Theorem pjpreeq 31417

Description: Equality with a projection. This version of pjeq 31418 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 31412. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjpreeq	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsel 31333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
4	1, 2, 3	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
5	4	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
6	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		ocin 31315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
9		pjhthmo 31321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
12		reu5 3382	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
13		df-rmo 3380	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
14	13	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
15	12, 14	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
16	5, 11, 15	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
17		riotacl 7405	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
19		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻 ↔ 𝐵 ∈ 𝐻))
20	18, 19	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐻))
21	20	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
22		shsss 31332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
23	1, 2, 22	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
24	23	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25		pjhval 31416	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
26	24, 25	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
27	26	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
28		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ 𝐻)
29		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (𝐵 +ℎ 𝑥))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
31	30	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
32	31	riota2 7413	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
33	28, 16, 32	syl2anr 597	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
34	33	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
35	21, 27, 34	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2538  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   S_ℋ csh 30947   C_ℋ cch 30948  ⊥cort 30949   +_ℋ cph 30950  0_ℋc0h 30954  proj_ℎcpjh 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414

This theorem is referenced by:  pjeq  31418  pjpjpre  31438  chscllem1  31656  chscllem2  31657  chscllem3  31658