Theorem hlatjcom 40032

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18503 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40027	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39953	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39953	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18503	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1176	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  joincjn 18367  Latclat 18487  Atomscatm 39927  HLchlt 40014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-lub 18400  df-join 18402  df-lat 18488  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015

This theorem is referenced by:  hlatj12  40035  hlatjrot  40037  hlatlej2  40040  atbtwnex  40112  3noncolr2  40113  hlatcon2  40116  3dimlem2  40123  3dimlem3  40125  3dimlem3OLDN  40126  3dimlem4  40128  3dimlem4OLDN  40129  ps-1  40141  hlatexch4  40145  lplnribN  40215  4atlem10  40270  4atlem11  40273  dalemswapyz  40320  dalem-cly  40335  dalemswapyzps  40354  dalem24  40361  dalem25  40362  dalem44  40380  2llnma1  40451  2llnma3r  40452  2llnma2rN  40454  llnexchb2  40533  dalawlem4  40538  dalawlem5  40539  dalawlem9  40543  dalawlem11  40545  dalawlem12  40546  dalawlem15  40549  4atexlemex2  40735  4atexlemcnd  40736  ltrncnv  40810  trlcnv  40829  cdlemc6  40860  cdleme7aa  40906  cdleme12  40935  cdleme15a  40938  cdleme15c  40940  cdleme17c  40952  cdlemeda  40962  cdleme19a  40967  cdleme19e  40971  cdleme20bN  40974  cdleme20g  40979  cdleme20m  40987  cdleme21c  40991  cdleme22f  41010  cdleme22g  41012  cdleme35b  41114  cdleme35f  41118  cdleme37m  41126  cdleme39a  41129  cdleme42h  41146  cdleme43aN  41153  cdleme43bN  41154  cdleme43dN  41156  cdleme46f2g2  41157  cdleme46f2g1  41158  cdlemeg46c  41177  cdlemeg46nlpq  41181  cdlemeg46ngfr  41182  cdlemeg46rgv  41192  cdlemeg46gfv  41194  cdlemg2kq  41266  cdlemg4a  41272  cdlemg4d  41277  cdlemg4  41281  cdlemg8c  41293  cdlemg11aq  41302  cdlemg10a  41304  cdlemg12g  41313  cdlemg12  41314  cdlemg13  41316  cdlemg17pq  41336  cdlemg18b  41343  cdlemg18c  41344  cdlemg19  41348  cdlemg21  41350  cdlemk7  41512  cdlemk7u  41534  cdlemkfid1N  41585  dia2dimlem1  41728  dia2dimlem3  41730  dihjatcclem3  42084  dihjat  42087