Theorem imaeq1 5967

Description: Equality theorem for image. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imaeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 “ 𝐶) = (𝐵 “ 𝐶))

Proof of Theorem imaeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq1 5888	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ↾ 𝐶) = (𝐵 ↾ 𝐶))
2	1	rneqd 5850	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran (𝐴 ↾ 𝐶) = ran (𝐵 ↾ 𝐶))
3		df-ima 5603	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐶) = ran (𝐴 ↾ 𝐶)
4		df-ima 5603	. 2 ⊢ (𝐵 “ 𝐶) = ran (𝐵 ↾ 𝐶)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2804	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 “ 𝐶) = (𝐵 “ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ran crn 5591   ↾ cres 5592   “ cima 5593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2710

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-rab 3074  df-v 3435  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5076  df-opab 5138  df-cnv 5598  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603

This theorem is referenced by:  imaeq1i  5969  imaeq1d  5971  suppval  7988  eceq2  8547  marypha1lem  9201  marypha1  9202  ackbij2lem2  10005  ackbij2lem3  10006  r1om  10009  limsupval  15192  isacs1i  17375  mreacs  17376  islindf  21028  iscnp  22397  xkoccn  22779  xkohaus  22813  xkoco1cn  22817  xkoco2cn  22818  xkococnlem  22819  xkococn  22820  xkoinjcn  22847  fmval  23103  fmf  23105  utoptop  23395  restutop  23398  restutopopn  23399  ustuqtoplem  23400  ustuqtop1  23402  ustuqtop2  23403  ustuqtop4  23405  ustuqtop5  23406  utopsnneiplem  23408  utopsnnei  23410  neipcfilu  23457  psmetutop  23732  cfilfval  24437  elply2  25366  coeeu  25395  coelem  25396  coeeq  25397  dmarea  26116  mclsax  33540  naddcllem  33840  negsval  34132  tailfval  34570  bj-cleq  35161  bj-funun  35432  poimirlem15  35801  poimirlem24  35810  brtrclfv2  41342  liminfval  43307  isomgreqve  45288  isomgrsym  45299  isomgrtr  45302  ushrisomgr  45304