Theorem atomli 31387

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atomli	⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Proof of Theorem atomli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 31349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		chjcl 30362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	1	choccli 30312	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
6		chincl 30504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
8		hatomic 31365	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10		atelch 31349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
11		inss2 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12		sstr 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
14	1	pjococi 30442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
15	14	oveq1i 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
16	15	ineq1i 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17		incom 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
18	16, 17	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
19		pjoml3 30617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
20	5, 19	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥)
22	18, 21	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
23	10, 13, 22	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
24	23	ad2ant2lr 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25		inss1 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
26		sstr 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	25, 26	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
28		chub1 30512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
29	1, 28	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	1, 3	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
32		chlub 30514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
33	1, 32	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	31, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	34	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
36	35	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	30, 36	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
38	2, 10, 37	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
39	38	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40	27, 39	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42		chjcl 30362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	1, 10, 42	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	2, 43	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chub1 30512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
47	1, 10, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
48	47	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
49		pm3.22 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
51	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
52		incom 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
53		chsh 30229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
54	1	chshii 30232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
55		orthin 30451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
57	56	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
58	52, 57	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
59	10, 13, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
60	51, 59	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
61	60	ad2ant2lr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
62		atexch 31386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
63	1, 62	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
64	50, 61, 63	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
65		chlub 30514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
66	1, 65	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
67	66	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
68	67	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
69	45, 48, 64, 68	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
70	41, 69	eqssd 3964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
71	70	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
72	24, 71	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝑥 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
73	72	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
74	73	exp43 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
75	74	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
76	75	imp31 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
77	76	ibd 268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
78	77	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
79	78	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
80	79	rexlimdv 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
81	9, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
82	81	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
83	82	necon1bd 2957	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
84	83	orrd 861	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
85		elun 4113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
86		fvex 6860	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ V
87	86	inex2 5280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
88	87	elsn 4606	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
89	88	orbi2i 911	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
90	85, 89	bitri 274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
91	84, 90	sylibr 233	1 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   S_ℋ csh 29933   C_ℋ cch 29934  ⊥cort 29935   ∨_ℋ chj 29938  0_ℋc0h 29940  HAtomscat 29970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cc 10380  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hvcom 30006  ax-hvass 30007  ax-hv0cl 30008  ax-hvaddid 30009  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulid 30011  ax-hvmulass 30012  ax-hvdistr1 30013  ax-hvdistr2 30014  ax-hvmul0 30015  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089  ax-his4 30090  ax-hcompl 30207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-lm 22617  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cfil 24656  df-cau 24657  df-cmet 24658  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605  df-ims 29606  df-dip 29706  df-ssp 29727  df-ph 29818  df-cbn 29868  df-hnorm 29973  df-hba 29974  df-hvsub 29976  df-hlim 29977  df-hcau 29978  df-sh 30212  df-ch 30226  df-oc 30257  df-ch0 30258  df-shs 30313  df-span 30314  df-chj 30315  df-chsup 30316  df-pjh 30400  df-cv 31284  df-at 31343

This theorem is referenced by:  atoml2i  31388