Theorem chscllem3 32242

Description: Lemma for chscl 32244. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscllem3.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
chscllem3.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
chscllem3.10	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
chscllem3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢, 𝑛)   𝐷(𝑢, 𝑛)   𝐹(𝑢, 𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscllem3.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2fveq3 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
3		chscl.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
4		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
6	1, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
7	6	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
8		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
9		chscl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chsh 31827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
12		chsh 31827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
14		shocsh 31887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
16		chscl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17		shless 31962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
18	11, 15, 13, 16, 17	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19		shscom 31922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
20	13, 11, 19	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
21		shscom 31922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
22	13, 15, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
23	18, 20, 22	3sstr4d 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
24		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24, 1	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
26	23, 25	sseldd 3909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
27		pjpreeq 32001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
28	8, 26, 27	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
29	7, 28	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧)))
30	29	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
31	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐴 ∈ Sℋ )
32	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
33		ocin 31899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
34	13, 33	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
36		chscllem3.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝐴)
38	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39		chscllem3.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
41	38, 40	sseldd 3909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42		chscl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
43	8, 9, 16, 24, 42, 3	chscllem1 32240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
44	43, 1	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
46		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47		chscllem3.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
48	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
49		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
50	48, 49	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 +ℎ 𝐷) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
51	31, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50	shuni 31903	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
52	51	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))
53	30, 52	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕcn 12336   +_ℎ cva 31523   ⇝_𝑣 chli 31530   S_ℋ csh 31531   C_ℋ cch 31532  ⊥cort 31533   +_ℋ cph 31534  0_ℋc0h 31538  proj_ℎcpjh 31540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-hilex 31602  ax-hfvadd 31603  ax-hvcom 31604  ax-hvass 31605  ax-hv0cl 31606  ax-hvaddid 31607  ax-hfvmul 31608  ax-hvmulid 31609  ax-hvmulass 31610  ax-hvdistr1 31611  ax-hvdistr2 31612  ax-hvmul0 31613  ax-hfi 31682  ax-his2 31686  ax-his3 31687  ax-his4 31688

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-grpo 31096  df-ablo 31148  df-hvsub 31574  df-sh 31810  df-ch 31824  df-oc 31855  df-ch0 31856  df-shs 31911  df-pjh 31998

This theorem is used by:  chscllem4  32243