HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem1 29424
Description: Lemma for chscl 29428. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem1 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . 4 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛))
2 chscl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴C )
32adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴C )
4 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
54ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + 𝐵))
6 chscl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵C )
7 chsh 29011 . . . . . . . . . 10 (𝐵C𝐵S )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵S )
9 chsh 29011 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐴S )
102, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴S )
11 shocsh 29071 . . . . . . . . . 10 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
13 chscl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
14 shless 29146 . . . . . . . . 9 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
158, 12, 10, 13, 14syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
16 shscom 29106 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1710, 8, 16syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18 shscom 29106 . . . . . . . . 9 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
1910, 12, 18syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2015, 17, 193sstr4d 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
2120sselda 3918 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
225, 21syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
23 pjpreeq 29185 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ↔ (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥))))
243, 22, 23syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ↔ (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥))))
251, 24mpbii 236 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥)))
2625simpld 498 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴)
27 chscl.6 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
2826, 27fmptd 6859 1 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  wss 3884   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cn 11629   + cva 28707  𝑣 chli 28714   S csh 28715   C cch 28716  cort 28717   + cph 28718  projcpjh 28724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-grpo 28280  df-ablo 28332  df-hvsub 28758  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-pjh 29182
This theorem is referenced by:  chscllem2  29425  chscllem3  29426  chscllem4  29427
  Copyright terms: Public domain W3C validator