Theorem hlatjcom 37424

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18210 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37419	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 37345	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 37345	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18210	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  joincjn 18074  Latclat 18194  Atomscatm 37319  HLchlt 37406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-lub 18109  df-join 18111  df-lat 18195  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407

This theorem is referenced by:  hlatj12  37427  hlatjrot  37429  hlatlej2  37432  atbtwnex  37504  3noncolr2  37505  hlatcon2  37508  3dimlem2  37515  3dimlem3  37517  3dimlem3OLDN  37518  3dimlem4  37520  3dimlem4OLDN  37521  ps-1  37533  hlatexch4  37537  lplnribN  37607  4atlem10  37662  4atlem11  37665  dalemswapyz  37712  dalem-cly  37727  dalemswapyzps  37746  dalem24  37753  dalem25  37754  dalem44  37772  2llnma1  37843  2llnma3r  37844  2llnma2rN  37846  llnexchb2  37925  dalawlem4  37930  dalawlem5  37931  dalawlem9  37935  dalawlem11  37937  dalawlem12  37938  dalawlem15  37941  4atexlemex2  38127  4atexlemcnd  38128  ltrncnv  38202  trlcnv  38221  cdlemc6  38252  cdleme7aa  38298  cdleme12  38327  cdleme15a  38330  cdleme15c  38332  cdleme17c  38344  cdlemeda  38354  cdleme19a  38359  cdleme19e  38363  cdleme20bN  38366  cdleme20g  38371  cdleme20m  38379  cdleme21c  38383  cdleme22f  38402  cdleme22g  38404  cdleme35b  38506  cdleme35f  38510  cdleme37m  38518  cdleme39a  38521  cdleme42h  38538  cdleme43aN  38545  cdleme43bN  38546  cdleme43dN  38548  cdleme46f2g2  38549  cdleme46f2g1  38550  cdlemeg46c  38569  cdlemeg46nlpq  38573  cdlemeg46ngfr  38574  cdlemeg46rgv  38584  cdlemeg46gfv  38586  cdlemg2kq  38658  cdlemg4a  38664  cdlemg4d  38669  cdlemg4  38673  cdlemg8c  38685  cdlemg11aq  38694  cdlemg10a  38696  cdlemg12g  38705  cdlemg12  38706  cdlemg13  38708  cdlemg17pq  38728  cdlemg18b  38735  cdlemg18c  38736  cdlemg19  38740  cdlemg21  38742  cdlemk7  38904  cdlemk7u  38926  cdlemkfid1N  38977  dia2dimlem1  39120  dia2dimlem3  39122  dihjatcclem3  39476  dihjat  39479