Theorem pjpreeq 31473

Description: Equality with a projection. This version of pjeq 31474 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 31468. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjpreeq	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsel 31389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
4	1, 2, 3	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
5	4	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
6	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		ocin 31371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
9		pjhthmo 31377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
12		reu5 3352	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
13		df-rmo 3350	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
14	13	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
15	12, 14	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
16	5, 11, 15	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
17		riotacl 7332	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
19		eleq1 2824	. . . 4 ⊢ ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻 ↔ 𝐵 ∈ 𝐻))
20	18, 19	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐻))
21	20	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
22		shsss 31388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
23	1, 2, 22	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
24	23	sselda 3933	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25		pjhval 31472	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
26	24, 25	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
27	26	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
28		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ 𝐻)
29		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (𝐵 +ℎ 𝑥))
30	29	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
31	30	rexbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
32	31	riota2 7340	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
33	28, 16, 32	syl2anr 597	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
34	33	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
35	21, 27, 34	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2537  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348  ∃*wrmo 3349   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  (class class class)co 7358   ℋchba 30994   +_ℎ cva 30995   S_ℋ csh 31003   C_ℋ cch 31004  ⊥cort 31005   +_ℋ cph 31006  0_ℋc0h 31010  proj_ℎcpjh 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-grpo 30568  df-ablo 30620  df-hvsub 31046  df-sh 31282  df-ch 31296  df-oc 31327  df-ch0 31328  df-shs 31383  df-pjh 31470

This theorem is referenced by:  pjeq  31474  pjpjpre  31494  chscllem1  31712  chscllem2  31713  chscllem3  31714