HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atomli 32410
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atomli (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))

Proof of Theorem atomli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
2 atelch 32372 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
3 chjcl 31385 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 𝐵) ∈ C )
51choccli 31335 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
6 chincl 31527 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
8 hatomic 32388 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
97, 8sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10 atelch 32372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
11 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
1311, 12mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
141pjococi 31465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
1514oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
1615ineq1i 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
1816, 17eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
19 pjoml3 31640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊥‘𝐴) ∈ C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
205, 19mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
2120imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥)
2218, 21eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2310, 13, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2423ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)
26 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
28 chub1 31535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C𝐵C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
291, 28mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵C𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
311, 3mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵C → (𝐴 𝐵) ∈ C )
32 chlub 31537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
331, 32mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3431, 33sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3534biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3635ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3730, 36mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
382, 10, 37syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3938imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4027, 39sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
42 chjcl 31385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
431, 10, 42sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 𝑥) ∈ C )
442, 43anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
46 chub1 31535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
471, 10, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
4847ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
49 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5127adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
52 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
53 chsh 31252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥C𝑥S )
541chshii 31255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴S
55 orthin 31474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥S𝐴S ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5756imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥𝐴) = 0)
5852, 57eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑥) = 0)
5910, 13, 58syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴𝑥) = 0)
6051, 59jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
6160ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
62 atexch 32409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
631, 62mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
6450, 61, 63sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥))
65 chlub 31537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
661, 65mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6766biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6867expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))))
6945, 48, 64, 68syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))
7041, 69eqssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
7170ineq1d 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7224, 71eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝑥 = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7372eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7473exp43 436 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7574com24 95 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7675imp31 417 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7776ibd 269 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7877ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7978com23 86 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
8079rexlimdv 3150 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
819, 80mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
8281ex 412 . . . 4 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
8382necon1bd 2955 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
8483orrd 863 . 2 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
85 elun 4162 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}))
86 fvex 6919 . . . . . 6 (⊥‘𝐴) ∈ V
8786inex2 5323 . . . . 5 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
8887elsn 4645 . . . 4 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0} ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
8988orbi2i 912 . . 3 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9085, 89bitri 275 . 2 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9184, 90sylibr 234 1 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cun 3960  cin 3961  wss 3962  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430   S csh 30956   C cch 30957  cort 30958   chj 30961  0c0h 30963  HAtomscat 30993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cv 32307  df-at 32366
This theorem is referenced by:  atoml2i  32411
  Copyright terms: Public domain W3C validator