HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem3 30870
Description: Lemma for chscl 30872. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
chscllem3.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8 (𝜑𝐶𝐴)
chscllem3.9 (𝜑𝐷𝐵)
chscllem3.10 (𝜑 → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
chscllem3 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscllem3.7 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2fveq3 6893 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
3 chscl.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
4 fvex 6901 . . . . . . 7 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6994 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)))
76eqcomd 2739 . . . 4 (𝜑 → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁))
8 chscl.1 . . . . 5 (𝜑𝐴C )
9 chscl.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵C )
10 chsh 30455 . . . . . . . . 9 (𝐵C𝐵S )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵S )
12 chsh 30455 . . . . . . . . . 10 (𝐴C𝐴S )
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴S )
14 shocsh 30515 . . . . . . . . 9 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
16 chscl.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
17 shless 30590 . . . . . . . 8 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
1811, 15, 13, 16, 17syl31anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
19 shscom 30550 . . . . . . . 8 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
2013, 11, 19syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
21 shscom 30550 . . . . . . . 8 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2213, 15, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2318, 20, 223sstr4d 4028 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
24 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
2524, 1ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + 𝐵))
2623, 25sseldd 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
27 pjpreeq 30629 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑁) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))))
288, 26, 27syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑁)) = (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))))
297, 28mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧)))
3029simprd 497 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
3113adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐴S )
3215adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ S )
33 ocin 30527 . . . . . 6 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
3413, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
3534adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
36 chscllem3.8 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3736adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐶𝐴)
3816adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
39 chscllem3.9 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
4039adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐷𝐵)
4138, 40sseldd 3982 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
42 chscl.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
438, 9, 16, 24, 42, 3chscllem1 30868 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
4443, 1ffvelcdmd 7083 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝐴)
4544adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝐴)
46 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
47 chscllem3.10 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
4847adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐻𝑁) = (𝐶 + 𝐷))
49 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
5048, 49eqtr3d 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐶 + 𝐷) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))
5131, 32, 35, 37, 41, 45, 46, 50shuni 30531 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
5251simpld 496 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) + 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹𝑁))
5330, 52rexlimddv 3162 1 (𝜑𝐶 = (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  cin 3946  wss 3947   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cn 12208   + cva 30151  𝑣 chli 30158   S csh 30159   C cch 30160  cort 30161   + cph 30162  0c0h 30166  projcpjh 30168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-grpo 29724  df-ablo 29776  df-hvsub 30202  df-sh 30438  df-ch 30452  df-oc 30483  df-ch0 30484  df-shs 30539  df-pjh 30626
This theorem is referenced by:  chscllem4  30871
  Copyright terms: Public domain W3C validator