Theorem hlatjcom 39332

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18455 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39327	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39253	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39253	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18455	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  joincjn 18321  Latclat 18439  Atomscatm 39227  HLchlt 39314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-lub 18354  df-join 18356  df-lat 18440  df-ats 39231  df-atl 39262  df-cvlat 39286  df-hlat 39315

This theorem is referenced by:  hlatj12  39335  hlatjrot  39337  hlatlej2  39340  atbtwnex  39413  3noncolr2  39414  hlatcon2  39417  3dimlem2  39424  3dimlem3  39426  3dimlem3OLDN  39427  3dimlem4  39429  3dimlem4OLDN  39430  ps-1  39442  hlatexch4  39446  lplnribN  39516  4atlem10  39571  4atlem11  39574  dalemswapyz  39621  dalem-cly  39636  dalemswapyzps  39655  dalem24  39662  dalem25  39663  dalem44  39681  2llnma1  39752  2llnma3r  39753  2llnma2rN  39755  llnexchb2  39834  dalawlem4  39839  dalawlem5  39840  dalawlem9  39844  dalawlem11  39846  dalawlem12  39847  dalawlem15  39850  4atexlemex2  40036  4atexlemcnd  40037  ltrncnv  40111  trlcnv  40130  cdlemc6  40161  cdleme7aa  40207  cdleme12  40236  cdleme15a  40239  cdleme15c  40241  cdleme17c  40253  cdlemeda  40263  cdleme19a  40268  cdleme19e  40272  cdleme20bN  40275  cdleme20g  40280  cdleme20m  40288  cdleme21c  40292  cdleme22f  40311  cdleme22g  40313  cdleme35b  40415  cdleme35f  40419  cdleme37m  40427  cdleme39a  40430  cdleme42h  40447  cdleme43aN  40454  cdleme43bN  40455  cdleme43dN  40457  cdleme46f2g2  40458  cdleme46f2g1  40459  cdlemeg46c  40478  cdlemeg46nlpq  40482  cdlemeg46ngfr  40483  cdlemeg46rgv  40493  cdlemeg46gfv  40495  cdlemg2kq  40567  cdlemg4a  40573  cdlemg4d  40578  cdlemg4  40582  cdlemg8c  40594  cdlemg11aq  40603  cdlemg10a  40605  cdlemg12g  40614  cdlemg12  40615  cdlemg13  40617  cdlemg17pq  40637  cdlemg18b  40644  cdlemg18c  40645  cdlemg19  40649  cdlemg21  40651  cdlemk7  40813  cdlemk7u  40835  cdlemkfid1N  40886  dia2dimlem1  41029  dia2dimlem3  41031  dihjatcclem3  41385  dihjat  41388