Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjcom 36390
Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 17664 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjcom ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom
StepHypRef Expression
1 hllat 36385 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2826 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatjcom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 36311 . 2 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
52, 3atbase 36311 . 2 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
72, 6latjcom 17664 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
81, 4, 5, 7syl3an 1154 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  joincjn 17549  Latclat 17650  Atomscatm 36285  HLchlt 36372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-lub 17579  df-join 17581  df-lat 17651  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373
This theorem is referenced by:  hlatj12  36393  hlatjrot  36395  hlatlej2  36398  atbtwnex  36470  3noncolr2  36471  hlatcon2  36474  3dimlem2  36481  3dimlem3  36483  3dimlem3OLDN  36484  3dimlem4  36486  3dimlem4OLDN  36487  ps-1  36499  hlatexch4  36503  lplnribN  36573  4atlem10  36628  4atlem11  36631  dalemswapyz  36678  dalem-cly  36693  dalemswapyzps  36712  dalem24  36719  dalem25  36720  dalem44  36738  2llnma1  36809  2llnma3r  36810  2llnma2rN  36812  llnexchb2  36891  dalawlem4  36896  dalawlem5  36897  dalawlem9  36901  dalawlem11  36903  dalawlem12  36904  dalawlem15  36907  4atexlemex2  37093  4atexlemcnd  37094  ltrncnv  37168  trlcnv  37187  cdlemc6  37218  cdleme7aa  37264  cdleme12  37293  cdleme15a  37296  cdleme15c  37298  cdleme17c  37310  cdlemeda  37320  cdleme19a  37325  cdleme19e  37329  cdleme20bN  37332  cdleme20g  37337  cdleme20m  37345  cdleme21c  37349  cdleme22f  37368  cdleme22g  37370  cdleme35b  37472  cdleme35f  37476  cdleme37m  37484  cdleme39a  37487  cdleme42h  37504  cdleme43aN  37511  cdleme43bN  37512  cdleme43dN  37514  cdleme46f2g2  37515  cdleme46f2g1  37516  cdlemeg46c  37535  cdlemeg46nlpq  37539  cdlemeg46ngfr  37540  cdlemeg46rgv  37550  cdlemeg46gfv  37552  cdlemg2kq  37624  cdlemg4a  37630  cdlemg4d  37635  cdlemg4  37639  cdlemg8c  37651  cdlemg11aq  37660  cdlemg10a  37662  cdlemg12g  37671  cdlemg12  37672  cdlemg13  37674  cdlemg17pq  37694  cdlemg18b  37701  cdlemg18c  37702  cdlemg19  37706  cdlemg21  37708  cdlemk7  37870  cdlemk7u  37892  cdlemkfid1N  37943  dia2dimlem1  38086  dia2dimlem3  38088  dihjatcclem3  38442  dihjat  38445
  Copyright terms: Public domain W3C validator