Theorem chscllem3 31991

Description: Lemma for chscl 31993. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscllem3.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
chscllem3.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
chscllem3.10	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
chscllem3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscllem3.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2fveq3 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
3		chscl.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
4		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
6	1, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
7	6	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
8		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
9		chscl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chsh 31576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
12		chsh 31576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
14		shocsh 31636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
16		chscl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17		shless 31711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
18	11, 15, 13, 16, 17	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19		shscom 31671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
20	13, 11, 19	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
21		shscom 31671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
22	13, 15, 21	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
23	18, 20, 22	3sstr4d 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
24		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24, 1	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
26	23, 25	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
27		pjpreeq 31750	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
28	8, 26, 27	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
29	7, 28	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧)))
30	29	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
31	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐴 ∈ Sℋ )
32	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
33		ocin 31648	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
34	13, 33	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
35	34	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
36		chscllem3.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
37	36	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝐴)
38	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39		chscllem3.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
41	38, 40	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42		chscl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
43	8, 9, 16, 24, 42, 3	chscllem1 31989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
44	43, 1	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
46		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47		chscllem3.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
48	47	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
49		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
50	48, 49	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 +ℎ 𝐷) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
51	31, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50	shuni 31652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
52	51	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))
53	30, 52	rexlimddv 3172	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕcn 12228   +_ℎ cva 31272   ⇝_𝑣 chli 31279   S_ℋ csh 31280   C_ℋ cch 31281  ⊥cort 31282   +_ℋ cph 31283  0_ℋc0h 31287  proj_ℎcpjh 31289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-grpo 30845  df-ablo 30897  df-hvsub 31323  df-sh 31559  df-ch 31573  df-oc 31604  df-ch0 31605  df-shs 31660  df-pjh 31747

This theorem is referenced by:  chscllem4  31992