Theorem hlatjcom 40027

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18499 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40022	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39948	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39948	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1176	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  joincjn 18363  Latclat 18483  Atomscatm 39922  HLchlt 40009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-lub 18396  df-join 18398  df-lat 18484  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010

This theorem is referenced by:  hlatj12  40030  hlatjrot  40032  hlatlej2  40035  atbtwnex  40107  3noncolr2  40108  hlatcon2  40111  3dimlem2  40118  3dimlem3  40120  3dimlem3OLDN  40121  3dimlem4  40123  3dimlem4OLDN  40124  ps-1  40136  hlatexch4  40140  lplnribN  40210  4atlem10  40265  4atlem11  40268  dalemswapyz  40315  dalem-cly  40330  dalemswapyzps  40349  dalem24  40356  dalem25  40357  dalem44  40375  2llnma1  40446  2llnma3r  40447  2llnma2rN  40449  llnexchb2  40528  dalawlem4  40533  dalawlem5  40534  dalawlem9  40538  dalawlem11  40540  dalawlem12  40541  dalawlem15  40544  4atexlemex2  40730  4atexlemcnd  40731  ltrncnv  40805  trlcnv  40824  cdlemc6  40855  cdleme7aa  40901  cdleme12  40930  cdleme15a  40933  cdleme15c  40935  cdleme17c  40947  cdlemeda  40957  cdleme19a  40962  cdleme19e  40966  cdleme20bN  40969  cdleme20g  40974  cdleme20m  40982  cdleme21c  40986  cdleme22f  41005  cdleme22g  41007  cdleme35b  41109  cdleme35f  41113  cdleme37m  41121  cdleme39a  41124  cdleme42h  41141  cdleme43aN  41148  cdleme43bN  41149  cdleme43dN  41151  cdleme46f2g2  41152  cdleme46f2g1  41153  cdlemeg46c  41172  cdlemeg46nlpq  41176  cdlemeg46ngfr  41177  cdlemeg46rgv  41187  cdlemeg46gfv  41189  cdlemg2kq  41261  cdlemg4a  41267  cdlemg4d  41272  cdlemg4  41276  cdlemg8c  41288  cdlemg11aq  41297  cdlemg10a  41299  cdlemg12g  41308  cdlemg12  41309  cdlemg13  41311  cdlemg17pq  41331  cdlemg18b  41338  cdlemg18c  41339  cdlemg19  41343  cdlemg21  41345  cdlemk7  41507  cdlemk7u  41529  cdlemkfid1N  41580  dia2dimlem1  41723  dia2dimlem3  41725  dihjatcclem3  42079  dihjat  42082