HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjpreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjpreeq 28716
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 28717 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 28711. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 28540 . . . . . . . 8 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 28602 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
4 shsel 28632 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
51, 3, 4syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
65biimpa 468 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
7 ocin 28614 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐻C → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
9 pjhthmo 28620 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0) → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
101, 3, 8, 9syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝐻C → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
12 reu5 3307 . . . . . . 7 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
13 df-rmo 3063 . . . . . . . 8 (∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
1413anbi2i 616 . . . . . . 7 ((∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
1512, 14bitri 266 . . . . . 6 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
166, 11, 15sylanbrc 578 . . . . 5 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
17 riotacl 6819 . . . . 5 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) → (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻)
19 eleq1 2832 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵 → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻𝐵𝐻))
2018, 19syl5ibcom 236 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵𝐵𝐻))
2120pm4.71rd 558 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵)))
22 shsss 28631 . . . . . 6 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
231, 3, 22syl2anc 579 . . . . 5 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
2423sselda 3763 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25 pjhval 28715 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘𝐴) = (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
2624, 25syldan 585 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻)‘𝐴) = (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
2726eqeq1d 2767 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
28 id 22 . . . 4 (𝐵𝐻𝐵𝐻)
29 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
3029eqeq2d 2775 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 + 𝑥)))
3130rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥)))
3231riota2 6827 . . . 4 ((𝐵𝐻 ∧ ∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥) ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
3328, 16, 32syl2anr 590 . . 3 (((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥) ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
3433pm5.32da 574 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥)) ↔ (𝐵𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵)))
3521, 27, 343bitr4d 302 1 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  ∃*wmo 2563  wrex 3056  ∃!wreu 3057  ∃*wrmo 3058  cin 3733  wss 3734  cfv 6070  crio 6804  (class class class)co 6844  chba 28235   + cva 28236   S csh 28244   C cch 28245  cort 28246   + cph 28247  0c0h 28251  projcpjh 28253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-hilex 28315  ax-hfvadd 28316  ax-hvcom 28317  ax-hvass 28318  ax-hv0cl 28319  ax-hvaddid 28320  ax-hfvmul 28321  ax-hvmulid 28322  ax-hvmulass 28323  ax-hvdistr1 28324  ax-hvdistr2 28325  ax-hvmul0 28326  ax-hfi 28395  ax-his2 28399  ax-his3 28400  ax-his4 28401
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-grpo 27807  df-ablo 27859  df-hvsub 28287  df-sh 28523  df-ch 28537  df-oc 28568  df-ch0 28569  df-shs 28626  df-pjh 28713
This theorem is referenced by:  pjeq  28717  pjpjpre  28737  chscllem1  28955  chscllem2  28956  chscllem3  28957
  Copyright terms: Public domain W3C validator