HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhth 30911
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhth (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 30742 . . 3 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 30802 . . 3 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
3 shsss 30831 . . 3 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
41, 2, 3syl2anc2 583 . 2 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
5 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ)))
65rexeqdv 3324 . . . . . . 7 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
76rexeqbi1dv 3332 . . . . . 6 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
87imbi2d 339 . . . . 5 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))))
9 ifchhv 30762 . . . . . 6 if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∈ C
10 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
119, 10pjhthlem2 30910 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
128, 11dedth 4587 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
13 shsel 30832 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
141, 2, 13syl2anc2 583 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
1512, 14sylibrd 258 . . 3 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))))
1615ssrdv 3989 . 2 (𝐻C → ℋ ⊆ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
174, 16eqssd 4000 1 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104  wrex 3068  wss 3949  ifcif 4529  cfv 6544  (class class class)co 7413  chba 30437   + cva 30438   S csh 30446   C cch 30447  cort 30448   + cph 30449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvmulass 30525  ax-hvdistr1 30526  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his1 30600  ax-his2 30601  ax-his3 30602  ax-his4 30603  ax-hcompl 30720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lm 22955  df-haus 23041  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-cfil 25005  df-cau 25006  df-cmet 25007  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-ssp 30240  df-ph 30331  df-cbn 30381  df-hnorm 30486  df-hba 30487  df-hvsub 30489  df-hlim 30490  df-hcau 30491  df-sh 30725  df-ch 30739  df-oc 30770  df-ch0 30771  df-shs 30826
This theorem is referenced by:  pjhtheu  30912  pjeq  30917  axpjpj  30938
  Copyright terms: Public domain W3C validator