Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhtheu 29163
 Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 29185 for the uniqueness of 𝑦. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 29162 . . . . 5 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
21eleq2d 2896 . . . 4 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ ℋ))
3 chsh 28993 . . . . 5 (𝐻C𝐻S )
4 shocsh 29053 . . . . 5 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
5 shsel 29083 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
63, 4, 5syl2anc2 587 . . . 4 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
72, 6bitr3d 283 . . 3 (𝐻C → (𝐴 ∈ ℋ ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
87biimpa 479 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
93, 4syl 17 . . . 4 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
10 ocin 29065 . . . . 5 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
113, 10syl 17 . . . 4 (𝐻C → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
12 pjhthmo 29071 . . . 4 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0) → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
133, 9, 11, 12syl3anc 1365 . . 3 (𝐻C → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
1413adantr 483 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
15 reu5 3429 . . 3 (∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
16 df-rmo 3144 . . . 4 (∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
1716anbi2i 624 . . 3 ((∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1815, 17bitri 277 . 2 (∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
198, 14, 18sylanbrc 585 1 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2614  ∃wrex 3137  ∃!wreu 3138  ∃*wrmo 3139   ∩ cin 3933  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ℋchba 28688   +ℎ cva 28689   Sℋ csh 28697   Cℋ cch 28698  ⊥cort 28699   +ℋ cph 28700  0ℋc0h 28704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28768  ax-hfvadd 28769  ax-hvcom 28770  ax-hvass 28771  ax-hv0cl 28772  ax-hvaddid 28773  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvmulass 28776  ax-hvdistr1 28777  ax-hvdistr2 28778  ax-hvmul0 28779  ax-hfi 28848  ax-his1 28851  ax-his2 28852  ax-his3 28853  ax-his4 28854  ax-hcompl 28971 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lm 21829  df-haus 21915  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-cfil 23850  df-cau 23851  df-cmet 23852  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-ssp 28491  df-ph 28582  df-cbn 28632  df-hnorm 28737  df-hba 28738  df-hvsub 28740  df-hlim 28741  df-hcau 28742  df-sh 28976  df-ch 28990  df-oc 29021  df-ch0 29022  df-shs 29077 This theorem is referenced by:  pjhtheu2  29185
 Copyright terms: Public domain W3C validator