MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmatfval 22202
Description: Value of the characteristic polynomial function. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmatfval.c ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
chpmatfval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chpmatfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chpmatfval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chpmatfval.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chpmatfval.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘ƒ)
chpmatfval.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
chpmatfval.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
chpmatfval.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chpmatfval.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
chpmatfval.i 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
chpmatfval ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐ถ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘š   ๐ท,๐‘š   1 ,๐‘š   ๐‘š,๐‘   ๐‘…,๐‘š   ๐‘š,๐‘‹   ๐‘‡,๐‘š   ยท ,๐‘š   โˆ’ ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘š)   ๐ถ(๐‘š)   ๐‘ƒ(๐‘š)   ๐‘‰(๐‘š)   ๐‘Œ(๐‘š)

Proof of Theorem chpmatfval
Dummy variables ๐‘› ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpmatfval.c . 2 ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
2 df-chpmat 22199 . . . 4 CharPlyMat = (๐‘› โˆˆ Fin, ๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โ†ฆ ((๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))))(-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š)))))
32a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ CharPlyMat = (๐‘› โˆˆ Fin, ๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โ†ฆ ((๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))))(-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š))))))
4 oveq12 7370 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) = (๐‘ Mat ๐‘…))
5 chpmatfval.a . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
64, 5eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) = ๐ด)
76fveq2d 6850 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = (Baseโ€˜๐ด))
8 chpmatfval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . 5 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = ๐ต)
10 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘…)
1211fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
13 chpmatfval.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
1412, 13eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘ƒ)
1510, 14oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘ maDet ๐‘ƒ))
16 chpmatfval.d . . . . . . 7 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘ƒ)
1715, 16eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = ๐ท)
18 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = (Poly1โ€˜๐‘…))
2019, 13eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Poly1โ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘ƒ)
2110, 20oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = (๐‘ Mat ๐‘ƒ))
22 chpmatfval.y . . . . . . . . . 10 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
2321, 22eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)) = ๐‘Œ)
2423fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = (-gโ€˜๐‘Œ))
25 chpmatfval.s . . . . . . . 8 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
2624, 25eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = โˆ’ )
2723fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ))
28 chpmatfval.m . . . . . . . . 9 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
2927, 28eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = ยท )
30 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (var1โ€˜๐‘Ÿ) = (var1โ€˜๐‘…))
31 chpmatfval.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
3230, 31eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (var1โ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘‹)
3332adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (var1โ€˜๐‘Ÿ) = ๐‘‹)
3423fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = (1rโ€˜๐‘Œ))
35 chpmatfval.i . . . . . . . . 9 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
3634, 35eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))) = 1 )
3729, 33, 36oveq123d 7382 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))) = (๐‘‹ ยท 1 ))
38 oveq12 7370 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ) = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…))
39 chpmatfval.t . . . . . . . . 9 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
4038, 39eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ) = ๐‘‡)
4140fveq1d 6848 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š) = (๐‘‡โ€˜๐‘š))
4226, 37, 41oveq123d 7382 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))))(-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š)) = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))
4317, 42fveq12d 6853 . . . . 5 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ((๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))))(-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š))) = (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š))))
449, 43mpteq12dv 5200 . . . 4 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โ†ฆ ((๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))))(-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š)))) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
4544adantl 483 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โ†ฆ ((๐‘› maDet (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(((var1โ€˜๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))(1rโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ))))(-gโ€˜(๐‘› Mat (Poly1โ€˜๐‘Ÿ)))((๐‘› matToPolyMat ๐‘Ÿ)โ€˜๐‘š)))) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
46 simpl 484 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
47 elex 3465 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
4847adantl 483 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
498fvexi 6860 . . . 4 ๐ต โˆˆ V
50 mptexg 7175 . . . 4 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))) โˆˆ V)
5149, 50mp1i 13 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))) โˆˆ V)
523, 45, 46, 48, 51ovmpod 7511 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ CharPlyMat ๐‘…) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
531, 52eqtrid 2785 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐ถ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  Fincfn 8889  Basecbs 17091   ยท๐‘  cvsca 17145  -gcsg 18758  1rcur 19921  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   maDet cmdat 21956   matToPolyMat cmat2pmat 22076   CharPlyMat cchpmat 22198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-chpmat 22199
This theorem is referenced by:  chpmatval  22203
  Copyright terms: Public domain W3C validator