Theorem chmatval 22686

Description: The entries of the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 10-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chmatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chmatcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chmatcl.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chmatcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chmatcl.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chmatcl.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chmatcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chmatcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chmatcl.h	⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
chmatval.s	⊢ ∼ = (-g‘𝑃)
chmatval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chmatval	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽))))

Proof of Theorem chmatval

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chmatcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
2	1	oveqi 7418	. . 3 ⊢ (𝐼𝐻𝐽) = (𝐼((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝐽)
3		chmatcl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22121	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
7	4	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
8	7	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
9		chmatcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
11	9, 3, 10	vr1cl 22091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
12	11	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13		chmatcl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
14	3, 13	pmatring 22549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
15	14	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
16		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		chmatcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
18	16, 17	ringidcl 20165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
20		chmatcl.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
21	10, 13, 16, 20	matvscl 22288	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
22	8, 12, 19, 21	syl12anc 834	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
24		chmatcl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
25		chmatcl.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
26		chmatcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
27	24, 25, 26, 3, 13	mat2pmatbas 22583	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
29		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
30		chmatcl.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
31		chmatval.s	. . . . 5 ⊢ ∼ = (-g‘𝑃)
32	13, 16, 30, 31	matsubgcell 22291	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
33	6, 23, 28, 29, 32	syl121anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
34	2, 33	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
35	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 1 = (1r‘𝑌))
36	35	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · (1r‘𝑌)))
37		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
38	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
39	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
40	37, 38, 39	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
41	40	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
43		chmatval.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
44	13, 10, 20, 43	matsc 22307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 · (1r‘𝑌)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · (1r‘𝑌)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
46	36, 45	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋 · 1 ) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 )))
47		eqeq12 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽))
48	47	ifbid 4546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
49	48	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 𝑋, 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
50		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
53	9	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
54	43	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
55	53, 54	ifex 4573	. . . . . 6 ⊢ if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∈ V)
57	46, 49, 50, 52, 56	ovmpod 7556	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ))
58	57	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)) = (if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
59		ovif 7502	. . 3 ⊢ (if(𝐼 = 𝐽, 𝑋, 0 ) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)))
60	58, 59	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝐼(𝑋 · 1 )𝐽) ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽))))
61	34, 60	eqtrd 2766	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝐻𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝑋 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽)), ( 0 ∼ (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8941  Basecbs 17153   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394  -_gcsg 18865  1_rcur 20086  Ringcrg 20138  var₁cv1 22050  Poly₁cpl1 22051   Mat cmat 22262   matToPolyMat cmat2pmat 22561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-mat2pmat 22564

This theorem is referenced by: (None)