Theorem chscllem3 31658

Description: Lemma for chscl 31660. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscllem3.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
chscllem3.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
chscllem3.10	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
chscllem3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscllem3.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2fveq3 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
3		chscl.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
4		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
7	6	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
8		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
9		chscl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chsh 31243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
12		chsh 31243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
14		shocsh 31303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
16		chscl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17		shless 31378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
18	11, 15, 13, 16, 17	syl31anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19		shscom 31338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
20	13, 11, 19	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
21		shscom 31338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
22	13, 15, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
23	18, 20, 22	3sstr4d 4039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
24		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24, 1	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
26	23, 25	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
27		pjpreeq 31417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
28	8, 26, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
29	7, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧)))
30	29	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
31	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐴 ∈ Sℋ )
32	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
33		ocin 31315	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
34	13, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
36		chscllem3.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝐴)
38	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39		chscllem3.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
41	38, 40	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42		chscl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
43	8, 9, 16, 24, 42, 3	chscllem1 31656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
44	43, 1	ffvelcdmd 7105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
46		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47		chscllem3.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
49		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
50	48, 49	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 +ℎ 𝐷) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
51	31, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50	shuni 31319	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
52	51	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))
53	30, 52	rexlimddv 3161	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266   +_ℎ cva 30939   ⇝_𝑣 chli 30946   S_ℋ csh 30947   C_ℋ cch 30948  ⊥cort 30949   +_ℋ cph 30950  0_ℋc0h 30954  proj_ℎcpjh 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414

This theorem is referenced by:  chscllem4  31659