Theorem pjhtheu 31484

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 31506 for the uniqueness of 𝑦. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjhtheu	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem pjhtheu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth 31483	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)
2	1	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ ℋ))
3		chsh 31314	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4		shocsh 31374	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
5		shsel 31404	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
6	3, 4, 5	syl2anc2 586	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
7	2, 6	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	7	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
9	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
10		ocin 31386	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
12		pjhthmo 31392	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13	3, 9, 11, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
15		reu5 3345	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
16		df-rmo 3343	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	16	anbi2i 624	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	15, 17	bitri 275	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
19	8, 14, 18	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  ∃*wrmo 3342   ∩ cin 3889  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010   S_ℋ csh 31018   C_ℋ cch 31019  ⊥cort 31020   +_ℋ cph 31021  0_ℋc0h 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvmulass 31097  ax-hvdistr1 31098  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his2 31173  ax-his3 31174  ax-his4 31175  ax-hcompl 31292

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-top 22873  df-topon 22890  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lm 23208  df-haus 23294  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-cfil 25236  df-cau 25237  df-cmet 25238  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-gdiv 30586  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-vs 30689  df-nmcv 30690  df-ims 30691  df-ssp 30812  df-ph 30903  df-cbn 30953  df-hnorm 31058  df-hba 31059  df-hvsub 31061  df-hlim 31062  df-hcau 31063  df-sh 31297  df-ch 31311  df-oc 31342  df-ch0 31343  df-shs 31398

This theorem is referenced by:  pjhtheu2  31506