Theorem atomli 32317

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atomli	⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Proof of Theorem atomli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 32279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		chjcl 31292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	1	choccli 31242	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
6		chincl 31434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
8		hatomic 32295	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
9	7, 8	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10		atelch 32279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
11		inss2 4203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12		sstr 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
14	1	pjococi 31372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
15	14	oveq1i 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
16	15	ineq1i 4181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17		incom 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
18	16, 17	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥))
19		pjoml3 31547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
20	5, 19	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥)
22	18, 21	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
23	10, 13, 22	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
24	23	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25		inss1 4202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
26		sstr 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	25, 26	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
28		chub1 31442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
29	1, 28	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
31	1, 3	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
32		chlub 31444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
33	1, 32	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
34	31, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
35	34	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
36	35	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
37	30, 36	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
38	2, 10, 37	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
40	27, 39	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
41	40	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
42		chjcl 31292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	1, 10, 42	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	2, 43	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chub1 31442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
47	1, 10, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
48	47	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
49		pm3.22 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
51	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
52		incom 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
53		chsh 31159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ )
54	1	chshii 31162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
55		orthin 31381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
57	56	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
58	52, 57	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
59	10, 13, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
60	51, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
61	60	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ))
62		atexch 32316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
63	1, 62	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
64	50, 61, 63	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
65		chlub 31444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
66	1, 65	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
67	66	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
68	67	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
69	45, 48, 64, 68	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
70	41, 69	eqssd 3966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
71	70	ineq1d 4184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
72	24, 71	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝑥 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
73	72	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
74	73	exp43 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
75	74	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
76	75	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
77	76	ibd 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
78	77	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
79	78	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
80	79	rexlimdv 3133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
81	9, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
82	81	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
83	82	necon1bd 2944	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
84	83	orrd 863	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
85		elun 4118	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
86		fvex 6873	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ V
87	86	inex2 5275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
88	87	elsn 4606	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
89	88	orbi2i 912	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
90	85, 89	bitri 275	. 2 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
91	84, 90	sylibr 234	1 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ∪ cun 3914   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  {csn 4591  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   S_ℋ csh 30863   C_ℋ cch 30864  ⊥cort 30865   ∨_ℋ chj 30868  0_ℋc0h 30870  HAtomscat 30900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154  ax-hilex 30934  ax-hfvadd 30935  ax-hvcom 30936  ax-hvass 30937  ax-hv0cl 30938  ax-hvaddid 30939  ax-hfvmul 30940  ax-hvmulid 30941  ax-hvmulass 30942  ax-hvdistr1 30943  ax-hvdistr2 30944  ax-hvmul0 30945  ax-hfi 31014  ax-his1 31017  ax-his2 31018  ax-his3 31019  ax-his4 31020  ax-hcompl 31137

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-lm 23122  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cfil 25161  df-cau 25162  df-cmet 25163  df-grpo 30428  df-gid 30429  df-ginv 30430  df-gdiv 30431  df-ablo 30480  df-vc 30494  df-nv 30527  df-va 30530  df-ba 30531  df-sm 30532  df-0v 30533  df-vs 30534  df-nmcv 30535  df-ims 30536  df-dip 30636  df-ssp 30657  df-ph 30748  df-cbn 30798  df-hnorm 30903  df-hba 30904  df-hvsub 30906  df-hlim 30907  df-hcau 30908  df-sh 31142  df-ch 31156  df-oc 31187  df-ch0 31188  df-shs 31243  df-span 31244  df-chj 31245  df-chsup 31246  df-pjh 31330  df-cv 32214  df-at 32273

This theorem is referenced by:  atoml2i  32318