Theorem imaeq1 6058

Description: Equality theorem for image. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imaeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 “ 𝐶) = (𝐵 “ 𝐶))

Proof of Theorem imaeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq1 5973	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ↾ 𝐶) = (𝐵 ↾ 𝐶))
2	1	rneqd 5929	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran (𝐴 ↾ 𝐶) = ran (𝐵 ↾ 𝐶))
3		df-ima 5675	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐶) = ran (𝐴 ↾ 𝐶)
4		df-ima 5675	. 2 ⊢ (𝐵 “ 𝐶) = ran (𝐵 ↾ 𝐶)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2829	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 “ 𝐶) = (𝐵 “ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675

This theorem is referenced by:  imaeq1i  6060  imaeq1d  6062  suppval  8157  naddcllem  8661  eceq2  8735  marypha1lem  9392  marypha1  9393  ackbij2lem2  10221  ackbij2lem3  10222  r1om  10225  limsupval  15524  isacs1i  17712  mreacs  17713  islindf  21930  iscnp  23362  xkoccn  23744  xkohaus  23778  xkoco1cn  23782  xkoco2cn  23783  xkococnlem  23784  xkococn  23785  xkoinjcn  23812  fmval  24068  fmf  24070  utoptop  24359  restutop  24362  restutopopn  24363  ustuqtoplem  24364  ustuqtop1  24366  ustuqtop2  24367  ustuqtop4  24369  ustuqtop5  24370  utopsnneiplem  24372  utopsnnei  24374  neipcfilu  24420  psmetutop  24692  cfilfval  25391  elply2  26321  coeeu  26350  coelem  26351  coeeq  26352  dmarea  27087  negsval  28183  mclsax  35959  tailfval  36771  bj-cleq  37485  bj-funun  37783  poimirlem15  38173  poimirlem24  38182  brtrclfv2  44344  liminfval  46364  ushggricedg  48580  uhgrimisgrgric  48584