Theorem hlatjcom 40691

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18671 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40686	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40612	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40612	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18671	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  joincjn 18535  Latclat 18655  Atomscatm 40586  HLchlt 40673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-lub 18568  df-join 18570  df-lat 18656  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674

This theorem is used by:  hlatj12  40694  hlatjrot  40696  hlatlej2  40699  atbtwnex  40771  3noncolr2  40772  hlatcon2  40775  3dimlem2  40782  3dimlem3  40784  3dimlem3OLDN  40785  3dimlem4  40787  3dimlem4OLDN  40788  ps-1  40800  hlatexch4  40804  lplnribN  40874  4atlem10  40929  4atlem11  40932  dalemswapyz  40979  dalem-cly  40994  dalemswapyzps  41013  dalem24  41020  dalem25  41021  dalem44  41039  2llnma1  41110  2llnma3r  41111  2llnma2rN  41113  llnexchb2  41192  dalawlem4  41197  dalawlem5  41198  dalawlem9  41202  dalawlem11  41204  dalawlem12  41205  dalawlem15  41208  4atexlemex2  41394  4atexlemcnd  41395  ltrncnv  41469  trlcnv  41488  cdlemc6  41519  cdleme7aa  41565  cdleme12  41594  cdleme15a  41597  cdleme15c  41599  cdleme17c  41611  cdlemeda  41621  cdleme19a  41626  cdleme19e  41630  cdleme20bN  41633  cdleme20g  41638  cdleme20m  41646  cdleme21c  41650  cdleme22f  41669  cdleme22g  41671  cdleme35b  41773  cdleme35f  41777  cdleme37m  41785  cdleme39a  41788  cdleme42h  41805  cdleme43aN  41812  cdleme43bN  41813  cdleme43dN  41815  cdleme46f2g2  41816  cdleme46f2g1  41817  cdlemeg46c  41836  cdlemeg46nlpq  41840  cdlemeg46ngfr  41841  cdlemeg46rgv  41851  cdlemeg46gfv  41853  cdlemg2kq  41925  cdlemg4a  41931  cdlemg4d  41936  cdlemg4  41940  cdlemg8c  41952  cdlemg11aq  41961  cdlemg10a  41963  cdlemg12g  41972  cdlemg12  41973  cdlemg13  41975  cdlemg17pq  41995  cdlemg18b  42002  cdlemg18c  42003  cdlemg19  42007  cdlemg21  42009  cdlemk7  42171  cdlemk7u  42193  cdlemkfid1N  42244  dia2dimlem1  42387  dia2dimlem3  42389  dihjatcclem3  42743  dihjat  42746