Theorem hlatjcom 39831

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18407 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39826	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39752	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39752	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18407	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1161	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  joincjn 18271  Latclat 18391  Atomscatm 39726  HLchlt 39813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-lub 18304  df-join 18306  df-lat 18392  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814

This theorem is referenced by:  hlatj12  39834  hlatjrot  39836  hlatlej2  39839  atbtwnex  39911  3noncolr2  39912  hlatcon2  39915  3dimlem2  39922  3dimlem3  39924  3dimlem3OLDN  39925  3dimlem4  39927  3dimlem4OLDN  39928  ps-1  39940  hlatexch4  39944  lplnribN  40014  4atlem10  40069  4atlem11  40072  dalemswapyz  40119  dalem-cly  40134  dalemswapyzps  40153  dalem24  40160  dalem25  40161  dalem44  40179  2llnma1  40250  2llnma3r  40251  2llnma2rN  40253  llnexchb2  40332  dalawlem4  40337  dalawlem5  40338  dalawlem9  40342  dalawlem11  40344  dalawlem12  40345  dalawlem15  40348  4atexlemex2  40534  4atexlemcnd  40535  ltrncnv  40609  trlcnv  40628  cdlemc6  40659  cdleme7aa  40705  cdleme12  40734  cdleme15a  40737  cdleme15c  40739  cdleme17c  40751  cdlemeda  40761  cdleme19a  40766  cdleme19e  40770  cdleme20bN  40773  cdleme20g  40778  cdleme20m  40786  cdleme21c  40790  cdleme22f  40809  cdleme22g  40811  cdleme35b  40913  cdleme35f  40917  cdleme37m  40925  cdleme39a  40928  cdleme42h  40945  cdleme43aN  40952  cdleme43bN  40953  cdleme43dN  40955  cdleme46f2g2  40956  cdleme46f2g1  40957  cdlemeg46c  40976  cdlemeg46nlpq  40980  cdlemeg46ngfr  40981  cdlemeg46rgv  40991  cdlemeg46gfv  40993  cdlemg2kq  41065  cdlemg4a  41071  cdlemg4d  41076  cdlemg4  41080  cdlemg8c  41092  cdlemg11aq  41101  cdlemg10a  41103  cdlemg12g  41112  cdlemg12  41113  cdlemg13  41115  cdlemg17pq  41135  cdlemg18b  41142  cdlemg18c  41143  cdlemg19  41147  cdlemg21  41149  cdlemk7  41311  cdlemk7u  41333  cdlemkfid1N  41384  dia2dimlem1  41527  dia2dimlem3  41529  dihjatcclem3  41883  dihjat  41886