Theorem pjpreeq 31458

Description: Equality with a projection. This version of pjeq 31459 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 31453. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjpreeq	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsel 31374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
4	1, 2, 3	syl2anc2 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
5	4	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
6	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		ocin 31356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
9		pjhthmo 31362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
12		reu5 3345	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
13		df-rmo 3343	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
14	13	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
15	12, 14	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
16	5, 11, 15	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
17		riotacl 7332	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
19		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻 ↔ 𝐵 ∈ 𝐻))
20	18, 19	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐻))
21	20	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
22		shsss 31373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
23	1, 2, 22	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
24	23	sselda 3922	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25		pjhval 31457	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
26	24, 25	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
27	26	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
28		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ 𝐻)
29		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (𝐵 +ℎ 𝑥))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
31	30	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
32	31	riota2 7340	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
33	28, 16, 32	syl2anr 598	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
34	33	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
35	21, 27, 34	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  ∃*wrmo 3342   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  ℩crio 7314  (class class class)co 7358   ℋchba 30979   +_ℎ cva 30980   S_ℋ csh 30988   C_ℋ cch 30989  ⊥cort 30990   +_ℋ cph 30991  0_ℋc0h 30995  proj_ℎcpjh 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-hilex 31059  ax-hfvadd 31060  ax-hvcom 31061  ax-hvass 31062  ax-hv0cl 31063  ax-hvaddid 31064  ax-hfvmul 31065  ax-hvmulid 31066  ax-hvmulass 31067  ax-hvdistr1 31068  ax-hvdistr2 31069  ax-hvmul0 31070  ax-hfi 31139  ax-his2 31143  ax-his3 31144  ax-his4 31145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-grpo 30553  df-ablo 30605  df-hvsub 31031  df-sh 31267  df-ch 31281  df-oc 31312  df-ch0 31313  df-shs 31368  df-pjh 31455

This theorem is referenced by:  pjeq  31459  pjpjpre  31479  chscllem1  31697  chscllem2  31698  chscllem3  31699