MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmatval 22751
Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with a determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmatfval.c ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
chpmatfval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chpmatfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chpmatfval.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chpmatfval.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chpmatfval.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘ƒ)
chpmatfval.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
chpmatfval.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
chpmatfval.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chpmatfval.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
chpmatfval.i 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
chpmatval ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))))

Proof of Theorem chpmatval
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpmatfval.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
2 chpmatfval.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 chpmatfval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 chpmatfval.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 chpmatfval.y . . . 4 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
6 chpmatfval.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘ƒ)
7 chpmatfval.s . . . 4 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
8 chpmatfval.x . . . 4 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
9 chpmatfval.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
10 chpmatfval.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
11 chpmatfval.i . . . 4 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chpmatfval 22750 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐ถ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
13123adant3 1129 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)))))
14 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘š) = (๐‘‡โ€˜๐‘€))
1514oveq2d 7432 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š)) = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€)))
1615fveq2d 6896 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š))) = (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))))
1716adantl 480 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š = ๐‘€) โ†’ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘š))) = (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))))
18 simp3 1135 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
19 fvexd 6907 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))) โˆˆ V)
2013, 17, 18, 19fvmptd 7007 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐ทโ€˜((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  Basecbs 17179   ยท๐‘  cvsca 17236  -gcsg 18896  1rcur 20125  var1cv1 22103  Poly1cpl1 22104   Mat cmat 22325   maDet cmdat 22504   matToPolyMat cmat2pmat 22624   CharPlyMat cchpmat 22746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-chpmat 22747
This theorem is referenced by:  chpmatply1  22752  chpmatval2  22753  chpmat0d  22754  chpmat1d  22756  chpdmat  22761  cpmadurid  22787  cpmidgsum2  22799
  Copyright terms: Public domain W3C validator