Theorem pjhth 31329

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjhth	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31160	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31220	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsss 31249	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
4	1, 2, 3	syl2anc2 585	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
5		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
6	5	rexeqdv 3302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
7	6	rexeqbi1dv 3314	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
8	7	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))))
9		ifchhv 31180	. . . . . 6 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
11	9, 10	pjhthlem2 31328	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	8, 11	dedth 4550	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
13		shsel 31250	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
14	1, 2, 13	syl2anc2 585	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
15	12, 14	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))))
16	15	ssrdv 3955	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ℋ ⊆ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
17	4, 16	eqssd 3967	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   S_ℋ csh 30864   C_ℋ cch 30865  ⊥cort 30866   +_ℋ cph 30867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lm 23123  df-haus 23209  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-shs 31244

This theorem is referenced by:  pjhtheu  31330  pjeq  31335  axpjpj  31356