Theorem hlatjcom 40562

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18630 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40557	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40483	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40483	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18630	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  joincjn 18494  Latclat 18614  Atomscatm 40457  HLchlt 40544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-lub 18527  df-join 18529  df-lat 18615  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545

This theorem is used by:  hlatj12  40565  hlatjrot  40567  hlatlej2  40570  atbtwnex  40642  3noncolr2  40643  hlatcon2  40646  3dimlem2  40653  3dimlem3  40655  3dimlem3OLDN  40656  3dimlem4  40658  3dimlem4OLDN  40659  ps-1  40671  hlatexch4  40675  lplnribN  40745  4atlem10  40800  4atlem11  40803  dalemswapyz  40850  dalem-cly  40865  dalemswapyzps  40884  dalem24  40891  dalem25  40892  dalem44  40910  2llnma1  40981  2llnma3r  40982  2llnma2rN  40984  llnexchb2  41063  dalawlem4  41068  dalawlem5  41069  dalawlem9  41073  dalawlem11  41075  dalawlem12  41076  dalawlem15  41079  4atexlemex2  41265  4atexlemcnd  41266  ltrncnv  41340  trlcnv  41359  cdlemc6  41390  cdleme7aa  41436  cdleme12  41465  cdleme15a  41468  cdleme15c  41470  cdleme17c  41482  cdlemeda  41492  cdleme19a  41497  cdleme19e  41501  cdleme20bN  41504  cdleme20g  41509  cdleme20m  41517  cdleme21c  41521  cdleme22f  41540  cdleme22g  41542  cdleme35b  41644  cdleme35f  41648  cdleme37m  41656  cdleme39a  41659  cdleme42h  41676  cdleme43aN  41683  cdleme43bN  41684  cdleme43dN  41686  cdleme46f2g2  41687  cdleme46f2g1  41688  cdlemeg46c  41707  cdlemeg46nlpq  41711  cdlemeg46ngfr  41712  cdlemeg46rgv  41722  cdlemeg46gfv  41724  cdlemg2kq  41796  cdlemg4a  41802  cdlemg4d  41807  cdlemg4  41811  cdlemg8c  41823  cdlemg11aq  41832  cdlemg10a  41834  cdlemg12g  41843  cdlemg12  41844  cdlemg13  41846  cdlemg17pq  41866  cdlemg18b  41873  cdlemg18c  41874  cdlemg19  41878  cdlemg21  41880  cdlemk7  42042  cdlemk7u  42064  cdlemkfid1N  42115  dia2dimlem1  42258  dia2dimlem3  42260  dihjatcclem3  42614  dihjat  42617