Theorem hlatjcom 36664

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 17661 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 36659	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 36585	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 36585	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 17661	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1157	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36559  HLchlt 36646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-lub 17576  df-join 17578  df-lat 17648  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647

This theorem is referenced by:  hlatj12  36667  hlatjrot  36669  hlatlej2  36672  atbtwnex  36744  3noncolr2  36745  hlatcon2  36748  3dimlem2  36755  3dimlem3  36757  3dimlem3OLDN  36758  3dimlem4  36760  3dimlem4OLDN  36761  ps-1  36773  hlatexch4  36777  lplnribN  36847  4atlem10  36902  4atlem11  36905  dalemswapyz  36952  dalem-cly  36967  dalemswapyzps  36986  dalem24  36993  dalem25  36994  dalem44  37012  2llnma1  37083  2llnma3r  37084  2llnma2rN  37086  llnexchb2  37165  dalawlem4  37170  dalawlem5  37171  dalawlem9  37175  dalawlem11  37177  dalawlem12  37178  dalawlem15  37181  4atexlemex2  37367  4atexlemcnd  37368  ltrncnv  37442  trlcnv  37461  cdlemc6  37492  cdleme7aa  37538  cdleme12  37567  cdleme15a  37570  cdleme15c  37572  cdleme17c  37584  cdlemeda  37594  cdleme19a  37599  cdleme19e  37603  cdleme20bN  37606  cdleme20g  37611  cdleme20m  37619  cdleme21c  37623  cdleme22f  37642  cdleme22g  37644  cdleme35b  37746  cdleme35f  37750  cdleme37m  37758  cdleme39a  37761  cdleme42h  37778  cdleme43aN  37785  cdleme43bN  37786  cdleme43dN  37788  cdleme46f2g2  37789  cdleme46f2g1  37790  cdlemeg46c  37809  cdlemeg46nlpq  37813  cdlemeg46ngfr  37814  cdlemeg46rgv  37824  cdlemeg46gfv  37826  cdlemg2kq  37898  cdlemg4a  37904  cdlemg4d  37909  cdlemg4  37913  cdlemg8c  37925  cdlemg11aq  37934  cdlemg10a  37936  cdlemg12g  37945  cdlemg12  37946  cdlemg13  37948  cdlemg17pq  37968  cdlemg18b  37975  cdlemg18c  37976  cdlemg19  37980  cdlemg21  37982  cdlemk7  38144  cdlemk7u  38166  cdlemkfid1N  38217  dia2dimlem1  38360  dia2dimlem3  38362  dihjatcclem3  38716  dihjat  38719