Theorem hlatjcom 38694

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18401 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38689	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38615	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 38615	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18401	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1157	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  joincjn 18265  Latclat 18385  Atomscatm 38589  HLchlt 38676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-lub 18300  df-join 18302  df-lat 18386  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677

This theorem is referenced by:  hlatj12  38697  hlatjrot  38699  hlatlej2  38702  atbtwnex  38775  3noncolr2  38776  hlatcon2  38779  3dimlem2  38786  3dimlem3  38788  3dimlem3OLDN  38789  3dimlem4  38791  3dimlem4OLDN  38792  ps-1  38804  hlatexch4  38808  lplnribN  38878  4atlem10  38933  4atlem11  38936  dalemswapyz  38983  dalem-cly  38998  dalemswapyzps  39017  dalem24  39024  dalem25  39025  dalem44  39043  2llnma1  39114  2llnma3r  39115  2llnma2rN  39117  llnexchb2  39196  dalawlem4  39201  dalawlem5  39202  dalawlem9  39206  dalawlem11  39208  dalawlem12  39209  dalawlem15  39212  4atexlemex2  39398  4atexlemcnd  39399  ltrncnv  39473  trlcnv  39492  cdlemc6  39523  cdleme7aa  39569  cdleme12  39598  cdleme15a  39601  cdleme15c  39603  cdleme17c  39615  cdlemeda  39625  cdleme19a  39630  cdleme19e  39634  cdleme20bN  39637  cdleme20g  39642  cdleme20m  39650  cdleme21c  39654  cdleme22f  39673  cdleme22g  39675  cdleme35b  39777  cdleme35f  39781  cdleme37m  39789  cdleme39a  39792  cdleme42h  39809  cdleme43aN  39816  cdleme43bN  39817  cdleme43dN  39819  cdleme46f2g2  39820  cdleme46f2g1  39821  cdlemeg46c  39840  cdlemeg46nlpq  39844  cdlemeg46ngfr  39845  cdlemeg46rgv  39855  cdlemeg46gfv  39857  cdlemg2kq  39929  cdlemg4a  39935  cdlemg4d  39940  cdlemg4  39944  cdlemg8c  39956  cdlemg11aq  39965  cdlemg10a  39967  cdlemg12g  39976  cdlemg12  39977  cdlemg13  39979  cdlemg17pq  39999  cdlemg18b  40006  cdlemg18c  40007  cdlemg19  40011  cdlemg21  40013  cdlemk7  40175  cdlemk7u  40197  cdlemkfid1N  40248  dia2dimlem1  40391  dia2dimlem3  40393  dihjatcclem3  40747  dihjat  40750