HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atomli 32401
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atomli (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))

Proof of Theorem atomli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
2 atelch 32363 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
3 chjcl 31376 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 𝐵) ∈ C )
51choccli 31326 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
6 chincl 31518 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
8 hatomic 32379 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
97, 8sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10 atelch 32363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
11 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
1311, 12mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
141pjococi 31456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
1514oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
1615ineq1i 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
1816, 17eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
19 pjoml3 31631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊥‘𝐴) ∈ C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
205, 19mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
2120imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥)
2218, 21eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2310, 13, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2423ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)
26 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
28 chub1 31526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C𝐵C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
291, 28mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵C𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
311, 3mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵C → (𝐴 𝐵) ∈ C )
32 chlub 31528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
331, 32mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3431, 33sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3534biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3635ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3730, 36mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
382, 10, 37syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3938imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4027, 39sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
42 chjcl 31376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
431, 10, 42sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 𝑥) ∈ C )
442, 43anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
46 chub1 31526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
471, 10, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
4847ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
49 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5127adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
52 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
53 chsh 31243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥C𝑥S )
541chshii 31246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴S
55 orthin 31465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥S𝐴S ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5756imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥𝐴) = 0)
5852, 57eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑥) = 0)
5910, 13, 58syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴𝑥) = 0)
6051, 59jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
6160ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
62 atexch 32400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
631, 62mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
6450, 61, 63sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥))
65 chlub 31528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
661, 65mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6766biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6867expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))))
6945, 48, 64, 68syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))
7041, 69eqssd 4001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
7170ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7224, 71eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝑥 = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7372eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7473exp43 436 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7574com24 95 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7675imp31 417 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7776ibd 269 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7877ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7978com23 86 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
8079rexlimdv 3153 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
819, 80mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
8281ex 412 . . . 4 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
8382necon1bd 2958 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
8483orrd 864 . 2 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
85 elun 4153 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}))
86 fvex 6919 . . . . . 6 (⊥‘𝐴) ∈ V
8786inex2 5318 . . . . 5 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
8887elsn 4641 . . . 4 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0} ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
8988orbi2i 913 . . 3 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9085, 89bitri 275 . 2 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9184, 90sylibr 234 1 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431   S csh 30947   C cch 30948  cort 30949   chj 30952  0c0h 30954  HAtomscat 30984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328  df-chj 31329  df-chsup 31330  df-pjh 31414  df-cv 32298  df-at 32357
This theorem is referenced by:  atoml2i  32402
  Copyright terms: Public domain W3C validator