HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem1 30577
Description: Lemma for chscl 30581. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem1 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛))
2 chscl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴C )
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴C )
4 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
54ffvelcdmda 7034 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + 𝐵))
6 chscl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵C )
7 chsh 30164 . . . . . . . . . 10 (𝐵C𝐵S )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵S )
9 chsh 30164 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐴S )
102, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴S )
11 shocsh 30224 . . . . . . . . . 10 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
13 chscl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
14 shless 30299 . . . . . . . . 9 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
158, 12, 10, 13, 14syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
16 shscom 30259 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1710, 8, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18 shscom 30259 . . . . . . . . 9 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
1910, 12, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2015, 17, 193sstr4d 3991 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
2120sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
225, 21syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
23 pjpreeq 30338 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ↔ (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥))))
243, 22, 23syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ↔ (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥))))
251, 24mpbii 232 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥)))
2625simpld 495 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴)
27 chscl.6 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
2826, 27fmptd 7061 1 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  cn 12152   + cva 29860  𝑣 chli 29867   S csh 29868   C cch 29869  cort 29870   + cph 29871  projcpjh 29877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-hilex 29939  ax-hfvadd 29940  ax-hvcom 29941  ax-hvass 29942  ax-hv0cl 29943  ax-hvaddid 29944  ax-hfvmul 29945  ax-hvmulid 29946  ax-hvmulass 29947  ax-hvdistr1 29948  ax-hvdistr2 29949  ax-hvmul0 29950  ax-hfi 30019  ax-his2 30023  ax-his3 30024  ax-his4 30025
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-grpo 29433  df-ablo 29485  df-hvsub 29911  df-sh 30147  df-ch 30161  df-oc 30192  df-ch0 30193  df-shs 30248  df-pjh 30335
This theorem is referenced by:  chscllem2  30578  chscllem3  30579  chscllem4  30580
  Copyright terms: Public domain W3C validator