Theorem hlatjcom 37361

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18146 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37356	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 37282	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 37282	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1158	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  joincjn 18010  Latclat 18130  Atomscatm 37256  HLchlt 37343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-lub 18045  df-join 18047  df-lat 18131  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344

This theorem is referenced by:  hlatj12  37364  hlatjrot  37366  hlatlej2  37369  atbtwnex  37441  3noncolr2  37442  hlatcon2  37445  3dimlem2  37452  3dimlem3  37454  3dimlem3OLDN  37455  3dimlem4  37457  3dimlem4OLDN  37458  ps-1  37470  hlatexch4  37474  lplnribN  37544  4atlem10  37599  4atlem11  37602  dalemswapyz  37649  dalem-cly  37664  dalemswapyzps  37683  dalem24  37690  dalem25  37691  dalem44  37709  2llnma1  37780  2llnma3r  37781  2llnma2rN  37783  llnexchb2  37862  dalawlem4  37867  dalawlem5  37868  dalawlem9  37872  dalawlem11  37874  dalawlem12  37875  dalawlem15  37878  4atexlemex2  38064  4atexlemcnd  38065  ltrncnv  38139  trlcnv  38158  cdlemc6  38189  cdleme7aa  38235  cdleme12  38264  cdleme15a  38267  cdleme15c  38269  cdleme17c  38281  cdlemeda  38291  cdleme19a  38296  cdleme19e  38300  cdleme20bN  38303  cdleme20g  38308  cdleme20m  38316  cdleme21c  38320  cdleme22f  38339  cdleme22g  38341  cdleme35b  38443  cdleme35f  38447  cdleme37m  38455  cdleme39a  38458  cdleme42h  38475  cdleme43aN  38482  cdleme43bN  38483  cdleme43dN  38485  cdleme46f2g2  38486  cdleme46f2g1  38487  cdlemeg46c  38506  cdlemeg46nlpq  38510  cdlemeg46ngfr  38511  cdlemeg46rgv  38521  cdlemeg46gfv  38523  cdlemg2kq  38595  cdlemg4a  38601  cdlemg4d  38606  cdlemg4  38610  cdlemg8c  38622  cdlemg11aq  38631  cdlemg10a  38633  cdlemg12g  38642  cdlemg12  38643  cdlemg13  38645  cdlemg17pq  38665  cdlemg18b  38672  cdlemg18c  38673  cdlemg19  38677  cdlemg21  38679  cdlemk7  38841  cdlemk7u  38863  cdlemkfid1N  38914  dia2dimlem1  39057  dia2dimlem3  39059  dihjatcclem3  39413  dihjat  39416