Theorem atomli 32592

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atomli	⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Proof of Theorem atomli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 32554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		chjcl 31567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	1	choccli 31517	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
6		chincl 31709	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
7	4, 5, 6	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
8		hatomic 32570	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10		atelch 32554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
11		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12		sstr 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
14	1	pjococi 31647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
15	14	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
16	15	ineq1i 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17		incom 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
18	16, 17	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
19		pjoml3 31822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
20	5, 19	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
21	20	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥)
22	18, 21	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
23	10, 13, 22	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
24	23	ad2ant2lr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
26		sstr 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	25, 26	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
28		chub1 31717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
29	1, 28	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	1, 3	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
32		chlub 31719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
33	1, 32	mp3an1 1470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	31, 33	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	34	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
36	35	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	30, 36	mpand 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
38	2, 10, 37	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
39	38	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40	27, 39	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42		chjcl 31567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	1, 10, 42	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	2, 43	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chub1 31717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
47	1, 10, 46	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
48	47	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
49		pm3.22 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
51	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
52		incom 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
53		chsh 31434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
54	1	chshii 31437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
55		orthin 31656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
56	53, 54, 55	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
57	56	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
58	52, 57	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
59	10, 13, 58	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
60	51, 59	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
61	60	ad2ant2lr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
62		atexch 32591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
63	1, 62	mp3an1 1470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
64	50, 61, 63	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
65		chlub 31719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
66	1, 65	mp3an1 1470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
67	66	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
68	67	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
69	45, 48, 64, 68	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
70	41, 69	eqssd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
71	70	ineq1d 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
72	24, 71	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝑥 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
73	72	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
74	73	exp43 440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
75	74	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
76	75	imp31 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
77	76	ibd 271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
78	77	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
79	78	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
80	79	rexlimdv 3162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
81	9, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
82	81	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
83	82	necon1bd 2976	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
84	83	orrd 874	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
85		elun 4107	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
86		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ V
87	86	inex2 5275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
88	87	elsn 4598	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
89	88	orbi2i 923	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
90	85, 89	bitri 277	. 2 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
91	84, 90	sylibr 236	1 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4583  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   S_ℋ csh 31138   C_ℋ cch 31139  ⊥cort 31140   ∨_ℋ chj 31143  0_ℋc0h 31145  HAtomscat 31175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cc 10403  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163  ax-mulf 11164  ax-hilex 31209  ax-hfvadd 31210  ax-hvcom 31211  ax-hvass 31212  ax-hv0cl 31213  ax-hvaddid 31214  ax-hfvmul 31215  ax-hvmulid 31216  ax-hvmulass 31217  ax-hvdistr1 31218  ax-hvdistr2 31219  ax-hvmul0 31220  ax-hfi 31289  ax-his1 31292  ax-his2 31293  ax-his3 31294  ax-his4 31295  ax-hcompl 31412

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-acn 9912  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-lm 23296  df-haus 23382  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-cfil 25324  df-cau 25325  df-cmet 25326  df-grpo 30703  df-gid 30704  df-ginv 30705  df-gdiv 30706  df-ablo 30755  df-vc 30769  df-nv 30802  df-va 30805  df-ba 30806  df-sm 30807  df-0v 30808  df-vs 30809  df-nmcv 30810  df-ims 30811  df-dip 30911  df-ssp 30932  df-ph 31023  df-cbn 31073  df-hnorm 31178  df-hba 31179  df-hvsub 31181  df-hlim 31182  df-hcau 31183  df-sh 31417  df-ch 31431  df-oc 31462  df-ch0 31463  df-shs 31518  df-span 31519  df-chj 31520  df-chsup 31521  df-pjh 31605  df-cv 32489  df-at 32548

This theorem is referenced by:  atoml2i  32593