HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjpreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjpreeq 31417
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 31418 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 31412. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 31243 . . . . . . . 8 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 31303 . . . . . . . 8 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
3 shsel 31333 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
41, 2, 3syl2anc2 585 . . . . . . 7 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
54biimpa 476 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
61, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
7 ocin 31315 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐻C → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
9 pjhthmo 31321 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0) → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
101, 6, 8, 9syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝐻C → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
12 reu5 3382 . . . . . . 7 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
13 df-rmo 3380 . . . . . . . 8 (∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
1413anbi2i 623 . . . . . . 7 ((∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
1512, 14bitri 275 . . . . . 6 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
165, 11, 15sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
17 riotacl 7405 . . . . 5 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) → (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻)
19 eleq1 2829 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵 → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻𝐵𝐻))
2018, 19syl5ibcom 245 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵𝐵𝐻))
2120pm4.71rd 562 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵)))
22 shsss 31332 . . . . . 6 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
231, 2, 22syl2anc2 585 . . . . 5 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
2423sselda 3983 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25 pjhval 31416 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘𝐴) = (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
2624, 25syldan 591 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻)‘𝐴) = (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
2726eqeq1d 2739 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
28 id 22 . . . 4 (𝐵𝐻𝐵𝐻)
29 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
3029eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 + 𝑥)))
3130rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥)))
3231riota2 7413 . . . 4 ((𝐵𝐻 ∧ ∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥) ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
3328, 16, 32syl2anr 597 . . 3 (((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥) ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
3433pm5.32da 579 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥)) ↔ (𝐵𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵)))
3521, 27, 343bitr4d 311 1 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ∃*wmo 2538  wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  cin 3950  wss 3951  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939   S csh 30947   C cch 30948  cort 30949   + cph 30950  0c0h 30954  projcpjh 30956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414
This theorem is referenced by:  pjeq  31418  pjpjpre  31438  chscllem1  31656  chscllem2  31657  chscllem3  31658
  Copyright terms: Public domain W3C validator