HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem3 31156
Description: Lemma for chscl 31158. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
chscllem3.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8 (𝜑𝐶𝐴)
chscllem3.9 (𝜑𝐷𝐵)
chscllem3.10 (𝜑 → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
chscllem3 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscllem3.7 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2fveq3 6897 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
3 chscl.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
4 fvex 6905 . . . . . . 7 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
76eqcomd 2737 . . . 4 (𝜑 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁))
8 chscl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴C )
9 chscl.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵C )
10 chsh 30741 . . . . . . . . 9 (𝐵C𝐵S )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵S )
12 chsh 30741 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐴S )
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴S )
14 shocsh 30801 . . . . . . . . 9 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
16 chscl.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17 shless 30876 . . . . . . . 8 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
1811, 15, 13, 16, 17syl31anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
19 shscom 30836 . . . . . . . 8 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
2013, 11, 19syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
21 shscom 30836 . . . . . . . 8 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2213, 15, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2318, 20, 223sstr4d 4030 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
24 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
2524, 1ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + 𝐵))
2623, 25sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
27 pjpreeq 30915 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))))
288, 26, 27syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))))
297, 28mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧)))
3029simprd 495 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
3113adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐴S )
3215adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ S )
33 ocin 30813 . . . . . 6 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
3413, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
36 chscllem3.8 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3736adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐶𝐴)
3816adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39 chscllem3.9 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
4039adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐷𝐵)
4138, 40sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42 chscl.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
438, 9, 16, 24, 42, 3chscllem1 31154 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
4443, 1ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝐴)
4544adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝐴)
46 simprl 768 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47 chscllem3.10 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
4847adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
49 simprr 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
5048, 49eqtr3d 2773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐶 + 𝐷) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
5131, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50shuni 30817 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
5251simpld 494 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹𝑁))
5330, 52rexlimddv 3160 1 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  cin 3948  wss 3949   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7412  cn 12217   + cva 30437  𝑣 chli 30444   S csh 30445   C cch 30446  cort 30447   + cph 30448  0c0h 30452  projcpjh 30454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-hilex 30516  ax-hfvadd 30517  ax-hvcom 30518  ax-hvass 30519  ax-hv0cl 30520  ax-hvaddid 30521  ax-hfvmul 30522  ax-hvmulid 30523  ax-hvmulass 30524  ax-hvdistr1 30525  ax-hvdistr2 30526  ax-hvmul0 30527  ax-hfi 30596  ax-his2 30600  ax-his3 30601  ax-his4 30602
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-grpo 30010  df-ablo 30062  df-hvsub 30488  df-sh 30724  df-ch 30738  df-oc 30769  df-ch0 30770  df-shs 30825  df-pjh 30912
This theorem is referenced by:  chscllem4  31157
  Copyright terms: Public domain W3C validator