawlem11  39990  dalawlem12  39991  dalawlem15  39994  4atexlemex2  40180  4atexlemcnd  40181  ltrncnv  40255  trlcnv  40274  cdlemc6  40305  cdleme7aa  40351  cdleme12  40380  cdleme15a  40383  cdleme15c  40385  cdleme17c  40397  cdlemeda  40407  cdleme19a  40412  cdleme19e  40416  cdleme20bN  40419  cdleme20g  40424  cdleme20m  40432  cdleme21c  40436  cdleme22f  40455  cdleme22g  40457  cdleme35b  40559  cdleme35f  40563  cdleme37m  40571  cdleme39a  40574  cdleme42h  40591  cdleme43aN  40598  cdleme43bN  40599  cdleme43dN  40601  cdleme46f2g2  40602  cdleme46f2g1  40603  cdlemeg46c  40622  cdlemeg46nlpq  40626  cdlemeg46ngfr  40627  cdlemeg46rgv  40637  cdlemeg46gfv  40639  cdlemg2kq  40711  cdlemg4a  40717  cdlemg4d  40722  cdlemg4  40726  cdlemg8c  40738  cdlemg11aq  40747  cdlemg10a  40749  cdlemg12g  40758  cdlemg12  40759  cdlemg13  40761  cdlemg17pq  40781  cdlemg18b  40788  cdlemg18c  40789  cdlemg19  40793  cdlemg21  40795  cdlemk7  40957  cdlemk7u  40979  cdlemkfid1N  41030  dia2dimlem1  41173  dia2dimlem3  41175  dihjatcclem3  41529  dihjat  41532