![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > chpmatval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with a determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
chpmatfval.c | โข ๐ถ = (๐ CharPlyMat ๐ ) |
chpmatfval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
chpmatfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
chpmatfval.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
chpmatfval.y | โข ๐ = (๐ Mat ๐) |
chpmatfval.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐) |
chpmatfval.s | โข โ = (-gโ๐) |
chpmatfval.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
chpmatfval.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
chpmatfval.t | โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) |
chpmatfval.i | โข 1 = (1rโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
chpmatval | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ถโ๐) = (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | chpmatfval.c | . . . 4 โข ๐ถ = (๐ CharPlyMat ๐ ) | |
2 | chpmatfval.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | chpmatfval.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | chpmatfval.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
5 | chpmatfval.y | . . . 4 โข ๐ = (๐ Mat ๐) | |
6 | chpmatfval.d | . . . 4 โข ๐ท = (๐ maDet ๐) | |
7 | chpmatfval.s | . . . 4 โข โ = (-gโ๐) | |
8 | chpmatfval.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
9 | chpmatfval.m | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
10 | chpmatfval.t | . . . 4 โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) | |
11 | chpmatfval.i | . . . 4 โข 1 = (1rโ๐) | |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | chpmatfval 22687 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))))) |
13 | 12 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ถ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))))) |
14 | fveq2 6885 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) | |
15 | 14 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) |
16 | 15 | fveq2d 6889 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) = (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)))) |
17 | 16 | adantl 481 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ = ๐) โ (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) = (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)))) |
18 | simp3 1135 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
19 | fvexd 6900 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) โ V) | |
20 | 13, 17, 18, 19 | fvmptd 6999 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ถโ๐) = (๐ทโ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Fincfn 8941 Basecbs 17153 ยท๐ cvsca 17210 -gcsg 18865 1rcur 20086 var1cv1 22050 Poly1cpl1 22051 Mat cmat 22262 maDet cmdat 22441 matToPolyMat cmat2pmat 22561 CharPlyMat cchpmat 22683 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-chpmat 22684 |
This theorem is referenced by: chpmatply1 22689 chpmatval2 22690 chpmat0d 22691 chpmat1d 22693 chpdmat 22698 cpmadurid 22724 cpmidgsum2 22736 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |