Theorem hlatjcom 39744

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18382 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39739	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39665	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39665	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18382	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1161	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  joincjn 18246  Latclat 18366  Atomscatm 39639  HLchlt 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-lub 18279  df-join 18281  df-lat 18367  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727

This theorem is referenced by:  hlatj12  39747  hlatjrot  39749  hlatlej2  39752  atbtwnex  39824  3noncolr2  39825  hlatcon2  39828  3dimlem2  39835  3dimlem3  39837  3dimlem3OLDN  39838  3dimlem4  39840  3dimlem4OLDN  39841  ps-1  39853  hlatexch4  39857  lplnribN  39927  4atlem10  39982  4atlem11  39985  dalemswapyz  40032  dalem-cly  40047  dalemswapyzps  40066  dalem24  40073  dalem25  40074  dalem44  40092  2llnma1  40163  2llnma3r  40164  2llnma2rN  40166  llnexchb2  40245  dalawlem4  40250  dalawlem5  40251  dalawlem9  40255  dalawlem11  40257  dalawlem12  40258  dalawlem15  40261  4atexlemex2  40447  4atexlemcnd  40448  ltrncnv  40522  trlcnv  40541  cdlemc6  40572  cdleme7aa  40618  cdleme12  40647  cdleme15a  40650  cdleme15c  40652  cdleme17c  40664  cdlemeda  40674  cdleme19a  40679  cdleme19e  40683  cdleme20bN  40686  cdleme20g  40691  cdleme20m  40699  cdleme21c  40703  cdleme22f  40722  cdleme22g  40724  cdleme35b  40826  cdleme35f  40830  cdleme37m  40838  cdleme39a  40841  cdleme42h  40858  cdleme43aN  40865  cdleme43bN  40866  cdleme43dN  40868  cdleme46f2g2  40869  cdleme46f2g1  40870  cdlemeg46c  40889  cdlemeg46nlpq  40893  cdlemeg46ngfr  40894  cdlemeg46rgv  40904  cdlemeg46gfv  40906  cdlemg2kq  40978  cdlemg4a  40984  cdlemg4d  40989  cdlemg4  40993  cdlemg8c  41005  cdlemg11aq  41014  cdlemg10a  41016  cdlemg12g  41025  cdlemg12  41026  cdlemg13  41028  cdlemg17pq  41048  cdlemg18b  41055  cdlemg18c  41056  cdlemg19  41060  cdlemg21  41062  cdlemk7  41224  cdlemk7u  41246  cdlemkfid1N  41297  dia2dimlem1  41440  dia2dimlem3  41442  dihjatcclem3  41796  dihjat  41799