Theorem pjhth 31996

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjhth	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31827	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31887	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsss 31916	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2anc2 597	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
5		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
6	5	rexeqdv 3320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7	6	rexeqbi1dv 3330	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
8	7	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))))
9		ifchhv 31847	. . . . . 6 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
10		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
11	9, 10	pjhthlem2 31995	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	8, 11	dedth 4540	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
13		shsel 31917	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
14	1, 2, 13	syl2anc2 597	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
15	12, 14	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))))
16	15	ssrdv 3914	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ℋ ⊆ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
17	4, 16	eqssd 3925	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ifcif 4481  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31522   +_ℎ cva 31523   S_ℋ csh 31531   C_ℋ cch 31532  ⊥cort 31533   +_ℋ cph 31534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cc 10514  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281  ax-hilex 31602  ax-hfvadd 31603  ax-hvcom 31604  ax-hvass 31605  ax-hv0cl 31606  ax-hvaddid 31607  ax-hfvmul 31608  ax-hvmulid 31609  ax-hvmulass 31610  ax-hvdistr1 31611  ax-hvdistr2 31612  ax-hvmul0 31613  ax-hfi 31682  ax-his1 31685  ax-his2 31686  ax-his3 31687  ax-his4 31688  ax-hcompl 31805

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-rest 17594  df-topgen 17615  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-top 23213  df-topon 23230  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lm 23548  df-haus 23634  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-cfil 25577  df-cau 25578  df-cmet 25579  df-grpo 31096  df-gid 31097  df-ginv 31098  df-gdiv 31099  df-ablo 31148  df-vc 31162  df-nv 31195  df-va 31198  df-ba 31199  df-sm 31200  df-0v 31201  df-vs 31202  df-nmcv 31203  df-ims 31204  df-ssp 31325  df-ph 31416  df-cbn 31466  df-hnorm 31571  df-hba 31572  df-hvsub 31574  df-hlim 31575  df-hcau 31576  df-sh 31810  df-ch 31824  df-oc 31855  df-ch0 31856  df-shs 31911

This theorem is used by:  pjhtheu  31997  pjeq  32002  axpjpj  32023