Theorem pjhtheu 31178

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 31200 for the uniqueness of 𝑦. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjhtheu	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem pjhtheu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth 31177	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) = ℋ)
2	1	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ ℋ))
3		chsh 31008	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4		shocsh 31068	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
5		shsel 31098	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
6	3, 4, 5	syl2anc2 584	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
7	2, 6	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ ℋ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	7	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
9	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
10		ocin 31080	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
12		pjhthmo 31086	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13	3, 9, 11, 12	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
15		reu5 3373	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
16		df-rmo 3371	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	16	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	15, 17	bitri 275	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
19	8, 14, 18	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2527  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3369  ∃*wrmo 3370   ∩ cin 3943  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ℋchba 30703   +_ℎ cva 30704   S_ℋ csh 30712   C_ℋ cch 30713  ⊥cort 30714   +_ℋ cph 30715  0_ℋc0h 30719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 30783  ax-hfvadd 30784  ax-hvcom 30785  ax-hvass 30786  ax-hv0cl 30787  ax-hvaddid 30788  ax-hfvmul 30789  ax-hvmulid 30790  ax-hvmulass 30791  ax-hvdistr1 30792  ax-hvdistr2 30793  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his2 30867  ax-his3 30868  ax-his4 30869  ax-hcompl 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lm 23107  df-haus 23193  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-cfil 25157  df-cau 25158  df-cmet 25159  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ims 30385  df-ssp 30506  df-ph 30597  df-cbn 30647  df-hnorm 30752  df-hba 30753  df-hvsub 30755  df-hlim 30756  df-hcau 30757  df-sh 30991  df-ch 31005  df-oc 31036  df-ch0 31037  df-shs 31092

This theorem is referenced by:  pjhtheu2  31200