Theorem chmatval 22856

Description: The entries of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 10-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chmatcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chmatcl.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chmatcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chmatcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chmatcl.h	⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
chmatval.s	⊢ ∼ = (-g‘𝑃)
chmatval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chmatval	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽))))

Proof of Theorem chmatval

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chmatcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
2	1	oveqi 7461	. . 3 ⊢ (𝐼𝐻𝐽) = (𝐼((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝐽)
3		chmatcl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22270	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
7	4	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
9		chmatcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
11	9, 3, 10	vr1cl 22240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13		chmatcl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
14	3, 13	pmatring 22719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
15	14	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		chmatcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18	16, 17	ringidcl 20289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20		chmatcl.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
21	10, 13, 16, 20	matvscl 22458	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
22	8, 12, 19, 21	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
24		chmatcl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
25		chmatcl.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
26		chmatcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
27	24, 25, 26, 3, 13	mat2pmatbas 22753	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
29		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
30		chmatcl.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
31		chmatval.s	. . . . 5 ⊢ ∼ = (-g‘𝑃)
32	13, 16, 30, 31	matsubgcell 22461	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
33	6, 23, 28, 29, 32	syl121anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
34	2, 33	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
35	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 1 = (1r‘𝑌))
36	35	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · (1r‘𝑌)))
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
38	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
39	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
40	37, 38, 39	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
43		chmatval.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
44	13, 10, 20, 43	matsc 22477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 · (1r‘𝑌)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · (1r‘𝑌)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
46	36, 45	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · 1 ) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
47		eqeq12 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽))
48	47	ifbid 4571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
49	48	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
50		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
53	9	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
54	43	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
55	53, 54	ifex 4598	. . . . . 6 ⊢ if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∈ V)
57	46, 49, 50, 52, 56	ovmpod 7602	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
58	57	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)) = (if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
59		ovif 7548	. . 3 ⊢ (if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
60	58, 59	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽))))
61	34, 60	eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Fincfn 9003  Basecbs 17258   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  -_gcsg 18975  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199   Mat cmat 22432   matToPolyMat cmat2pmat 22731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-mat2pmat 22734

This theorem is referenced by: (None)