Theorem hlatjcom 39638

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18370 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39633	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39559	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39559	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  joincjn 18234  Latclat 18354  Atomscatm 39533  HLchlt 39620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18267  df-join 18269  df-lat 18355  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621

This theorem is referenced by:  hlatj12  39641  hlatjrot  39643  hlatlej2  39646  atbtwnex  39718  3noncolr2  39719  hlatcon2  39722  3dimlem2  39729  3dimlem3  39731  3dimlem3OLDN  39732  3dimlem4  39734  3dimlem4OLDN  39735  ps-1  39747  hlatexch4  39751  lplnribN  39821  4atlem10  39876  4atlem11  39879  dalemswapyz  39926  dalem-cly  39941  dalemswapyzps  39960  dalem24  39967  dalem25  39968  dalem44  39986  2llnma1  40057  2llnma3r  40058  2llnma2rN  40060  llnexchb2  40139  dalawlem4  40144  dalawlem5  40145  dalawlem9  40149  dalawlem11  40151  dalawlem12  40152  dalawlem15  40155  4atexlemex2  40341  4atexlemcnd  40342  ltrncnv  40416  trlcnv  40435  cdlemc6  40466  cdleme7aa  40512  cdleme12  40541  cdleme15a  40544  cdleme15c  40546  cdleme17c  40558  cdlemeda  40568  cdleme19a  40573  cdleme19e  40577  cdleme20bN  40580  cdleme20g  40585  cdleme20m  40593  cdleme21c  40597  cdleme22f  40616  cdleme22g  40618  cdleme35b  40720  cdleme35f  40724  cdleme37m  40732  cdleme39a  40735  cdleme42h  40752  cdleme43aN  40759  cdleme43bN  40760  cdleme43dN  40762  cdleme46f2g2  40763  cdleme46f2g1  40764  cdlemeg46c  40783  cdlemeg46nlpq  40787  cdlemeg46ngfr  40788  cdlemeg46rgv  40798  cdlemeg46gfv  40800  cdlemg2kq  40872  cdlemg4a  40878  cdlemg4d  40883  cdlemg4  40887  cdlemg8c  40899  cdlemg11aq  40908  cdlemg10a  40910  cdlemg12g  40919  cdlemg12  40920  cdlemg13  40922  cdlemg17pq  40942  cdlemg18b  40949  cdlemg18c  40950  cdlemg19  40954  cdlemg21  40956  cdlemk7  41118  cdlemk7u  41140  cdlemkfid1N  41191  dia2dimlem1  41334  dia2dimlem3  41336  dihjatcclem3  41690  dihjat  41693