MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmatval 21443
Description: The entries of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 10-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chmatcl.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chmatcl.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s = (-g𝑌)
chmatcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chmatcl.1 1 = (1r𝑌)
chmatcl.h 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
chmatval.s = (-g𝑃)
chmatval.0 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
chmatval (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)), ( 0 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽))))

Proof of Theorem chmatval
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chmatcl.h . . . 4 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
21oveqi 7164 . . 3 (𝐼𝐻𝐽) = (𝐼((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝐽)
3 chmatcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1ring 20886 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
543ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
65adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
74anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
873adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
9 chmatcl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
10 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
119, 3, 10vr1cl 20855 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
12113ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13 chmatcl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
143, 13pmatring 21306 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
15143adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17 chmatcl.1 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑌)
1816, 17ringidcl 19323 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20 chmatcl.m . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑌)
2110, 13, 16, 20matvscl 21045 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
228, 12, 19, 21syl12anc 835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
2322adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
24 chmatcl.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
25 chmatcl.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
26 chmatcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2724, 25, 26, 3, 13mat2pmatbas 21340 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
2827adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
29 simpr 488 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
30 chmatcl.s . . . . 5 = (-g𝑌)
31 chmatval.s . . . . 5 = (-g𝑃)
3213, 16, 30, 31matsubgcell 21048 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)))
336, 23, 28, 29, 32syl121anc 1372 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)))
342, 33syl5eq 2871 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)))
3517a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 1 = (1r𝑌))
3635oveq2d 7167 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · (1r𝑌)))
37 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
384adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
3911adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
4037, 38, 393jca 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
41403adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
4241adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
43 chmatval.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑃)
4413, 10, 20, 43matsc 21064 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 · (1r𝑌)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋 · (1r𝑌)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
4636, 45eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋 · 1 ) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
47 eqeq12 2838 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗𝐼 = 𝐽))
4847ifbid 4472 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
4948adantl 485 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
50 simprl 770 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
51 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐽𝑁)
5251adantl 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
539fvexi 6677 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
5443fvexi 6677 . . . . . . 7 0 ∈ V
5553, 54ifex 4498 . . . . . 6 if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∈ V
5655a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∈ V)
5746, 49, 50, 52, 56ovmpod 7297 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
5857oveq1d 7166 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)) = (if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)))
59 ovif 7246 . . 3 (if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)), ( 0 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)))
6058, 59syl6eq 2875 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)), ( 0 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽))))
6134, 60eqtrd 2859 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽)), ( 0 (𝐼(𝑇𝑀)𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  ifcif 4450  cfv 6345  (class class class)co 7151  cmpo 7153  Fincfn 8507  Basecbs 16485   ·𝑠 cvsca 16571  0gc0g 16715  -gcsg 18107  1rcur 19253  Ringcrg 19299  var1cv1 20814  Poly1cpl1 20815   Mat cmat 21021   matToPolyMat cmat2pmat 21318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-hash 13698  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-ascl 20553  df-psr 20603  df-mvr 20604  df-mpl 20605  df-opsr 20607  df-psr1 20818  df-vr1 20819  df-ply1 20820  df-mamu 21000  df-mat 21022  df-mat2pmat 21321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator