Theorem pjpreeq 31486

Description: Equality with a projection. This version of pjeq 31487 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 31481. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjpreeq	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsel 31402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
4	1, 2, 3	syl2anc2 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
5	4	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
6	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		ocin 31384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
9		pjhthmo 31390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
12		reu5 3354	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
13		df-rmo 3352	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
14	13	anbi2i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
15	12, 14	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
16	5, 11, 15	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
17		riotacl 7342	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
19		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻 ↔ 𝐵 ∈ 𝐻))
20	18, 19	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐻))
21	20	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
22		shsss 31401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
23	1, 2, 22	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
24	23	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25		pjhval 31485	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
26	24, 25	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
27	26	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
28		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ 𝐻)
29		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (𝐵 +ℎ 𝑥))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
31	30	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
32	31	riota2 7350	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
33	28, 16, 32	syl2anr 598	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
34	33	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
35	21, 27, 34	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  ∃*wrmo 3351   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   S_ℋ csh 31016   C_ℋ cch 31017  ⊥cort 31018   +_ℋ cph 31019  0_ℋc0h 31023  proj_ℎcpjh 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-grpo 30581  df-ablo 30633  df-hvsub 31059  df-sh 31295  df-ch 31309  df-oc 31340  df-ch0 31341  df-shs 31396  df-pjh 31483

This theorem is referenced by:  pjeq  31487  pjpjpre  31507  chscllem1  31725  chscllem2  31726  chscllem3  31727