Theorem hlatjcom 39334

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18382 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39329	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39255	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39255	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18382	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  joincjn 18248  Latclat 18366  Atomscatm 39229  HLchlt 39316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18281  df-join 18283  df-lat 18367  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317

This theorem is referenced by:  hlatj12  39337  hlatjrot  39339  hlatlej2  39342  atbtwnex  39415  3noncolr2  39416  hlatcon2  39419  3dimlem2  39426  3dimlem3  39428  3dimlem3OLDN  39429  3dimlem4  39431  3dimlem4OLDN  39432  ps-1  39444  hlatexch4  39448  lplnribN  39518  4atlem10  39573  4atlem11  39576  dalemswapyz  39623  dalem-cly  39638  dalemswapyzps  39657  dalem24  39664  dalem25  39665  dalem44  39683  2llnma1  39754  2llnma3r  39755  2llnma2rN  39757  llnexchb2  39836  dalawlem4  39841  dalawlem5  39842  dalawlem9  39846  dalawlem11  39848  dalawlem12  39849  dalawlem15  39852  4atexlemex2  40038  4atexlemcnd  40039  ltrncnv  40113  trlcnv  40132  cdlemc6  40163  cdleme7aa  40209  cdleme12  40238  cdleme15a  40241  cdleme15c  40243  cdleme17c  40255  cdlemeda  40265  cdleme19a  40270  cdleme19e  40274  cdleme20bN  40277  cdleme20g  40282  cdleme20m  40290  cdleme21c  40294  cdleme22f  40313  cdleme22g  40315  cdleme35b  40417  cdleme35f  40421  cdleme37m  40429  cdleme39a  40432  cdleme42h  40449  cdleme43aN  40456  cdleme43bN  40457  cdleme43dN  40459  cdleme46f2g2  40460  cdleme46f2g1  40461  cdlemeg46c  40480  cdlemeg46nlpq  40484  cdlemeg46ngfr  40485  cdlemeg46rgv  40495  cdlemeg46gfv  40497  cdlemg2kq  40569  cdlemg4a  40575  cdlemg4d  40580  cdlemg4  40584  cdlemg8c  40596  cdlemg11aq  40605  cdlemg10a  40607  cdlemg12g  40616  cdlemg12  40617  cdlemg13  40619  cdlemg17pq  40639  cdlemg18b  40646  cdlemg18c  40647  cdlemg19  40651  cdlemg21  40653  cdlemk7  40815  cdlemk7u  40837  cdlemkfid1N  40888  dia2dimlem1  41031  dia2dimlem3  41033  dihjatcclem3  41387  dihjat  41390