Theorem hlatjcom 39567

Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18368 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcom	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39562	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39488	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39488	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcom 18368	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  joincjn 18232  Latclat 18352  Atomscatm 39462  HLchlt 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-lub 18265  df-join 18267  df-lat 18353  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550

This theorem is referenced by:  hlatj12  39570  hlatjrot  39572  hlatlej2  39575  atbtwnex  39647  3noncolr2  39648  hlatcon2  39651  3dimlem2  39658  3dimlem3  39660  3dimlem3OLDN  39661  3dimlem4  39663  3dimlem4OLDN  39664  ps-1  39676  hlatexch4  39680  lplnribN  39750  4atlem10  39805  4atlem11  39808  dalemswapyz  39855  dalem-cly  39870  dalemswapyzps  39889  dalem24  39896  dalem25  39897  dalem44  39915  2llnma1  39986  2llnma3r  39987  2llnma2rN  39989  llnexchb2  40068  dalawlem4  40073  dalawlem5  40074  dalawlem9  40078  dalawlem11  40080  dalawlem12  40081  dalawlem15  40084  4atexlemex2  40270  4atexlemcnd  40271  ltrncnv  40345  trlcnv  40364  cdlemc6  40395  cdleme7aa  40441  cdleme12  40470  cdleme15a  40473  cdleme15c  40475  cdleme17c  40487  cdlemeda  40497  cdleme19a  40502  cdleme19e  40506  cdleme20bN  40509  cdleme20g  40514  cdleme20m  40522  cdleme21c  40526  cdleme22f  40545  cdleme22g  40547  cdleme35b  40649  cdleme35f  40653  cdleme37m  40661  cdleme39a  40664  cdleme42h  40681  cdleme43aN  40688  cdleme43bN  40689  cdleme43dN  40691  cdleme46f2g2  40692  cdleme46f2g1  40693  cdlemeg46c  40712  cdlemeg46nlpq  40716  cdlemeg46ngfr  40717  cdlemeg46rgv  40727  cdlemeg46gfv  40729  cdlemg2kq  40801  cdlemg4a  40807  cdlemg4d  40812  cdlemg4  40816  cdlemg8c  40828  cdlemg11aq  40837  cdlemg10a  40839  cdlemg12g  40848  cdlemg12  40849  cdlemg13  40851  cdlemg17pq  40871  cdlemg18b  40878  cdlemg18c  40879  cdlemg19  40883  cdlemg21  40885  cdlemk7  41047  cdlemk7u  41069  cdlemkfid1N  41120  dia2dimlem1  41263  dia2dimlem3  41265  dihjatcclem3  41619  dihjat  41622