Theorem hlatjcom 39324

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18517 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39319	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39245	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39245	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18517	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381  Latclat 18501  Atomscatm 39219  HLchlt 39306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-lub 18416  df-join 18418  df-lat 18502  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307

This theorem is referenced by:  hlatj12  39327  hlatjrot  39329  hlatlej2  39332  atbtwnex  39405  3noncolr2  39406  hlatcon2  39409  3dimlem2  39416  3dimlem3  39418  3dimlem3OLDN  39419  3dimlem4  39421  3dimlem4OLDN  39422  ps-1  39434  hlatexch4  39438  lplnribN  39508  4atlem10  39563  4atlem11  39566  dalemswapyz  39613  dalem-cly  39628  dalemswapyzps  39647  dalem24  39654  dalem25  39655  dalem44  39673  2llnma1  39744  2llnma3r  39745  2llnma2rN  39747  llnexchb2  39826  dalawlem4  39831  dalawlem5  39832  dalawlem9  39836  dalawlem11  39838  dalawlem12  39839  dalawlem15  39842  4atexlemex2  40028  4atexlemcnd  40029  ltrncnv  40103  trlcnv  40122  cdlemc6  40153  cdleme7aa  40199  cdleme12  40228  cdleme15a  40231  cdleme15c  40233  cdleme17c  40245  cdlemeda  40255  cdleme19a  40260  cdleme19e  40264  cdleme20bN  40267  cdleme20g  40272  cdleme20m  40280  cdleme21c  40284  cdleme22f  40303  cdleme22g  40305  cdleme35b  40407  cdleme35f  40411  cdleme37m  40419  cdleme39a  40422  cdleme42h  40439  cdleme43aN  40446  cdleme43bN  40447  cdleme43dN  40449  cdleme46f2g2  40450  cdleme46f2g1  40451  cdlemeg46c  40470  cdlemeg46nlpq  40474  cdlemeg46ngfr  40475  cdlemeg46rgv  40485  cdlemeg46gfv  40487  cdlemg2kq  40559  cdlemg4a  40565  cdlemg4d  40570  cdlemg4  40574  cdlemg8c  40586  cdlemg11aq  40595  cdlemg10a  40597  cdlemg12g  40606  cdlemg12  40607  cdlemg13  40609  cdlemg17pq  40629  cdlemg18b  40636  cdlemg18c  40637  cdlemg19  40641  cdlemg21  40643  cdlemk7  40805  cdlemk7u  40827  cdlemkfid1N  40878  dia2dimlem1  41021  dia2dimlem3  41023  dihjatcclem3  41377  dihjat  41380