Theorem imaeq1 5953

Description: Equality theorem for image. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imaeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 “ 𝐶) = (𝐵 “ 𝐶))

Proof of Theorem imaeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq1 5874	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ↾ 𝐶) = (𝐵 ↾ 𝐶))
2	1	rneqd 5836	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran (𝐴 ↾ 𝐶) = ran (𝐵 ↾ 𝐶))
3		df-ima 5593	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐶) = ran (𝐴 ↾ 𝐶)
4		df-ima 5593	. 2 ⊢ (𝐵 “ 𝐶) = ran (𝐵 ↾ 𝐶)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2804	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 “ 𝐶) = (𝐵 “ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ran crn 5581   ↾ cres 5582   “ cima 5583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593

This theorem is referenced by:  imaeq1i  5955  imaeq1d  5957  suppval  7950  eceq2  8496  marypha1lem  9122  marypha1  9123  ackbij2lem2  9927  ackbij2lem3  9928  r1om  9931  limsupval  15111  isacs1i  17283  mreacs  17284  islindf  20929  iscnp  22296  xkoccn  22678  xkohaus  22712  xkoco1cn  22716  xkoco2cn  22717  xkococnlem  22718  xkococn  22719  xkoinjcn  22746  fmval  23002  fmf  23004  utoptop  23294  restutop  23297  restutopopn  23298  ustuqtoplem  23299  ustuqtop1  23301  ustuqtop2  23302  ustuqtop4  23304  ustuqtop5  23305  utopsnneiplem  23307  utopsnnei  23309  neipcfilu  23356  psmetutop  23629  cfilfval  24333  elply2  25262  coeeu  25291  coelem  25292  coeeq  25293  dmarea  26012  mclsax  33431  naddcllem  33758  negsval  34050  tailfval  34488  bj-cleq  35079  bj-funun  35350  poimirlem15  35719  poimirlem24  35728  brtrclfv2  41224  liminfval  43190  isomgreqve  45165  isomgrsym  45176  isomgrtr  45179  ushrisomgr  45181