HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhth 30624
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhth (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 30455 . . 3 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 30515 . . 3 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
3 shsss 30544 . . 3 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
41, 2, 3syl2anc2 586 . 2 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
5 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ)))
65rexeqdv 3327 . . . . . . 7 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
76rexeqbi1dv 3335 . . . . . 6 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
87imbi2d 341 . . . . 5 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))))
9 ifchhv 30475 . . . . . 6 if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∈ C
10 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
119, 10pjhthlem2 30623 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
128, 11dedth 4585 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
13 shsel 30545 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
141, 2, 13syl2anc2 586 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
1512, 14sylibrd 259 . . 3 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))))
1615ssrdv 3987 . 2 (𝐻C → ℋ ⊆ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
174, 16eqssd 3998 1 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  wss 3947  ifcif 4527  cfv 6540  (class class class)co 7404  chba 30150   + cva 30151   S csh 30159   C cch 30160  cort 30161   + cph 30162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316  ax-hcompl 30433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lm 22715  df-haus 22801  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-cfil 24754  df-cau 24755  df-cmet 24756  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-ssp 29953  df-ph 30044  df-cbn 30094  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-hcau 30204  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539
This theorem is referenced by:  pjhtheu  30625  pjeq  30630  axpjpj  30651
  Copyright terms: Public domain W3C validator