Theorem fh1 31647

Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. First of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fh1	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem fh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chincl 31528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
2		chincl 31528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
3		chjcl 31386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
5	4	anandis 678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
6		chjcl 31386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
7		chincl 31528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
9		chsh 31253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ )
11	5, 10	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
12	11	3impb 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
14		ledi 31569	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
16		incom 4217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴))
18		chdmj1 31558	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
19	1, 2, 18	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
20		chdmm1 31554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
21		chdmm1 31554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))
22	20, 21	ineqan12d 4230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))))
23	19, 22	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))))
24	17, 23	ineq12d 4229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))))
25	24	3impdi 1349	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))))
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))))
27		inass 4236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))))
28		cmcm2 31645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵)))
29		choccl 31335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
30		cmbr3 31637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
32	28, 31	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
34	33	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
35	34	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
36		cmcm2 31645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐶)))
37		choccl 31335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ )
38		cmbr3 31637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐶) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
39	37, 38	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐶) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
40	36, 39	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
41	40	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
42	41	3adantl2 1166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
43	42	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
44	35, 43	ineq12d 4229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
45		inindi 4243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))))
46		inindi 4243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))) = ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
47	44, 45, 46	3eqtr4g 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))))
48	47	ineq2d 4228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶))))) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))))
49	27, 48	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))))
50		in12 4237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))))
51	49, 50	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))))
52		chdmj1 31558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))
53	52	ineq2d 4228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))))
54		chocin 31524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
55	6, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
56	53, 55	eqtr3d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))) = 0ℋ)
57	56	ineq2d 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ 0ℋ))
58		chm0 31520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
59	57, 58	sylan9eqr 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = 0ℋ)
60	59	3impb 1114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = 0ℋ)
61	60	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = 0ℋ)
62	51, 61	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐶)))) = 0ℋ)
63	26, 62	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
64		pjoml 31465	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ) ∧ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
65	13, 15, 63, 64	syl12anc 837	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
66	65	eqcomd 2741	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   S_ℋ csh 30957   C_ℋ cch 30958  ⊥cort 30959   ∨_ℋ chj 30962  0_ℋc0h 30964   𝐶_ℋ ccm 30965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-chj 31339  df-cm 31612

This theorem is referenced by:  cm2j  31649  fh1i  31650  chirredlem3  32421