Theorem chscllem1 31726

Description: Lemma for chscl 31730. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛))
2		chscl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ Cℋ )
4		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
5	4	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
6		chscl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
7		chsh 31313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
9		chsh 31313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
11		shocsh 31373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
13		chscl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
14		shless 31448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
15	8, 12, 10, 13, 14	syl31anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
16		shscom 31408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
17	10, 8, 16	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
18		shscom 31408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19	10, 12, 18	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
20	15, 17, 19	3sstr4d 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
21	20	sselda 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
22	5, 21	syldan 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
23		pjpreeq 31487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ↔ (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥))))
24	3, 22, 23	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ↔ (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥))))
25	1, 24	mpbii 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥)))
26	25	simpld 495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴)
27		chscl.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
28	26, 27	fmptd 7055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℕcn 12165   +_ℎ cva 31009   ⇝_𝑣 chli 31016   S_ℋ csh 31017   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019   +_ℋ cph 31020  proj_ℎcpjh 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-grpo 30582  df-ablo 30634  df-hvsub 31060  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-shs 31397  df-pjh 31484

This theorem is referenced by:  chscllem2  31727  chscllem3  31728  chscllem4  31729