Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem3 29429
 Description: Lemma for chscl 29431. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
chscllem3.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8 (𝜑𝐶𝐴)
chscllem3.9 (𝜑𝐷𝐵)
chscllem3.10 (𝜑 → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
chscllem3 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscllem3.7 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2fveq3 6650 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
3 chscl.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
4 fvex 6658 . . . . . . 7 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6745 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
76eqcomd 2804 . . . 4 (𝜑 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁))
8 chscl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴C )
9 chscl.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵C )
10 chsh 29014 . . . . . . . . 9 (𝐵C𝐵S )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵S )
12 chsh 29014 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐴S )
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴S )
14 shocsh 29074 . . . . . . . . 9 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
16 chscl.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17 shless 29149 . . . . . . . 8 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
1811, 15, 13, 16, 17syl31anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
19 shscom 29109 . . . . . . . 8 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
2013, 11, 19syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
21 shscom 29109 . . . . . . . 8 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2213, 15, 21syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2318, 20, 223sstr4d 3962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
24 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
2524, 1ffvelrnd 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + 𝐵))
2623, 25sseldd 3916 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
27 pjpreeq 29188 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))))
288, 26, 27syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))))
297, 28mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧)))
3029simprd 499 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
3113adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐴S )
3215adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ S )
33 ocin 29086 . . . . . 6 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
3413, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
3534adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
36 chscllem3.8 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3736adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐶𝐴)
3816adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39 chscllem3.9 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
4039adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐷𝐵)
4138, 40sseldd 3916 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42 chscl.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
438, 9, 16, 24, 42, 3chscllem1 29427 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
4443, 1ffvelrnd 6829 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝐴)
4544adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝐴)
46 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47 chscllem3.10 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
4847adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
49 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
5048, 49eqtr3d 2835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐶 + 𝐷) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
5131, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50shuni 29090 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
5251simpld 498 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹𝑁))
5330, 52rexlimddv 3250 1 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℕcn 11627   +ℎ cva 28710   ⇝𝑣 chli 28717   Sℋ csh 28718   Cℋ cch 28719  ⊥cort 28720   +ℋ cph 28721  0ℋc0h 28725  projℎcpjh 28727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-hilex 28789  ax-hfvadd 28790  ax-hvcom 28791  ax-hvass 28792  ax-hv0cl 28793  ax-hvaddid 28794  ax-hfvmul 28795  ax-hvmulid 28796  ax-hvmulass 28797  ax-hvdistr1 28798  ax-hvdistr2 28799  ax-hvmul0 28800  ax-hfi 28869  ax-his2 28873  ax-his3 28874  ax-his4 28875 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-grpo 28283  df-ablo 28335  df-hvsub 28761  df-sh 28997  df-ch 29011  df-oc 29042  df-ch0 29043  df-shs 29098  df-pjh 29185 This theorem is referenced by:  chscllem4  29430
 Copyright terms: Public domain W3C validator