HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atomli 29795
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atomli (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))

Proof of Theorem atomli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
2 atelch 29757 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
3 chjcl 28770 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
41, 2, 3sylancr 583 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 𝐵) ∈ C )
51choccli 28720 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
6 chincl 28912 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
74, 5, 6sylancl 582 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
8 hatomic 29773 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
97, 8sylan 577 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10 atelch 29757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
11 inss2 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12 sstr 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
1311, 12mpan2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
141pjococi 28850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
1514oveq1i 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
1615ineq1i 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17 incom 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
1816, 17eqtr3i 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
19 pjoml3 29025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊥‘𝐴) ∈ C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
205, 19mpan 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
2120imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥)
2218, 21syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2310, 13, 22syl2an 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2423ad2ant2lr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25 inss1 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)
26 sstr 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
28 chub1 28920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C𝐵C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
291, 28mpan 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵C𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
3029adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
311, 3mpan 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵C → (𝐴 𝐵) ∈ C )
32 chlub 28922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
331, 32mp3an1 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3431, 33sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3534biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3635ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3730, 36mpand 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
382, 10, 37syl2an 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3938imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4027, 39sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
42 chjcl 28770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
431, 10, 42sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 𝑥) ∈ C )
442, 43anim12i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
4544adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
46 chub1 28920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
471, 10, 46sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
4847ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
49 pm3.22 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5049adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5127adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
52 incom 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
53 chsh 28635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥C𝑥S )
541chshii 28638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴S
55 orthin 28859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥S𝐴S ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5653, 54, 55sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5756imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥𝐴) = 0)
5852, 57syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑥) = 0)
5910, 13, 58syl2an 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴𝑥) = 0)
6051, 59jca 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
6160ad2ant2lr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
62 atexch 29794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
631, 62mp3an1 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
6450, 61, 63sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥))
65 chlub 28922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
661, 65mp3an1 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6766biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6867expd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))))
6945, 48, 64, 68syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))
7041, 69eqssd 3843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
7170ineq1d 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7224, 71eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝑥 = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7372eleq1d 2890 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7473exp43 429 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7574com24 95 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7675imp31 410 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7776ibd 261 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7877ex 403 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7978com23 86 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
8079rexlimdv 3238 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
819, 80mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
8281ex 403 . . . 4 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
8382necon1bd 3016 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
8483orrd 896 . 2 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
85 elun 3979 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}))
86 fvex 6445 . . . . . 6 (⊥‘𝐴) ∈ V
8786inex2 5024 . . . . 5 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
8887elsn 4411 . . . 4 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0} ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
8988orbi2i 943 . . 3 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9085, 89bitri 267 . 2 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9184, 90sylibr 226 1 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wrex 3117  cun 3795  cin 3796  wss 3797  {csn 4396  cfv 6122  (class class class)co 6904   S csh 28339   C cch 28340  cort 28341   chj 28344  0c0h 28346  HAtomscat 28376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cc 9571  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331  ax-hilex 28410  ax-hfvadd 28411  ax-hvcom 28412  ax-hvass 28413  ax-hv0cl 28414  ax-hvaddid 28415  ax-hfvmul 28416  ax-hvmulid 28417  ax-hvmulass 28418  ax-hvdistr1 28419  ax-hvdistr2 28420  ax-hvmul0 28421  ax-hfi 28490  ax-his1 28493  ax-his2 28494  ax-his3 28495  ax-his4 28496  ax-hcompl 28613
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-omul 7830  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-acn 9080  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-lm 21403  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cfil 23422  df-cau 23423  df-cmet 23424  df-grpo 27902  df-gid 27903  df-ginv 27904  df-gdiv 27905  df-ablo 27954  df-vc 27968  df-nv 28001  df-va 28004  df-ba 28005  df-sm 28006  df-0v 28007  df-vs 28008  df-nmcv 28009  df-ims 28010  df-dip 28110  df-ssp 28131  df-ph 28222  df-cbn 28273  df-hnorm 28379  df-hba 28380  df-hvsub 28382  df-hlim 28383  df-hcau 28384  df-sh 28618  df-ch 28632  df-oc 28663  df-ch0 28664  df-shs 28721  df-span 28722  df-chj 28723  df-chsup 28724  df-pjh 28808  df-cv 29692  df-at 29751
This theorem is referenced by:  atoml2i  29796
  Copyright terms: Public domain W3C validator