Theorem chscllem3 30930

Description: Lemma for chscl 30932. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscllem3.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
chscllem3.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
chscllem3.10	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
chscllem3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscllem3.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2fveq3 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
3		chscl.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
4		fvex 6904	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6998	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
7	6	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
8		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
9		chscl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chsh 30515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
12		chsh 30515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
14		shocsh 30575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
16		chscl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17		shless 30650	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
18	11, 15, 13, 16, 17	syl31anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19		shscom 30610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
20	13, 11, 19	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
21		shscom 30610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
22	13, 15, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
23	18, 20, 22	3sstr4d 4029	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
24		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
25	24, 1	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
26	23, 25	sseldd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
27		pjpreeq 30689	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
28	8, 26, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
29	7, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧)))
30	29	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
31	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐴 ∈ Sℋ )
32	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
33		ocin 30587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
34	13, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
35	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
36		chscllem3.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
37	36	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝐴)
38	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39		chscllem3.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
40	39	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
41	38, 40	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42		chscl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
43	8, 9, 16, 24, 42, 3	chscllem1 30928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
44	43, 1	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
46		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47		chscllem3.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
48	47	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
49		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
50	48, 49	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 +ℎ 𝐷) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
51	31, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50	shuni 30591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
52	51	simpld 495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))
53	30, 52	rexlimddv 3161	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℕcn 12214   +_ℎ cva 30211   ⇝_𝑣 chli 30218   S_ℋ csh 30219   C_ℋ cch 30220  ⊥cort 30221   +_ℋ cph 30222  0_ℋc0h 30226  proj_ℎcpjh 30228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-grpo 29784  df-ablo 29836  df-hvsub 30262  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-pjh 30686

This theorem is referenced by:  chscllem4  30931