MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmatval 22759
Description: The entries of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 10-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chmatcl.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chmatcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chmatcl.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chmatcl.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chmatcl.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
chmatcl.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
chmatcl.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
chmatcl.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chmatcl.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
chmatcl.h ๐ป = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
chmatval.s โˆผ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
chmatval.0 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chmatval (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ๐ป๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ))))

Proof of Theorem chmatval
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chmatcl.h . . . 4 ๐ป = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
21oveqi 7439 . . 3 (๐ผ๐ป๐ฝ) = (๐ผ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))๐ฝ)
3 chmatcl.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
43ply1ring 22185 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
543ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
65adantr 479 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
74anim2i 615 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
873adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
9 chmatcl.x . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
10 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
119, 3, 10vr1cl 22155 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
12113ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
13 chmatcl.y . . . . . . . . 9 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
143, 13pmatring 22622 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
15143adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
16 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
17 chmatcl.1 . . . . . . . 8 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
1816, 17ringidcl 20216 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
20 chmatcl.m . . . . . . 7 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
2110, 13, 16, 20matvscl 22361 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
228, 12, 19, 21syl12anc 835 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2322adantr 479 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
24 chmatcl.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
25 chmatcl.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
26 chmatcl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2724, 25, 26, 3, 13mat2pmatbas 22656 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2827adantr 479 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
29 simpr 483 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘))
30 chmatcl.s . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
31 chmatval.s . . . . 5 โˆผ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
3213, 16, 30, 31matsubgcell 22364 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))๐ฝ) = ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
336, 23, 28, 29, 32syl121anc 1372 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))๐ฝ) = ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
342, 33eqtrid 2780 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ๐ป๐ฝ) = ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
3517a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘Œ))
3635oveq2d 7442 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท (1rโ€˜๐‘Œ)))
37 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
384adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
3911adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
4037, 38, 393jca 1125 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
41403adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
4241adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
43 chmatval.0 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
4413, 10, 20, 43matsc 22380 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘‹ ยท (1rโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท (1rโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
4636, 45eqtrd 2768 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
47 eqeq12 2745 . . . . . . 7 ((๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘— = ๐ฝ) โ†’ (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
4847ifbid 4555 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘— = ๐ฝ) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ))
4948adantl 480 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘— = ๐ฝ)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ))
50 simprl 769 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
51 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
5251adantl 480 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
539fvexi 6916 . . . . . . 7 ๐‘‹ โˆˆ V
5443fvexi 6916 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
5553, 54ifex 4582 . . . . . 6 if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆˆ V
5655a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆˆ V)
5746, 49, 50, 52, 56ovmpod 7580 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ))
5857oveq1d 7441 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = (if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
59 ovif 7525 . . 3 (if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
6058, 59eqtrdi 2784 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
6134, 60eqtrd 2768 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ๐ป๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473  ifcif 4532  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Fincfn 8972  Basecbs 17189   ยท๐‘  cvsca 17246  0gc0g 17430  -gcsg 18906  1rcur 20135  Ringcrg 20187  var1cv1 22113  Poly1cpl1 22114   Mat cmat 22335   matToPolyMat cmat2pmat 22634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-mamu 22319  df-mat 22336  df-mat2pmat 22637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator