Theorem chscllem1 31661

Description: Lemma for chscl 31665. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛))
2		chscl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ Cℋ )
4		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
5	4	ffvelcdmda 7027	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
6		chscl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
7		chsh 31248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
9		chsh 31248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
11		shocsh 31308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
13		chscl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
14		shless 31383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
15	8, 12, 10, 13, 14	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
16		shscom 31343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
17	10, 8, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
18		shscom 31343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19	10, 12, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
20	15, 17, 19	3sstr4d 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
21	20	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
22	5, 21	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
23		pjpreeq 31422	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ↔ (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥))))
24	3, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ↔ (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥))))
25	1, 24	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥)))
26	25	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴)
27		chscl.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
28	26, 27	fmptd 7057	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℕcn 12143   +_ℎ cva 30944   ⇝_𝑣 chli 30951   S_ℋ csh 30952   C_ℋ cch 30953  ⊥cort 30954   +_ℋ cph 30955  proj_ℎcpjh 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-grpo 30517  df-ablo 30569  df-hvsub 30995  df-sh 31231  df-ch 31245  df-oc 31276  df-ch0 31277  df-shs 31332  df-pjh 31419

This theorem is referenced by:  chscllem2  31662  chscllem3  31663  chscllem4  31664