MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmatval 22019
Description: The entries of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 10-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chmatcl.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chmatcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chmatcl.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chmatcl.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chmatcl.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
chmatcl.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
chmatcl.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
chmatcl.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chmatcl.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
chmatcl.h ๐ป = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
chmatval.s โˆผ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
chmatval.0 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chmatval (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ๐ป๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ))))

Proof of Theorem chmatval
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chmatcl.h . . . 4 ๐ป = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
21oveqi 7316 . . 3 (๐ผ๐ป๐ฝ) = (๐ผ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))๐ฝ)
3 chmatcl.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
43ply1ring 21460 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
543ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
65adantr 482 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
74anim2i 618 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
873adant3 1132 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
9 chmatcl.x . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
10 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
119, 3, 10vr1cl 21429 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
12113ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
13 chmatcl.y . . . . . . . . 9 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
143, 13pmatring 21882 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
15143adant3 1132 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
16 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
17 chmatcl.1 . . . . . . . 8 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
1816, 17ringidcl 19848 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
20 chmatcl.m . . . . . . 7 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
2110, 13, 16, 20matvscl 21621 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
228, 12, 19, 21syl12anc 835 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2322adantr 482 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
24 chmatcl.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
25 chmatcl.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
26 chmatcl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2724, 25, 26, 3, 13mat2pmatbas 21916 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2827adantr 482 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
29 simpr 486 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘))
30 chmatcl.s . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
31 chmatval.s . . . . 5 โˆผ = (-gโ€˜๐‘ƒ)
3213, 16, 30, 31matsubgcell 21624 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))๐ฝ) = ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
336, 23, 28, 29, 32syl121anc 1375 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))๐ฝ) = ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
342, 33eqtrid 2788 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ๐ป๐ฝ) = ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
3517a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘Œ))
3635oveq2d 7319 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท (1rโ€˜๐‘Œ)))
37 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
384adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
3911adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
4037, 38, 393jca 1128 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
41403adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
4241adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
43 chmatval.0 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
4413, 10, 20, 43matsc 21640 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘‹ ยท (1rโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท (1rโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
4636, 45eqtrd 2776 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 )))
47 eqeq12 2753 . . . . . . 7 ((๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘— = ๐ฝ) โ†’ (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
4847ifbid 4488 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘— = ๐ฝ) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ))
4948adantl 483 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘— = ๐ฝ)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‹, 0 ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ))
50 simprl 769 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
51 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
5251adantl 483 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
539fvexi 6814 . . . . . . 7 ๐‘‹ โˆˆ V
5443fvexi 6814 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
5553, 54ifex 4515 . . . . . 6 if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆˆ V
5655a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆˆ V)
5746, 49, 50, 52, 56ovmpod 7453 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ))
5857oveq1d 7318 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = (if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
59 ovif 7400 . . 3 (if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘‹, 0 ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)))
6058, 59eqtrdi 2792 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐ผ(๐‘‹ ยท 1 )๐ฝ) โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
6134, 60eqtrd 2776 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ๐ป๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, (๐‘‹ โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ)), ( 0 โˆผ (๐ผ(๐‘‡โ€˜๐‘€)๐ฝ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  Vcvv 3437  ifcif 4465  โ€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   โˆˆ cmpo 7305  Fincfn 8760  Basecbs 16953   ยท๐‘  cvsca 17007  0gc0g 17191  -gcsg 18620  1rcur 19778  Ringcrg 19824  var1cv1 21388  Poly1cpl1 21389   Mat cmat 21595   matToPolyMat cmat2pmat 21894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-ofr 7562  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-sup 9241  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-hash 14087  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-hom 17027  df-cco 17028  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-prds 17199  df-pws 17201  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-mhm 18471  df-submnd 18472  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-sbg 18623  df-mulg 18742  df-subg 18793  df-ghm 18873  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-subrg 20063  df-lmod 20166  df-lss 20235  df-sra 20475  df-rgmod 20476  df-dsmm 20980  df-frlm 20995  df-ascl 21103  df-psr 21153  df-mvr 21154  df-mpl 21155  df-opsr 21157  df-psr1 21392  df-vr1 21393  df-ply1 21394  df-mamu 21574  df-mat 21596  df-mat2pmat 21897
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator