Theorem pjhth 28824

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjhth	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 28653	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 28715	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
4		shsss 28744	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
5	1, 3, 4	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
6		fveq2 6446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)))
7	6	rexeqdv 3341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
8	7	rexeqbi1dv 3329	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
9	8	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))))
10		ifchhv 28673	. . . . . 6 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ) ∈ Cℋ
11		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
12	10, 11	pjhthlem2 28823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
13	9, 12	dedth 4363	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
14		shsel 28745	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
15	1, 3, 14	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
16	13, 15	sylibrd 251	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))))
17	16	ssrdv 3827	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ℋ ⊆ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
18	5, 17	eqssd 3838	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3792  ifcif 4307  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ℋchba 28348   +_ℎ cva 28349   S_ℋ csh 28357   C_ℋ cch 28358  ⊥cort 28359   +_ℋ cph 28360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lm 21441  df-haus 21527  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739

This theorem is referenced by:  pjhtheu  28825  pjeq  28830  axpjpj  28851