Theorem hlatjcom 39354

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18388 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39349	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39275	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39275	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18388	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  joincjn 18252  Latclat 18372  Atomscatm 39249  HLchlt 39336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18285  df-join 18287  df-lat 18373  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337

This theorem is referenced by:  hlatj12  39357  hlatjrot  39359  hlatlej2  39362  atbtwnex  39435  3noncolr2  39436  hlatcon2  39439  3dimlem2  39446  3dimlem3  39448  3dimlem3OLDN  39449  3dimlem4  39451  3dimlem4OLDN  39452  ps-1  39464  hlatexch4  39468  lplnribN  39538  4atlem10  39593  4atlem11  39596  dalemswapyz  39643  dalem-cly  39658  dalemswapyzps  39677  dalem24  39684  dalem25  39685  dalem44  39703  2llnma1  39774  2llnma3r  39775  2llnma2rN  39777  llnexchb2  39856  dalawlem4  39861  dalawlem5  39862  dalawlem9  39866  dalawlem11  39868  dalawlem12  39869  dalawlem15  39872  4atexlemex2  40058  4atexlemcnd  40059  ltrncnv  40133  trlcnv  40152  cdlemc6  40183  cdleme7aa  40229  cdleme12  40258  cdleme15a  40261  cdleme15c  40263  cdleme17c  40275  cdlemeda  40285  cdleme19a  40290  cdleme19e  40294  cdleme20bN  40297  cdleme20g  40302  cdleme20m  40310  cdleme21c  40314  cdleme22f  40333  cdleme22g  40335  cdleme35b  40437  cdleme35f  40441  cdleme37m  40449  cdleme39a  40452  cdleme42h  40469  cdleme43aN  40476  cdleme43bN  40477  cdleme43dN  40479  cdleme46f2g2  40480  cdleme46f2g1  40481  cdlemeg46c  40500  cdlemeg46nlpq  40504  cdlemeg46ngfr  40505  cdlemeg46rgv  40515  cdlemeg46gfv  40517  cdlemg2kq  40589  cdlemg4a  40595  cdlemg4d  40600  cdlemg4  40604  cdlemg8c  40616  cdlemg11aq  40625  cdlemg10a  40627  cdlemg12g  40636  cdlemg12  40637  cdlemg13  40639  cdlemg17pq  40659  cdlemg18b  40666  cdlemg18c  40667  cdlemg19  40671  cdlemg21  40673  cdlemk7  40835  cdlemk7u  40857  cdlemkfid1N  40908  dia2dimlem1  41051  dia2dimlem3  41053  dihjatcclem3  41407  dihjat  41410