Theorem atomli 29795

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atomli	⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Proof of Theorem atomli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 29757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		chjcl 28770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	sylancr 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	1	choccli 28720	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
6		chincl 28912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
7	4, 5, 6	sylancl 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
8		hatomic 29773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	sylan 577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10		atelch 29757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
11		inss2 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12		sstr 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	mpan2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
14	1	pjococi 28850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
15	14	oveq1i 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
16	15	ineq1i 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17		incom 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
18	16, 17	eqtr3i 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
19		pjoml3 29025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
20	5, 19	mpan 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
21	20	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥)
22	18, 21	syl5eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
23	10, 13, 22	syl2an 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
24	23	ad2ant2lr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25		inss1 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
26		sstr 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	25, 26	mpan2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
28		chub1 28920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
29	1, 28	mpan 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	29	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	1, 3	mpan 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
32		chlub 28922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
33	1, 32	mp3an1 1578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	31, 33	sylan2 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	34	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
36	35	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	30, 36	mpand 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
38	2, 10, 37	syl2an 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
39	38	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40	27, 39	sylan2 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantrr 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42		chjcl 28770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	1, 10, 42	sylancr 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	2, 43	anim12i 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	44	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chub1 28920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
47	1, 10, 46	sylancr 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
48	47	ad2antlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
49		pm3.22 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
50	49	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
51	27	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
52		incom 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
53		chsh 28635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
54	1	chshii 28638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
55		orthin 28859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
56	53, 54, 55	sylancl 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
57	56	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
58	52, 57	syl5eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
59	10, 13, 58	syl2an 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
60	51, 59	jca 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
61	60	ad2ant2lr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
62		atexch 29794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
63	1, 62	mp3an1 1578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
64	50, 61, 63	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
65		chlub 28922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
66	1, 65	mp3an1 1578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
67	66	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
68	67	expd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
69	45, 48, 64, 68	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
70	41, 69	eqssd 3843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
71	70	ineq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
72	24, 71	eqtr3d 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝑥 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
73	72	eleq1d 2890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
74	73	exp43 429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
75	74	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
76	75	imp31 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
77	76	ibd 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
78	77	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
79	78	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
80	79	rexlimdv 3238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
81	9, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
82	81	ex 403	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
83	82	necon1bd 3016	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
84	83	orrd 896	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
85		elun 3979	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
86		fvex 6445	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ V
87	86	inex2 5024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
88	87	elsn 4411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
89	88	orbi2i 943	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
90	85, 89	bitri 267	. 2 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
91	84, 90	sylibr 226	1 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∃wrex 3117   ∪ cun 3795   ∩ cin 3796   ⊆ wss 3797  {csn 4396  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   S_ℋ csh 28339   C_ℋ cch 28340  ⊥cort 28341   ∨_ℋ chj 28344  0_ℋc0h 28346  HAtomscat 28376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cc 9571  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331  ax-hilex 28410  ax-hfvadd 28411  ax-hvcom 28412  ax-hvass 28413  ax-hv0cl 28414  ax-hvaddid 28415  ax-hfvmul 28416  ax-hvmulid 28417  ax-hvmulass 28418  ax-hvdistr1 28419  ax-hvdistr2 28420  ax-hvmul0 28421  ax-hfi 28490  ax-his1 28493  ax-his2 28494  ax-his3 28495  ax-his4 28496  ax-hcompl 28613

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-omul 7830  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-acn 9080  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-lm 21403  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cfil 23422  df-cau 23423  df-cmet 23424  df-grpo 27902  df-gid 27903  df-ginv 27904  df-gdiv 27905  df-ablo 27954  df-vc 27968  df-nv 28001  df-va 28004  df-ba 28005  df-sm 28006  df-0v 28007  df-vs 28008  df-nmcv 28009  df-ims 28010  df-dip 28110  df-ssp 28131  df-ph 28222  df-cbn 28273  df-hnorm 28379  df-hba 28380  df-hvsub 28382  df-hlim 28383  df-hcau 28384  df-sh 28618  df-ch 28632  df-oc 28663  df-ch0 28664  df-shs 28721  df-span 28722  df-chj 28723  df-chsup 28724  df-pjh 28808  df-cv 29692  df-at 29751

This theorem is referenced by:  atoml2i  29796